agebraic expression higher math

 ৮. মনে কর . $P(x)=ax^5x+ bx^4 +cx^3 + cx^2 + bx + a$ যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0,$ দেখাও যে, $(x-r)$ যদি $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হয়, তবে $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক $(x-r)$ ।

সমধান : দেওয়া আছে ,

$P(x)=ax^5 + bx^4+cx^3 + bx + a........(i)$

           [যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0$ ]

যেহেতু $(x-r),P(x)$ এর একটি উৎপাদক , সেহেতু $P(r)=0$ 

এখন, $P(r)=ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + ab + a$

$\therefore ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + a=0..........(ii)$

ধরি, $rx-1=0$

বা, $rx=1$

$\therefore x=\dfrac1r$

এখন, $P\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^5+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^4+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^3+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^2+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}+a$

$=\frac a{r^5}+\;\frac b{r^4}+\frac c{r^3}+\frac c{r^2}+\frac br+a$

$=\frac{a+\;br\;+\;cr^2\;+\;cr^3\;+\;br^4+\;ar^5}{r^5}$

$=\frac0{r^5}$

যেহেতু  $(i)$ নং বহুপদীতে $x=\frac1r$ বসালে প্রদত্ত বহুপদীর মান শূন্য হয় 

সেহেতু $(rx-1)$ উক্ত বহুপদীর একটি উৎপাদক ।

$\therefore (rx-1)$ ও $P(x)$ এর একটি উৎপাদক অ (দোখানো হলো )

৯. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :

$(i) x^4+7x^3+17x^2+17x+6$

সমাধান: মনে করি, $P(x)=x^4+7x^3+17x^2+17x+6$

$\therefore P(-1)=(-1)^4+7(-1)^3+17(-1)^2+17(-1)+6$

$=-1-7+17-17+6$

$=24-24$

$=0$

সুতরাং $(x+1),P(x)$ এর একটি উৎপাদক ।

এখন, $x^4+7x^3+17x^2+17x+6$

$=x^4+x^3+6x^3+6x^2+11x^2+11x+6x+6$

$=x^3(x=1)+6x^2(x_1)+11x(x+1)+6(x+1)$

$=(x+1)(x^3+6x+11x+6)$

$=(x+1)(x^3+6x^2+12x+8-x-2)$

$=(x+1)(x^3+6x+12x+6)$

$=(x+1)(x^3+6x^2+12x+8-x-2)$

$=(x+1(x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3-x-2)$

$=(x+1) \{(x+2)^3-1(x+2)\}$

$=(x+1)(x+2) \{(x+2)^2-1\}$

$=x+1(x+2)(x+2+1)(x+2-1) $

$=(x+.1)(x+2)(x+3)(x+1)$

$=(x+1)^2(x+2)(x+3) (Ans.)$

$(ii) 4a^4+12a^3+7a^3-3a-2$

সমাধান : মনে করি ,$P(a)=4a^4+12a^3+7a^2-3a-2$

$\therefore P(-1)=4(-1)^4+12(-1)^3+7(-1)^2-3(-1)-2$

$ =4-12+7+3-2$

$=14-14$

$=0$

সুতরাং $(a+1),P(a)$-এর একটি উৎপাদক ।

এখন, $4a^4+12a^3+7a^2-3a-2$

$=4a^4+4a^3+8a^3+8a^2-a^2-a-2a-2$

$=4a^3(a+1)+8a^2(a+1)-a(a+1)-2(a+1)$

$=(a+1)(4a^3+8a^2-a-2)$

$=(a+1) \{4a^3(a+2)-1(a+2)\}$

$=(a+1)(a+2)(4a^2-1)$

$=(a+1)(a+2) \{(2a)^2-1\}$

$=(a+1)(a=2)(2a+1)(2a-1)$

$=(2z-1)(a+1)(a+2)(2a+1) (Ans.)$

$(iii)$

সমাধান : মনে করি , $P(x)=x^3+2x^2+2x+1$

$\therefore P((-1)=(-1)^3+2(-1)^2+2(-1)+1$

$=-1+2-2+1$

$=3-3$

$=0$

সংতরাং $(x+1),P(x)$-এর একটি উৎপাদক ।

এখন, $x^3+2x^2+2x+1$

$=x^3+x^2+x^2+x+x+1$

$=x^2(x+1)+x(x+1)+(x+1)$

$=(x+1)(x^2+x+1) (Ans.)$

$(iv) x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+3xyz$

সমাধান : প্রদত্ত রাশি, 

$=x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)+3xyz$

$=xy^2+z^2x+yz^2+x^2y+zx^2+y^2z+3xyz$

$=x^2+z^2x+xyz+xyz+y^2z+yz^2+zx^2+xyz+2^2x$

$=xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+zx(x+y+z)$

$=(x+y+z)(xy+yz+zx) (Ans.)$

$(v) (x+1)^2(y-z)+(y+1)^2(z-x)+(z+1)^2(x-y)$

$=(x^2+2x+1)(y-z)+(y^2+2y+1)(z-x)+(z^2+2z+1)(x-y)$

$=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)+2x(y-z)$

$+2y(z-x)+2z(x-y)+(y-z+z-x+x-y)$

$=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)+2(xy-zx+yz-xy+zx-yz)+0$

$=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(z-y)+2\times 0$

$=x^2(y-z)+y^2z-xy^2+z^2x-yz^2$

$=x^2(y-z)+yz(y-z)-z(y^2-z^2)$

$=(y-z) \{x^2+yz-x(y+z)\}$

$=(y-z)(x^2-xy-zx-yz)$

$=(y-z)(x^2-xy-zx+yz)$

$=(y-z) \{x(x-y)-z(x-y)\}$

$=(y-z)(x-y)(x-z)$

$=(y-z)(x-y)\{-(z-x)\}$

$=-(x-y)(y-z)(z-x) (Ans.)$

$(vi) b^2c^2(b^2-c^2)+c^2a^2(c^2-a^2)+a^2b^2(a^2-b^2)$

সমাধান:  প্রদত্ত রাশি,

$b^2c^2(b^2-c^2)+c^2a^2+(c^2-a^2)+a^2b^2(a-b^2)$

$=b^2c^2(b^2-c^2)+c^4a^2-c^2a^4+a^4b^2-a^2b^2$

$=b^2 c^2 (b^2-c^2)+a^4 b^2-c^2a^4-a^2b^2+c^4a^2$

$=b^2c^2(b^2-c^2)+a^4(b^2-c^2)-a^2(b^4-c^4)$

$=(b^2-c^2) \{(b^2c^2+a^4-a^4-a^2(b^2+c^2)\}$

$=(b^2-c^2(b^2c^2+a^4-a^2b^2-c^2a^2)$

$=(b^2-c^2 \{a^2(a^2-b^2)-c^2(a^2-b^2)\}$

$=(b^2-c^2)(a^2-b^2)\{-(c^2-a^2)\}$

$=(a^2-b^2)(b^2-C^2)(c^2-a^2)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b)(b+c)(c+a) (Ans.)$

১০. যদি $\dfrac1{a^3}\;+\;\dfrac1{b^3}\;+\;\dfrac1{c^3}\;+\;\dfrac3{abc}$ হয় , তবে দেখাও যে ,

$bc+ ca + ab=0$ অথবা, $a=b=c$

সমাধান : দেওয়া আছে ,

$\dfrac1{a^3}\;+\;\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}=\dfrac3{abc}$

বা, $\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}-3.\dfrac1{a.}\dfrac1{b.}\dfrac1c=0$

 বা, $\dfrac12\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\left\{\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)^2+\left(\dfrac1b-\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c-\dfrac1a\right)^2\right\}=0$

বা, $\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\left\{\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)^2+\left(\dfrac1b-\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c-\dfrac1a\right)^2\right\}=0$ 

 অতএব,$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=0$

বা, $\dfrac{bc+ca+ab}{abc}=0$

$\therefore bc + ca + ab =0$

অথবা,$\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)^2+\left(\dfrac1b-\dfrac1c\right)^2+\left(\dfrac1c-\dfrac1a\right)^2=0$ 

যেহেতু তিনটি বর্গের সমষ্টির মান শূন্য, সুতরাং এদের প্রত্যেকের মান শূন্য ।

অর্থৎ $\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)^2=0$

 বা, $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=0$  [ বর্গমূল করে ]

বা, $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}$

বা, $a=b$

সুতরাং $bc+ca+ab=0$ অথবা $a=b=c$ (দেখানো হলো )

১১. যদি $x=b+c.-a,y=c+a-b$ এবং $z=a+b-c$ হয় তবে দেখাও যে, $x^3+y^3+z^3-3xyz=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

সমাধান : এখানে, 

$x^3+y^3+z^3-3xyz$

$=\dfrac{1}{2} (x+y+z) \{(z-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x^2)\}$

 $=\dfrac{1}{2} (b+c-a+c+a-b+a+b-c)\{b+c-a-c-a+b)^2 $

$+(c+a-b-a-b+c)^2 +(a+b-c-b-c+a)^2$

                                                               [$x,y,z$ এর মান বসিয়ে ]

$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{(2b-2a)^2 +(2c-2b)^ + (2a-2c)^2\}$ 

$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)[\{-2(a-b)\}^2 +\{-2(b-c)\}^2 +\{-2(c-a)\}^2]$

$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{4(a-b)^2 + 4(b-c)^2 + (c-a)^2\}$

$=4.\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}$

$=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

$\therefore x^3+y^3+z^3-3xyz=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$ (দেখানো হলো ) 

১২. সরল কর :

$(a)\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

সমাধান :

$\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c-b)}$

$=\dfrac{a^2}{-(a-b)(c-a)}+\dfrac{b^2}{-(b-c)(a-b)}+\dfrac{c^2}{-(c-a)(b-c)}$

$=\dfrac{a^2(b-c)-b^2(c-a)(a-b)+c^2(a-b)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$

চক্রক্রমিক রশ্মির সূত্রানুযায়ী 

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}=1 (Ans)$

$(b)\dfrac{a}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\dfrac{b}{(b-a)(b-c)(x-b)}+\dfrac{c}{(c-a)(c-b)(x-c)}$

সমাধান:

$\dfrac{a}{(a-b)(a-c)(x-a)}+\dfrac{b}{(b-a)(b-c)(b-x)}+\dfrac{c}{(c-a)(c-b)(c-x)}$

$=\dfrac{a}{(a-b)(c-a)(x-a)}+\dfrac{b}{-(a-b)(b-c)(x-b)}+\dfrac{c}{-(c-a)(b-c)}$

$=\dfrac{-a}{(a-b)(c-a)(x-a)}-\dfrac{b}{(a-b)(b-c)(x-b)}-\dfrac{c}{(c-a)(b-c)(x-c)}$

$\dfrac{-a(b-c)(x-b)(x-c)-b(c-a)(x-a)(x-c)-c(a-b)(x-a)(x-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)(x-a)(x-b)(x-c)}$

এখন, লব 

$=-a(b-c)(x^2-bx-cx+bc)-b(c-a)(x^2-ax-cx+ca)-c(a-b)x^2-ax-bx+ab)$

$=-a(b-c){x^2-(b+c)x+bc}-b(c-a0{x^2-x(c+a)+ca}-c(a-b){x^2-x(ab)+ab}$

$=-ax^2(b-c)+a(b-c)(b+c)x-abc(b-c)-bx^2(c-a)+b(c-a)(c+a)x-abc(c-a)-cx^2(a-b)$

$+c(a-b)(a+b)x-abc(a-b)$

$=-x^2{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}+x{a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)}-abc(b-c+c-a+a-b$

$=-x^2(ab-ca+bc-ab+ca-bc)+x(a-b)(b-c)(c-a)-abc\times0$

$=-x^2\times0+x$

$=x(a-b)(b-c)(c-a)$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $\dfrac{x(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)(x-a)(x-b)(x-c)}$

$={x}{(x-a)(x-b)(x-c)}(Ans.)$

$(c)\dfrac{(a+b)^2-ab}{(b-c)(a-c)}+\dfrac{(b+c)^2-bc}{(c-a)(b-a)}+\dfrac{(c+a)^2-ca}{(a-b)(c-b)}$

সাধান :

$\dfrac{(a+b)^2-ab}{(b-c)(a-c)}+\dfrac{(b+c)^2-bc}{(c-a)(b-a)}+\dfrac{(c+a)^2-ca}{(a-b)(c-b)}$

$=\dfrac{a^2+2ab+b^2-ab}{-(b-b)(c-a)}+\dfrac{b^2+abc+c^2-bc}{-(c-a)(a-b)}$

$+\dfrac{c^2+2ca+a^2-ca}{-(ca-b)(b-c)}$

$=\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)+(b-c)(b^2+bc+c^2)+(c-a)(c^2+ca+a^2)}{-(a-B)(b-c)(c-a)}$

$=\dfrac{(a^3-b^3)+(b^3-c^3)+(c^3-a^3)}{-(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\dfrac{a^3-b^3-c^3+c^3=a^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\dfrac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$={0} (Ans.)$

$(d)\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1+x^2}+\dfrac{4}{1+x^4}+\dfrac{8}{1+x^8}+\dfrac{16}{x^16-1}$

$=\left(\dfrac1{1-X}-\dfrac2{X}\right)+\dfrac2{X^2+1}$

$+\dfrac4{X^4+1}+\dfrac8{X^8+1}+\dfrac{16}{X^{16}-1}+\dfrac1{X-1}$

$=\dfrac{x-1-x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{x^2+1)}\dfrac{4}{x^4+1}+\dfrac{8}{x^8+1}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-2}{x^2-1}+\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{4}{x^4+1}+\dfrac{8}{x^8+1}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-2x^2-2+2x^2-2}{(x^2+1)(x^2-1)}+\dfrac{4}{x^4+1}+\dfrac{8}{x^8+1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-4}{x^4-1}+\dfrac{4}{x^4+1}+\dfrac{8}{x^8+1}+\dfrac{16}{x^16-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-4x^4-4+4x^4-4}{(x^4-1)(x^4+1)}+\dfrac{8}{x^8+1}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-8}{x^8-1}+\dfrac{8}{x^8_1}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{-8x^4-8+8x^8-8}{(x^8+1)(x^8-1)}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{16}{x^{16}-1}+\dfrac{1}{x-1}$

$=\dfrac{1}{x-1}(Ans.)$

১৩. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :

$(a)\dfrac{5x+4}{x(x+2)}$

সমাধান: মনে করি , $\dfrac{5x+4}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}.......(i)$

সমীকরণ $(i)$ এর উভয়পক্ষকে $x(x+2)$ দ্বারা গুন করে পাই,

$5x+4\equiv A(x+2)+B(x)..........(ii)$

সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=0$ বসিয়ে পাই,

$5.0+4=A(0+2)+B\times0$

বা, $4=2A$

বা, $2A=4$

$\therefore A=2$

আবার ,সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=-2$ বসিয়ে পাই, 

$5.(-2)+4=A(-2+2)+B(-2)$ 

বা, $-2B=-6$

$\therefore B=3$

এখন, $A$ এবং মান সমীকরণ $(i)$- এ বসিয়ে পাই,

$\dfrac{5x+4}{x(x+2)}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+2}$; এটিই নির্ণয়ে আংশিক ভগ্নাংশ ।

$(b)\dfrac{x+2}{x^2-7x+12}$

সমাধান: এখনে, ${x+2}{x^2-7x+12}=\dfrac{x+2}{x^2-4x-3x+12}$

$=\dfrac{x+2}{x(x-4)-3(x-4)}$

$=\dfrac{(x+2)}{(x-3)(x-4)}$

মনে করি, $\dfrac{(x+2)}{(x-3)(x-4)}\equiv\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{(x-4)}..........(i)$

সমীকরণ $(i)$ এর উভয়পক্ষকে $(x-3)(x-4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x+2\equiv A(x-4)+B(x-3)...................(ii)$

সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=3# বসিয়ে পাই,

$3+2=A(3-4)+B(3-3)$

বা, $-A=5$

$\therefore A=-5$

আবার, সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=4$ বসিয়ে পাই,

$4+2=A(4-4)+B(4-3)$

$\therefore B=6$

এখন, $A$ ও $B$ এর মান সমীকরণ $(i)$ -এ বসিয়ে পাই,

$\dfrac{x+2}{(x-3)(x-4)}=\dfrac{-5}{x-3}+\dfrac{6}{(x-4)}$

$=\dfrac{6}{(x-4)}-\dfrac{5}{x-3}$ এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।

$(c)\dfrac{x^2-9x-6}{x(x-2)(x+3)}$

সমাধান: মনেকরি, 

$\dfrac{x^2-9x-6}{x(x-2)(x+3)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{c}{x+3}.............(i)$

সমীকরণ $(i)$ উভয়পক্ষেকে $x(x-2)(x+3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2-9x-6\equiv A(x-2)(x+3)+B.x(x+3)+c.x(x-2).............(ii)$

সমীকরণ, $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=0$ বসিয়ে পাই.,

$(0)^2-9.9-6=A(0-2)(0+3)+B.0(0+3)+c.0(0-2)$

বা, $-6=-6A$

বা, $A=1$

$\therefore A=1$

আবার, সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=-3$ বসিয়ে পাই,

$(-2)^2-9(-3)-6=A(-3-2)(-3+3)+B(-3)(-3+3)+c(-3)(-3-2)$

বা, $9+27-6=0+0+15c$

বা, $15c=30$

$\therefore c=2$

এখন $A,B$ ও $c$ এর মান সমীকরণ $(i)$- এ বসিয়ে পাই,$\dfrac{x^2-9x-6}{x(x-2)(x+3)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2}{x+3}$; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।

$(d)\dfrac{x^2-4x-7}{(x+1)(x^2+4)}$

সমাধান:

মনে করি, $\dfrac{x^2-4x-7}{(x+1)(x^2+4)}\equiv\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}................(i)$ সমীকরণ $(i)$ এর উভয়পক্ষকে $(x+1)(x^2+4)$ দ্বারা গুণ করে পাই, 

$x^2-4x-7\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x+1).................(ii)$

সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষ $x=-1$ বসিয়ে পাই, $(-1)^2-4(-1)-7=A{(-1)^2+4}+{B(-1)+C}(-1+1)$

বা, $1+4-7=57$

বা, $5-7=5A$

বা, $-2=5A$

$\therefore A=-\dfrac{2}{5}$

আবার সমীকরণ $(ii)$ এর $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=1............(iii)$

এবং $B+C=-4.........(iv)$

সমীকরণ $(iii)$-এ $A=-\dfrac{2}{5}$ বসিয়ে পাই, 

$\dfrac{-2}{5}+B=1$

বা, $B=1+\dfrac{2}{5}$

$\therefore B=\dfrac{7}{5}$

সমীকরণ $(iv)$-এ $B=\dfrac{7}{5}$

$\dfrac{7}{5}C=-4$ 

বা, $C=-4-\dfrac{7}{5}$

বা, $C=\dfrac{-20-7}{5}$

$\therefore C={-27}{5}$

সমীকরণ $(i)$ এ $A,B$ এবং $C$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\dfrac{x^2-4x-7}{(x+1)(x^2+4)}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{-2}5}{x+1}+\dfrac{{\displaystyle\dfrac75}x-{\displaystyle\dfrac{27}5}}{x^2+4}=\dfrac15\left(\dfrac{-2}{x+1}+\dfrac{7x-2}{x^2+4}\right)$

$\therefore{x^2-4x-7}{(x+1)(x^2+4)}=\dfrac{1}{5}\dfrac{7x-27}{x^2+4}-\dfrac{2}{x+1}$; এটিই নির্ণয় আংশিক ভগ্নাংশ ।

$(e)\dfrac{x^2}{92x+1)(x+3)^2}$

 সমাধান : মনে করি, 

$\dfrac{x^2}{(2x+1)(x+3)^3}\equiv\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{c}{(x+3)^2}............(i)$

সমীকরণ $(i)$  এর উভয়পক্ষে $(2x+1)(x+3)^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2\equiv A(x+3)^2+Bx(x+3)(2x+1)+C(2x+1)...........(ii)$

সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=-3$ বসিয়ে পাই, 

$(-3)^2=A(-3+3)^2+B(-3+3){2(-3)+1}+C{2(-3)+1}$

বা, 9=-5C$

বা, $C=-\dfrac{9}{5}$

$\therefore C=-{9}{5}$

আবার, সমীকরণ $(ii)$ এর উভয়পক্ষে $x=-{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$\left(-\dfrac12\right)^2=A\left(-\dfrac12+3\right)^2+B\left(-\dfrac12+3\right)\left\{2\left(-\dfrac12\right)+1\right\}+C\left\{2\left(-\dfrac12\right)+1\right\}$

 বা,$\dfrac14=A\left(\dfrac{-1+6}2\right)^2+B.0+c.0$

বা, $\frac14=A\dfrac{25}{4^.}$

$\therefore A=\dfrac{1}{25}$

আবার, সমীকরণ $(ii)$ এর  $x^2$ এর সহগ সমীকরণ করে পাই,

$A+2B=1$

বা, $2B=1-\dfrac{1}{25}$

বা, $2B=\dfrac{25-1}{25}$

বা, $$B=\dfrac{24}{25\times2}$

$\therefore B=\dfrac{12}{25}$

এখন, $A,B$ ও $C$ এর মান সমীকরণ $(i)$ -বসিয়ে পাই

$\dfrac{x^2}{(2x+1){(x+3)}^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac1{25}}{2x+1}+\dfrac{\displaystyle\dfrac{12}{25}}{x+3}+\dfrac{\displaystyle\dfrac{-9}5}{{(x+3)}^2}$

$\dfrac{x^2}{(2x+1){(x+3)}^2}=\dfrac1{25(2x+1)}+\dfrac{12}{25(x+3)}-\dfrac9{5{(x+3)}^2;}$

এটিই নির্ণয় আংশিক ভগ্নাংশ ।

১৪. চলক $x$ এর একটি বহুপদী $P(x)=7x^2-3x+4x^4-a+12x^3$

ক. বহুপদীটির আর্দশরূপ রেখ ।

খ. $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x+2)$ হলে $a$ এর মান নির্ণয় কর ।

গ. যদি $Q(x)=6x^3-x^2-5x+2$ এর ক্ষেত্র $Q\left(\frac12\right)=0$ হয়, তবে $P(x)$ এবং $Q(x)$ এর সাধারণ উৎপাদক দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

ক. দেওয়া আছে, $P(x)=7x^2-3x+4x^4-a+12x^3$ 

$x$ চারকের বহুপদীকে $x$-এর ঘাতের অধঃক্রমে সাজালে বহুপদীর এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলে ।

$\therefore P(x)$ এর আদর্শরূপ হলো: $4x^4+12x^3+7x^2-3x-a$

খ. দেওয়া আছে, $p(x)=7x^2-3x+4x^4-a+12^3$

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $(x+2),P(x)$-এর একটি উৎপাদক হবে যদি $P(-2)=0$ হয় ।

এখন, $P(-2)$

$=7(-2)^2-3(-2)+4(-2)^2-a+12(-2)^3$

$=28+6+64-a-96$

$=2-a$

যেহেতু $P(-2)=0$ সুতরাং, $2-a=0$

$\therefore a=2 (Ans.)$

গ. দেওয়া আছে, $Q(x)=6x^3-x^2-5x+2$

যেহেতু, $Q\left(\dfrac1{2\;}\right)=0$ সুতরাং $(2x-1),Q(x)$ এর একটি উৎপাদক ।

এখন ,$Q(x)=6x^3-x^2-5x+2$

$=6x^3-3x^2+2x^2-x-4x+2$

$=3x^2(2x-1)+x(2x-1)-2(2x-1)$

$=(2x-1)(3x^2+x-2)$

$=(2x-1)(3x^2+3x-2x-2)$

$=(2x-1){3x(x+1)-2(x+1)}$

$=(2x-1)(x+1)(3x-2)$ 

আবার, $P(x)=7x^2-3x+4x^4-a+12^3$

$=4x^4+12x^3+7x^2-3x-2$              $[\because a=2]$

$\therefore P(-1)=4(-1)^4+12(-1)^3+7(-1)^2-3(-1)-2$

$=4-12+7+3-2$

$=14-14$

$=0$

$\therefore (x+1),P(x)$ এর একটি উৎপাদক ।

এখন, $4x^4+12x^3+7x^2-3x-2$

$=4x^4+4x^3+8x^3+8x^2(x+1)-x(x+1)-2(x+1)$

$=4x^4+4x^3+8x^3+8x^2-x^2-x-2x-2$

$=(x+1)(4x^3+8x+8x^2-x-2)$

$=(x+1){4x^2(x+2)-1(x+2)}$

$=(x+1)(x+2)(4x^2-1)$

$=(x+1)(x+2){(2x)^2-1}$

$=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x-1)$

$\therefore P(x)$ ও $Q(x)$ উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক $(x+1)$ ও $(2x-1)$

                                                                                                                            $(Ans.)$

১৫. $F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$

ক. দেওয়া আছে, $F(x,y,z)$ ,হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি ।

খ. $F(x,y,z)$ কে কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি $F(x,y,z)=0(X+y+z)\neq 0$ হয়,

তবে দোখাও যে, $(x^2+y^2+z^2)=(zy+yz+zx)$

গ. যদি $x =(b+c-a),y=(c+a-b),$ এবং $z=(a+b-c)$ হয় , 

তবে দেখাও যে, $F(a,v,c):F(x,y,z)-1;4$

সমাধান :

ক. দেওয়া আছে, $F(x,y,x)=x^3+y^3+x^3-3xyz$

এখন, রাশিটিতে $x$ এর পরিবর্তে $y,y$ এর পরিবর্তে $z$ এবং $z$ এর পরিবর্তে $x$ বসিয়ে পাই, 

$F(y,z,x)=y^3+z^3+x^3-3y.z.x$

$=x^3+y^3+z^3-3xyz$

$\therefore F(x,y,z)=F(y,z,x)=F(z,x,y)$

দেখা যাচর্ছে চালকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে ।

সুতরাং $F (x,y,z)$ হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি । (দেখাওনো হলো )

খ. দেখাওয়া আছে, $F(x,y,z)=x^3+y^3+x^3-3xyz$

$=(x+y)^3-3xyz(x+y)+z^3-3xyz$

$=(x+y)^3+x^3-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2)-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z)(z^2+2xy+y^2+z-zc-yz-3xy)$

$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

প্রশ্ননুসারে $F(x,y,z)=0$

বা,x^3+y^3+z^3-3xyz=0$

বা,$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0$

বা, $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0 [\because x+y+z\ne 0]$

$\therefore x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx$ (দেখানো হলো)

গ. দেওয়া আছে, $F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz................(i)$

$\therefore F(a,b,c,=a^3+b^3+c^3-3abc$

সমীকরণ $()i)$ হতে পাই.;

$F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$

$=\dfrac{1}{2}(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}$

$=\dfrac(b+c-a+c+a-b+a+b-c){(B+c-a-c-a+b)^2+(c+a-b-a-b+c)^2+(a+b-c-b-c+a)^2}$

                                                                                                             $[x,y,z$ এর মান বসিয়ে]

$=\dfrac{1}{2}(a+b+c){(2b-2a)^2+(2c-2b)^2+(2a-2c)^2}$

$\dfrac{1}{2}(a+b+c)[{-2(a-b)}^2+{-2(b-x)}^2+{-2(c-a)}^2]$

$\dfrac{1}{2}(a+b+c){4(a-b)^2+4(b-c)^2+4(c-a)^2}$

$4\dfrac{1}{2}(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}$

$\therefore F(x,y,z)=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

$\therefore F(a,b,c):F(x,y,z)$

$=(a^3+b^3+c^3-3abc):4(a^3+b^3+c^3-3abc)$

$=1:4$

$\therefore F(a,b,c):F(x,y,z)=1:4$ (দেখানো হলো)

১৬. চলক $x$ এর চারটি রাশি $(x+3),(x^2-9),(x^3+27) এবং $(x^4-81)$

গ.প্রথম রাশি $(x+3)$ এর গুনাত্মক বিপরীত রাশি $\dfrac{1}{x+3}$

দ্বিতীয় রাশি $(x^2-9)$ এর গুনাত্মক বিপরীত রাশি $\dfrac{1}{x^2-9}$

এবং চতুর্থ রাশি $x^4-81)$ এর গুনাত্মক বিপরীত রাশি $\dfrac{1}{x^4-81}$

$\therefore$ গুণাত্মক রাশিগুলোর সমষ্টি 

$=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x^2-9}+\dfrac{x^4-81}$

$=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x^2-9}+\dfrac{1}{(x^2)^2-(9)^2}$

$=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x^2-9}+\dfrac{1}{(x^2+9)(x^2-9)}$

$=\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{x^2+9+1}{(x^2-9)(x^2+9)}$

$=\dfrac{(x-3)(x^2+9)+x^2+10}{(x^2-9)(x^2+9)}$

$=\dfrac{x^3+9x-3x^2-27+x^2+10}{(x^2-9)(x^2+9)}$

$=\dfrac{x^2-2x^2+9x-17}{x^4-81} (Ans.)$

১৭. $(x=1)^3y+(y+1)^2$ রামিটিকে 

ক. $x$ চলকের বহুপদীর আদর্শআকারে বর্ণনা কর এবং $x$ চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর ।

খ. $y$ চলকের বহুপদী আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং $y$ চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর ।

গ.$x$ ও $y$ চলকের বহুপদীরূপে বিবেচনা করে তার মাত্রা নির্ণয় কর ।

সমাধান:

ক. দেওয়া আছে ,$(x+1)^3y+(y+1)^2$

$=(x^3+3x^2+3x+1)y+y62+2y+1$

$=x^3y+3x^2y+3xy+y+y^2+2y+1$

$=x^3y+3x^2y+3xy+(y^2+3y+1)$ এটি $x$ চলকের আদর্শ আকার ।

এখন, $x$ চলকের মাত্রা $=3$

মুখ্য সহগ $=y$

এবং ধ্রুব পদ $y^2+3y+1$

খ.দেওয়া আছে, (x+1)^3y+(y+1)^2$

$=(x^3+3x^2+3x+1)y+y^2+2y+1$

$=x^3y+3x^2y+3xy+y+y^2+2y+1$

$=y^2+(x^3+3x^2+3x+3)y+1; একটি $y$ চলকের আদর্শ আকার ।

এখন, $y$ চলকের মাত্রা $=2$

মুখ্য সহ$=1$

এবংধ্রুব পদ $=1$

গ. দেওয়া আছে, $(x+1_)^3y+(y+1)^2$

$=(x^3+3x^2+3x+1)y+y^2+2y+1$

$=(x^3y+3x^2y+3xy+y^2+3y+1;$

এখানে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফলের সর্বোচ্চ মান $4$ যা $x^3y$ পদে পাওয়া যায় ।

$\therefore$ রাশীটিকে $x$ ও $y$  চলকের বহুপদী বিবেচনা করলে বহুপদীটির মাত্রা $4.$