mathematics, limit calculus

১. নং এর প্রমানঃ

চিত্রে ব্যাসার্ধ$=OA=OB=1$ একক।

$\triangle{POA}$ এর

$\cos x=\dfrac{OA}{OP}$

$OP=\dfrac{1}{\sin x}$

$\triangle{BOA}\le$বৃত্তকলা $BOA\le \triangle{POA}$ 

বা,$\dfrac{1}{2}OA\cdot OB\sin x\le \dfrac{x}{2\pi}\cdot\pi\cdot OB^2$$\le \dfrac{1}{2}OA\cdot OP\sin x$

বা,$\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\sin x\le \dfrac{x}{2}\cdot 1^2\le \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot \dfrac{1}{\cos x}\cdot\sin x$

বা,$\sin x\le x\le \dfrac{1}{\cos x}\cdot\sin x\cdots\cdots (i)$

বা,$1\le \dfrac{x}{\sin x}\le \dfrac{1}{\cos x}$   [$\sin x$ দ্বারা ভাগ করে]

বা,$\lim\limits_{x\to 0} 1\le \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}\le \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{\cos x}$

বা,$1\le\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}\le 1$      [$\because \cos 0=1$]

$\therefore \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1$

২নং প্রশ্নের সমাধানঃ

আমরা জানি,

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1$

এখন,$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{\dfrac{\sin x} {x}}$

                         $=\dfrac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x} {x}}$       

                         $=\dfrac{1}{1}$

                          $=1$

$\therefore \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$       

৩ নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$(i)$ নং হতে পাই,

$\sin x\le x\le \dfrac{1}{\cos x}\cdot\sin x$

বা,$\sin x\le x\le \tan x$

বা,$\cos x\le \dfrac{x}{\tan x}\le 1$

বা,$\lim\limits_{x\to 0}\cos x \le \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}\le \lim\limits_{x\to 0}1$

বা,$1\le \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}\le 1$

$\therefore  \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}=1$

২নং এর অনুরুপভাবে  8নং প্রশ্নের সমাধান কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }3^{x}\tan \dfrac{b}{3^{x}}$

সমাধানঃ

$ \lim\limits _{x\rightarrow \infty }3^{x}\tan \dfrac{b}{3^{x}}$

মনেকরি,$\dfrac{b}{3^x}=\theta$

$\therefore x\rightarrow \infty$ হলে $\theta\rightarrow 0$

$\therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow 0}\dfrac{b}{\theta }\tan \theta $

$=b \lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{\tan \theta }{\theta }$

$ =b\cdot 1$

$ =b$  $(Ans.)$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }a^{x}\sin \dfrac{b}{a^{x}}$

২.$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }b^{-x}\cot \dfrac{a}{b^{x}}$

৩.$\lim\limits_{\theta \rightarrow \infty }a^{-\theta} \cos ec\left( a^{-\theta }.b\right)$

গাণিতিক সমস্যাঃ

$\lim\limits_{x\to\infty}\left\{\ln(6x-5)-\ln(5+3x)\right\}$

সমাধানঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\ln \left( \dfrac{6x-5}{5+3x}\right) $

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln \left\{ \dfrac{x\left( 6-\dfrac{5}{x}\right) }{x\left( \dfrac{5}{x}+3\right) }\right\} $

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln\left( \dfrac{6-\dfrac{5}{x}}{\dfrac{5}{x}+3}\right)$

 $=\ln \dfrac{6-\dfrac{5}{\infty}}{\dfrac{5}{\infty }+3}$

$= \ln \dfrac{6}{3}$

$=\ln 2$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left\{ \log \left( 3x+2\right) +\log \dfrac{1}{2x-3}\right\} $

২.$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left\{ \log _{9}\left(3x-5\right) -\log_{9}\left(x+3\right)\right\} $ 

প্রমাণ কর যে,

$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+ax\right) ^{\tfrac{b}{cx}}=e^{\tfrac{ab}{c}}$

প্রমাণঃ

$p=\lim \limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+ax\right) ^{\tfrac{b}{cx}}$

বা, $\ln p=\lim\limits _{x\rightarrow 0}\ln\left( 1+ax\right)^\tfrac{b}{cx}$

বা,  $\ln p=\lim\limits _{x\rightarrow 0}\dfrac{b}{cx}\times \ln \left( 1+ax\right) $

বা, $\ln p=\lim \limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{b}{cx}\times \left( ax-\dfrac{a^2x^{2}}{2}+\dfrac{a^3x^{3}}{3}-\ldots \right)$

বা,$\ln p=\lim \limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{b}{cx}\times ax \left( 1-\dfrac{ax}{2}+\dfrac{a^2x^{2}}{3}-\ldots \right)$

বা,$\ln p=\lim \limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{ab}{c}\left( 1-\dfrac{ax}{2}+\dfrac{a^2x^{2}}{3}-\ldots \right)$

বা,$\ln p=\dfrac{ab}{c}$

বা,$p=e^{\tfrac{ab}{c}}$

$\fbox{$\therefore\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+ax\right) ^{\tfrac{b}{cx}}=e^{\tfrac{ab}{c}}$}$    [সূত্র]

সূত্রটির সাহায্যে মান নির্ণয় করঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+9x\right) ^{\tfrac{5}{6x}}$

সমাধানঃ

এখানে,$a=9,b=5,c=6$

আমরাজানি,

$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+ax\right) ^{\tfrac{b}{cx}}=e^{\tfrac{ab}{c}}$

$\therefore \lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+9x\right) ^{\tfrac{5}{6x}}=e^{\tfrac{9\cdot5}{6}}$

                                         $=e^{\tfrac{15}{2}}$

অনুরূপভাবে মান নির্ণয় করঃ

১.$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\dfrac{3}{2}x\right) ^{\tfrac{4}{3x}}$

২.$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1-\dfrac{5}{3}x\right) ^{\tfrac{3}{4x}}$

৩.$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\dfrac{1}{21}x\right) ^{\tfrac{-7}{3x}}$

৪.$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1-\dfrac{2}{3}x\right) ^{\tfrac{-3}{4x}}$

বিকল্প নিয়মঃ

গাণিতিক সমস্যাঃ

প্রমাণ কর যে $\lim\limits _{x\rightarrow 0 }\left( 1+4x\right)^\tfrac{3}{x}=e^{12}$

সমাধানঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow 0 }\left( 1+4x\right)^\tfrac{3}{x}$

$=\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+4x\right) ^{\tfrac{1}{4x}\cdot 4\cdot 3}$

$=\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+4x\right) ^{\tfrac{1}{4x}\cdot 12}$

$=\left\{ \lim \limits_{4x\rightarrow 0}\left( 1+4x\right) ^{\tfrac{1}{4x}}\right\} ^{12}$ [$\because x\to 0$হলে $4x\to 0$]

 $= \left( e\right) ^{12}$

$= e^{12}$

প্রমাণ কর যে,

$\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{a}{bx}\right) ^{cx}=e^\tfrac{ac}{b}$

সমাধানঃ

মনে করি,

$p=\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{a}{bx}\right) ^{cx}$

$ \ln p=\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\ln\left( 1+\dfrac{a}{bx}\right)^{cx} $

$ =\lim\limits _{x\rightarrow \infty}cx\ln \left( 1+\dfrac{a}{bx}\right) $

$=\lim\limits _{x\rightarrow \infty }cx\left( \dfrac{a}{bx}-\dfrac{a^2}{2b^2x^{2}}+\dfrac{a^3}{3b^3x^{3}}-\ldots \right) $

$=\lim\limits _{x\rightarrow \infty }cx\cdot \dfrac{a}{bx}\left( 1-\dfrac{a}{2bx}+\dfrac{a^2}{3b^2x^{2}}-\ldots \right) $

$=\dfrac{ac}{b}$

বা,$\ln p=\dfrac{ac}{b}$

বা,$p=e^\tfrac{ac}{b}$

$\fbox{$\therefore \lim\limits _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac{a}{bx}\right) ^{cx}=e^\tfrac{ac}{b}$}$   [সূত্র]

গাণিতিক সমস্যাঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow \infty } x\cdot\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r^{2}}{\sum\limits_{r=1}^x r^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r^{2}}{\sum\limits_{r=1}^x r^{3}}$

$=\lim\limits_{x\to\infty} x\cdot \dfrac{1^2+2^2+3^2+\ldots+x^2}{1^3+2^3+3^3+\ldots+x^3}$

$=\lim\limits_{x\to\infty} x\cdot \dfrac{\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}}{\dfrac{x^2(x+1)^2}{4}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow a^{x\cdot }}\dfrac{2\left( 2x+1\right) }{3x\left( x+1\right) }$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{2\left( 2x+1\right) }{3\left( x+1\right) }$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{2x\left( 2+\dfrac{1}{x}\right) }{3x\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) }$

$=\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{2\left( 2+\dfrac{1}{x}\right) }{3\left( 1+\dfrac{1}{x}\right) }$

$=\dfrac{2\left( 2+0\right) }{3\left( 1+0\right) }$ 

$=\dfrac{4}{3}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\lim\limits _{x\rightarrow \infty } \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r^{3}}{\sum\limits_{r=1}^x r^{2}}$ এর মান নির্ণয় কর।

২.$\lim\limits _{x\rightarrow \infty } x^2\cdot\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r}{\sum\limits_{r=1}^x r^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

৩.$\lim\limits _{x\rightarrow \infty } x\cdot\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r}{\sum\limits_{r=1}^x r^{2}}$ এর মান নির্ণয় কর।

৪.$\lim\limits _{x\rightarrow 0} x\cdot\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r^{2}}{\sum\limits_{r=1}^x r^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

৫.$\lim\limits _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sum \limits_{r=1}^x r^{2}}{\sum\limits_{r=1}^x r^{3}}$ এর মান নির্ণয় কর।

প্রমাণ কর যেঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=na^{n-1}$

প্রমাণঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$

$=\lim \limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\left( x-a\right) \left( x^{n-1}+ax^{n-2}+\ldots \ldots +a^{n-1} \right) }{x-a}$

$=\lim \limits_{x\rightarrow a} \left( x^{n-1}+ax^{n-2}+\ldots \ldots +a^{n-1} \right)$

$=a^{n-1}+a\cdot a^{n-2}+\ldots \ldots +a^{n-1}$

$=na^{n-1}$

$\fbox{$\therefore \lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=na^{n-1}$}$   [সূত্র]

বিকল্প প্রমাণঃ

$\lim\limits _{h\rightarrow 0}\dfrac{\left( a+h\right) ^{n}-a^{n}}{a+h-a}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{a^{n}+na^{n-1}h+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2!}a^{n-2}h^{2}+\ldots +h^{n}-a^{n}}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{na^{n-1}h+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2!}a^{n-2}h^{2}+\ldots +h^{n}}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{h\left\{na^{n-1}+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2!}a^{n-2}h+\ldots +h^{n-1}\right\}}{h}$

$=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left\{na^{n-1}+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2!}a^{n-2}h+\ldots +h^{n-1}\right\}$

$=na^{n-1}$

সূত্রটির সাহায্যে মান নির্ণয় করঃ

$\lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{\sqrt[3] {x}^{7}-\sqrt[3] {a}^{7}}{\sqrt[3] {x}-\sqrt[3] {a}}$

সমাধানঃ

আমরাজানি,

$\lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=na^{n-1}$

$\therefore \lim\limits _{x\rightarrow a}\dfrac{\sqrt[3] {x}^{7}-\sqrt[3] {a}^{7}}{\sqrt[3] {x}-\sqrt[3] {a}}=7\sqrt[3]{a}^{7-1}$

                                         $=7\sqrt[3]{a}^{6}$

                                         $=7\left(a^{\tfrac{1}{3}}\right)^{6}$

                                        $=7a^2$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\lim\limits_{ x\rightarrow a}\dfrac{\sqrt{x}^{9}-\sqrt{a}^{9}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$

২.$\lim\limits _{x\rightarrow 5}\dfrac{\sqrt[4] {x}^{5}-\sqrt[4] {5}^{5}}{\sqrt[4] {x}-\sqrt[4] {5}}$