physics, force

ভেক্টরের সামান্তরিক বিধিঃ

কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু প্রকাশ করলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণ তাদের লব্ধি প্রকাশ করে।( লব্ধি হলো দুই বা ততোধিক ভেক্টরের যোগফল ) 

আয়ত একটি সামান্তরিক হওয়ায় কোন বিন্দুতে লম্বভাবে  ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টরের ( বেগ,ত্বরণ, বল তড়িৎতীব্রতা ) আনুভুমিক ও উলম্ব উপাংশ নিচের চিত্রে দেখানো হলোঃ

  

$\triangle ABC\;$  এর $cos\theta =\frac{AB}{AC}$

                                $cos\theta =\frac{X}{R}$

                               $X=Rcos\theta$

আবার , 

$\triangle ADC\;$  এর $cos(90° -\theta) =\frac{AD}{AC}$

                                $sin\theta =\frac{Y}{R}$

                               $Y=Rsin\theta$

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তরঃ

১.

‍রশির দৈর্ঘ্য $2\;m$ এবং গোলকটির আয়তন $\frac{1}{6}\pi \;m^3$

(ক)$A$ বিন্দু থেকে ছেড়ে দিলে কত ত্বরণে গতিশীল হবে?

(খ)$A$ ও $P$ অবস্থানে সুতার টান( $T$) কত? 

(গ)$P$অবস্থানে বেগ এবং গতিশক্তি নির্ণয় কর ?

(ঘ) দোলনকাল নির্ণয় কর। 

সমাধানঃ

(ক)

লব্ধি $W$ এর উলম্ব উপাংশ, $F=Wsin60°$

                                          বা,$ma=mgsin60°$

                                         বা,$a=gsin60°$

                                         বা,$a=9.8\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

                                         বা,$a=8.49 ms^{-2}$

বিকল্প নিয়মঃ

বস্তুটির ওজন,$W=1.5×9.8 N=14.7 N$

লব্ধিবল ‌$W$ আয়তক্ষেত্র $ABCD$এর কর্ণ বরাবর ক্রিয়া করে ।(ভেক্টরের সামান্তরিক বিধি অনুসারে )

$\triangle{ABC}$এর ক্ষেত্রে $cos30° =\frac{AB}{AC}$

                                  বা,$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{F}{W}$

                                  বা,$F=\frac{\sqrt{3}}{2}×W$

                                 বা,$F=\frac{\sqrt{3}}{2}×14.7 N$

                                 $\therefore F=12.73 N$

এই  $F$ বলে বস্তুটি $A$বিন্দু থেকে চলা শুরু করবে।

এখন $F=ma$

     বা,$12.73=1.5a$

     বা,$a=\frac{12.73}{1.5}$

     $\therefore a= 8.49 ms^{-2}$

(খ)নং প্রশ্নের সমাধানঃ

লব্ধি$W$ এর আনুভুমিক উপাংশ রশির টান দ্বারা প্রশমিত হবে।

$A$ অবস্থানে রশির টান,

                                     $T_A=Wcos60°$

                                  বা,$T_A=14.7×0.5$

                                 $\therefore T_A=7.35 N$

$P$অবস্থানে সুতার টান$T_P=Wcos0°$

                                           $=14.7×1$

                                           $=14.7 N$

বিকল্প নিয়মঃ

$\triangle{ADC}$এর ক্ষেত্রে $cos60° =\frac{AD}{AC}$

                                  বা,$cos60°=\frac{T_A}{W}$

                                বা,$T_A=Wcos60°$

                                  বা,$T_A=14.7×0.5$

                                 $\therefore T_A=7.35 N$

$P$অবস্থানে সুতার টান$T_P=Wcos0°$

                                           $=14.7×1$

                                           $=14.7 N$

(গ)নং প্রশ্নের সমাধানঃ

গোলকটির $A$অবস্থান হতে $P$অবস্থানে যাওয়ার অর্থ গোলকটির $QP$সরণ ঘটা ।

গোলকটির ব্যাসার্ধ $r$ হলে আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$

দেওয়া আছে, গোলকটির আয়তন $=\frac{1}{6}\pi m^3$

সুতরাং $\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{6}\pi m^3$

বা,$4r^3=\frac{1}{2}$

বা, $r^3=\frac{1}{8}$

বা, $r=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

বা,$r=\frac{1}{2}$

$\therefore r=0.5 m$

সুতরাং রশির কার্যকর দৈর্ঘ্য $L=(2+0.5)m=2.5m=OA=OP$

$OAQ$সমকোণী ত্রিভুজে,

$cos60°=\frac{OQ}{OA}$

বা,$0.5=\frac{OQ}{2.5}$

বা,$OQ=0.5×2.5$

$\therefore OQ=1.25m$

সুতরাং, $QP=(2.5-1.25)m=1.25m=s$

$P$অবস্থানে বেগ, $v=\sqrt{u^2+2as}$

                          বা,$v=\sqrt{0+2×8.49×1.25}$

                           $\therefore v=4.61\;\mathrm{ms^{-1}}$

গতিশক্তি , $E_k=\frac{1}{2}mv^2$

                         $=\frac{1}{2}\times 1.5\times 4.61^2$

                         $=15.94\;\text{J}$

(ঘ) উত্তরঃ

     $v=u+at$

বা, $4.61=0+8.49\times t$

বা, $t=\dfrac{4.61}{8.49}$

বা, $t=0.543\;\text{s}$

সুতরাং $T=4t=4\times 0.543\text{s}$

                     $=2.172\;\text{s}$

২.

$T_1 ,T_2 , W$এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বস্তুটির ওজন,$W=2\times9.8 N=19.6 N$

লব্ধিবল ‌$W$আয়তক্ষেত্র $ABCD$এর কর্ণ বরাবর ক্রিয়া করে ।(ভেক্টরের সামান্তরিক বিধি অনুসারে )

$\triangle{ABC}$এর ক্ষেত্রে $cos30° =\frac{AB}{AC}$

                                  বা,$0.866=\frac{T_1}{W}$

                                  বা,$T_1=0.866×W$

                                 বা,$T_1=0.866×19.6 N$

                                 $\therefore T_1=16.9736 N$

অনুরুপভাবে, $T_2=Wcos60°=9.8 N$

                                             কপিকল সংক্রান্ত সূত্রাবলী এবং তার প্রয়োগঃ

ঘর্ষণহীন কপিকলে ঝুলানো দুটি বস্তুর ক্ষেত্রেঃ

 

$m_1>m_2$ হলে কার্যকর বল$=W_1-W_2$ , এই বলে বস্তু দুটি $a$ ত্বরণে গতিশীল হবে।

সুতরাং $W_1-W_2=(m_1+m_2)a$

       বা,$m_1g-m_2g=(m_1+m_2)a$

       বা,$(m_1-m_2)g=(m_1+m_2)a$

       বা,$(m_1+m_2)a=(m_1-m_2)g$

      $\therefore a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}$

এখানে $W_1$ এবং $W_2$ ওজনের বস্তুর ক্ষেত্রে সুতা বা রশির টান একই হবে । কারণ ঘর্ষণহীন পুলিতে একই সুতা বা রশি দ্বারা বস্তু দুটিকে ঝুলিয়ে রাখা হয়েছে ।

অর্থাৎ সুতা বা রশির টান $T$ হলে , $m_1$ ভরের বস্তুর ক্ষেত্রে, $W_1-T=F=$কার্যকর বল।

                                                                                                 বা, $T=W_1-F$

                                                                                                  বা,$T=m_1g-ma$

                                                                                                 $\therefore T=m_1(g-a)$ 

 $m_2$ ভরের বস্তুর ক্ষেত্রে, $T- W_2=F=$কার্যকর বল।

                                        বা, $T=W_2+F$

                                         বা,$T=m_2g+ma$

                                        $\therefore T=m_2(g+a)$ 
                

        সূত্র সমূহঃ

১. $F=ma$

২. $v=u+at$

৩. $s=ut+\dfrac{1}{2}at^2$

৪. $v^2=u^2+2as$

৫. $F=P-f=ma$ এখানে $P=$ প্রযুক্ত বল এবং $f=$ ঘর্ষণ বল। $F$ কার্যকর বল।

৬.  $F=P-\mu mg=ma$  আনুভূমিক তলে ভূমির সমান্তরালে বল প্রয়োগ করলে।

৭. $F=P-\mu mg\cos \theta =ma$   [$\theta $ কোণে হেলানো তলে বল প্রয়োগে বস্তুকে গতিশীল করলে]

        

                                                 গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানঃ

১. $5kg\;$  ভরের একটি বস্তু $0.3$ঘর্ষণ সহগ যুক্ত মেঝেতে থাকা অবস্থায় দুই বিপরীত দিক 

থেকে $50N$ ও $70N$  বল প্রয়োগ করায় বস্তুটি কত ত্বরণে  গতিশীল হবে?

২. $1.5kg\;$  ভরের একটি স্থির বস্তুর উপর $10 N$ বল $3 s$  যাবৎ প্রয়োগ করা হলো। এরপর বল প্রত্যাহার করা হলো এবং $2 s$ পর গতির বিরুদ্ধে $3 N$ বল প্রয়োগ করা হল। যদি মেঝেটি $0.1$ ঘর্ষণ সহগ যুক্ত হয় তবে বস্তুটি কত দূরত্ব অতিক্রম করে থেমে যাবে ?

৩. $250\;\mathrm{gm}$ ভরের স্থির খেলনা গাড়ির উপর $0.1\;\mathrm{N}$ ঘর্ষণ বলযুক্ত মেঝেতে $2\;\mathrm{s}$ যাবৎ বল প্রয়োগ করার পর বল প্রত্যাহার করা হলো। বিপরীত দিক থেকে $25\;\mathrm{m}$ দূরে থাকা  $200\;\mathrm{gm}$ ভরের অপর একটি খেলনা গাড়ি ঐ মেঝেতে $3\;\mathrm{ms^{-1}}$ সমবেগে ঐ গাড়ির দিকে আসতে লাগলো। গাড়ি দুটির সংঘর্ষ হবে কি?

সমাধানঃ

প্রথম খেলনা গাড়ির আদিবেগ,$u=0$

    $2s$ যাবৎ বল প্রয়োগ করা হয়েছে ।

এক্ষেত্রে খেলনাটি সমত্বরণে চলবে।

প্রযুক্ত বল,$F=0.5 N$

ঘর্ষণবল,$f=0.1 N$

সুতরাং কার্যকর বল$=F-f=(0.5-0.1) N= 0.4 N$

                           ভর,$m=250 gm=0.25 kg$

ত্বরণ $a$ হলে ,$ F-f=ma$

                      বা,$0.4=0.25\times a$

                      বা,$a=\frac{0.4}{0.25}$

                       $\therefore a=1.6 ms^{-2}$

সুতরাং $2$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব$s=ut+\frac{1}{2}at^2$ [সূত্র]

       $s_1=0+\frac{1}{2}\times 1.6\times 2^2$

             $=3.2m$

এবং এই সময়ের শেষে বেগ, $v=u+at$ [ সূত্র]

                    $=0+1.6\times 2$

                    $=3.2ms^{-1}$ ,যা পরের অংশের আদিবেগ । পরের অংশে প্রযুক্ত বল শূণ্য ।

অর্থাৎ, $F=0$ এবং মন্দন $a$হলে 

$F-f=ma$ [সূত্র মতে]

বা,$0-0.1=0.25\times a$

$\therefore a=-0.4 ms^{-2}$

শেষবেগ, $v=0$

আদিবেগ, $u=3.2 ms^{-1}$

   $v^2=u^2+2as$ [সূত্র মতে]

   $0=3.2^2+2\times -0.4\times s_2$

   $s_2=12.8 m$

২য় গাড়িটির আদিবেগ, $u=3  ms^{-1}$

                প্রযুক্ত বল, $F=0 N$

               ঘর্ষণ বল,$f=0.1N$

                ভর,$m=200 gm=0.2kg$

               ত্বরণ, $a$ হলে 

         $F-f=ma$ [সূত্র মতে]

         $0-0.1=0.2×a$

       $\therefore a=-0.5 ms^{-2}$

        $v^2=u^2+2as$

        $0=3^2+2×-0.5×s_3$

        $s_3=9m$

সুতরাং গাড়ি দুটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $s=s_1+s_2+s_3$

   $=(3.2+12.8+9)m$

   $=25 m$

So the two cars can somehow avoid the collision.

$\large{\textbf{Question:}}$ 

A coconut of mass $2~\text{kg}$ falls straight down from the tree.

 What is the acceleration of the coconut if the air resistance is $8.6~\text{N}?$

$\large{\textbf{Solution:}}$

$W-f=ma$

$\Rightarrow a=\dfrac{m g-f}{m}$

$ \Rightarrow a=\dfrac{2 \times 9.8-8.6}{2}$

$\Rightarrow a=5.5 \mathrm{~ms}^{-2}$

 গাণিতিক প্রশ্নঃ

১.$10 \mathrm{~g}$ ভরের একটি বুলেট $300 \mathrm{~ms^{-1}}$ বেগে এক টুকরা কাঠের মধ্যে $1.5 \mathrm{~cm}$ প্রবেশ করে বেগ $40 \%$ হাস পায়। বুলেটের উপর কাঠ কর্তৃক বাধাদানকারী বল নির্ণয় কর।বুলেটটি পূর্বের বেগের ন্যুনতম কতগুণ বেগে কাঠকে আঘাত করলে এটি কাঠকে ভেদ করে বেরিয়ে যেতে পারত ?

A bullet of mass $10 \mathrm{~g}$ with a velocity $300 \mathrm{~ms^{-1}}$ enters a piece of wood $1.5 \mathrm{~cm}$ and loses a velocity $40 \%$ of it. Determine the resisting force exerted by the wood on the bullet. If the bullet had struck the wood with a velocity at least times its initial velocity, it would have passed through the wood.

বল সংক্রান্ত গাণিতিক প্রশ্নঃ

২. $20 \mathrm{~N}$ এর একটি বল $10 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি স্থির বস্তুর উপর ক্রিয়া করে। যদি $4 \mathrm{~s}$ পরে বলটি ক্রিয়া না করে তরে প্রথম হতে $8 \mathrm{~s}-এ$ বস্তু কত দূরত্ব অতিক্রম কররে নির্ণয় কর।

৩. $200 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি মোটর গাড়ি ঘণ্টায় $108 \mathrm{~km}$ বেগে চলে। ক্রেনের সাহায্যে গাড়িটিকে $20 \mathrm{~m}$ দূরতে থামিয়ে দেয়া হলো। বাধাদানকারী বলের মান বের কর।

৪. $5$ টনের একটি ট্রাক ঘণ্টায় $36 \mathrm{~km}$ বেগে চলছে । এটি $4 \mathrm{~m}$ দূরত্তে থামাতে হলে কত বলের প্রয়োজন হবে?

৫. স্থিরাবস্থা থেকে $40 \mathrm{~kg}$ ভরবিশিষ্ট কোনো বস্তু নির্দিষ্ট বলের ক্রিয়ার ফলে $2 \mathrm{~s}$ পর $15 \mathrm{~ms^{-1}}$ বেগ অর্জন করে। এর উপর কী পরিমাণ বল কাজ করছে এবং $4 \mathrm{~s}$ পর এর গতিশক্তি কত হবে?

৬. $0.3\;\mathrm{kg}$ ভরের রাইফেলের গুলি $30\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে বের হয়ে গেল। রাইফেলটি যদি $0.6\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে পশ্চাৎ দিকে আসতে চায় তবে রাইফেলের ভর কত হতে হবে ?

৭. $900 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি ট্রাক ঘণ্টায় $60\;\mathrm{km}$ বেগে চলে। ভ্রেক চেপে ট্রাকটিকে $50 \mathrm{~m}$ দূরে থামানো হলো। यদি মাটির ঘর্ষণজনিত বল $200 \mathrm{~N}$ হয়, তবে ব্রেক জনিত বলের মান নির্ণয় কর

৮. $500 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি গাড়ি $20 \mathrm{~ms^{-1}}$ বেগে চলছিল। একটি বিরুদ্ধ বল প্রগ়োগে গাড়িটিকে $50 \mathrm{~m}$ দূরে থামানো হলে (i) বিরুদ্ধ বলের মান ও (ii) যে সময় পরে গাড়িটি থামবে তা নির্ণয় কর

৯. একটি গতিশীল বস্তুর বিরুদ্ধে $25 \mathrm{~N}$ বল প্রয়োগ করায় $12 \mathrm{~m}$ দূরত্বে বস্তুটির গতিবেগ অর্ধেক হয়। বস্তুটির ভর $5 \mathrm{~kg}$ হলে প্রাথমিক বেগ কত ? কতক্ষণ ধরে বল ক্রিয়া করে তা নির্ণয় কর

১০.$5 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বন্দুকের নল থেকে $8 \mathrm{~g}$ ভরের একটি গুলি নির্গত হলে বন্দুকের প্রতিক্ষেপ বেগ 64 ms-1 হয়। গুলির প্রাথমিক বেগ কত ? গুলি লক্ষ্যবস্তুর মধ্যে $50 \mathrm{~cm}$ প্রবেশ করে স্থিরাবস্থায় আসে। গুলির ওপর প্রযুক্ত বাধা নির্ণয় কর

১১. $50 \mathrm{~g}$ ভরের একটি বুলেট $400 \mathrm{~ms^{-1}}$ প্রাথমিক বেগে একটি দেয়ালকে $40000 \mathrm{~N}$ গড় বলের সাহায্যে ভেদ করে $50 \mathrm{ms^{-1}}$ বেগে তা দেয়াল থেকে বের হয়ে যায়। দেয়ালটির বেধ কত ? অপেক্ষাক্ত কম ভরের অন্য একটি বুলেট একই প্রাথমিক বেগ ও একই বল নিয়ে দেয়ালটিকে ভেদ করতে পারে না। দ্বিতীয় বুলেটটির ভর কত ?

১২. $2 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বস্তুকে একটি প্রিং তুলা থেকে ঝুলানো আছে। যখন তুলাটি (i) $5 \mathrm{~ms}-2$ ত্ররে ওপরে উঠে এবং (ii) একই ত্বরণে নিচে নামে তখন প্রিং তুলাটি কত পাঠ দিবে ?

১৩. $60\;\mathrm{kg}$ ভরবিশিষ্ট এক ব্যক্তি লিফটে করে $4\;\mathrm{ms^{-2}}$ ত্বরণে নিচে নামছে। লোকটি লিফটের লেঝেতে কী। পরিমাণ বল প্রয়োগ করবে ? লিফটটি यদি একই তৃরণে ওপরে উঠতে থাকে তাহলে ওই ব্যক্তি কত প্রতিক্রিয়া বল অনুভব করবে?

১৪. $8 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বস্তু $8 \mathrm{~ms^{-1}}$ বেগে চলছে। বস্তুটিকে $20 \mathrm{~s}$ সময়ে থামাতে হলে কত বল প্রভ়োগ করতে হবে?

১৪. $1500kg$ ভরের একটি কামান থেকে $60 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি গোলা $50 \mathrm{~ms}-1$ বেগে ছোড়া হলো। কামানটি কত বেগে পিছনে সরে আসবে?

                           ঘর্ষণ

ঘর্ষণ : দুটি বস্তু পরস্পরের সংস্পর্শে থেকে যদি একটির উপর দিয়ে অপরটি চলতে চেষ্টা করে তাহলে বস্তুদ্বয়ের স্পর্শ তরে এই গতির বিরুদ্ধে একটা বাধার উৎপত্তি হয়, এই বাধাকে ঘর্ষণ বলে। কোন বস্তু বা তলই প্রকৃতপক্ষে সম্পূর্ণ মসৃণ নয়, ডঁচূ নিচূ থাকবেই আর সেটাই সৃষ্টি করে ঘর্ষণের।

ঘর্ষণ এক প্রকার বন যা বস্তুর গতির বিরুদ্ধে ক্রিয়া করে মন্দন সৃষ্টি করার চেষ্টা করে, তাই এর একক হবে নিউটন এবং এর মাত্রা হবে বলের মাত্রার সমতুল্য।

হিতি ঘর্ষণ: কোন তল এবং এই তলের ওপর অবস্থিত কোন বস্তুর মধ্যে আপেক্ষিক গতি সৃষ্টি না হাওয়া পর্যন্ত যে ঘর্ষণ বল ক্রিয়া করে তাকে সিতি ঘর্ষণ বল বলা হয়।

সীমাত্তিক ঘর্ষণ: কোন তলের অপর অবস্থিত কোন বস্তুকে গতিশীল করার জন্য বস্তুর অপর যে বল প্রয়োগ করলে বস্তুটিতে গতির সঞ্চার হওয়ার উপক্রম হয়, সেই সময় বস্তুদ্য়ের মধ্যবর্তী আপেক্ষিক গতিকে বাধাদানকারী ঘর্ষণ বলের মানকে সীমান্তিক ঘর্ষণ বলে।

স্থিতি ঘর্ষণ বলের মান ০ থেকে সীমান্তিক ঘর্ষণের সমান হয়

“সকল সীমান্তিক ঘর্ষণ-ই হ্থিতি ঘর্ষণ, কিন্তু সকল স্থিতি ঘর্ষণ সীমান্তিক ঘর্ষণ নয়”

গতীয় ঘর্ষণ: দুটি স্পশর্শেলের মধ্যে যখন আপেক্ষিক গতি থাকে, তখন তাদের মধ্যে যে ঘর্ষণ ক্রিয়া করে তাকে গতীয় ঘর্ষণ বলে।

একটি নির্দিষ্ট বস্তু এবং তলের ক্ষেত্রে গতীয় ঘর্ষণ বলের মান সর্বদা সীমান্তিক ঘর্ষণের বলের মানের চেয়ে কম হয়ে থাকে।

ঘর্ষণ মূলত দুই প্রকার। যথাঃ ১. স্থিতি ঘর্ষণ বা স্থির ঘর্ষণ (Static friction) ২. চল ঘর্ষণ বা গতীয় ঘর্ষণ (Kinetic friction)

চল ঘর্ষণকে আবার তিন ভাগে বিভক্ত করা হয়েছে। যথাঃ।

১. আবর্ত ঘর্ষণ (Rolling friction) ২.বিসর্প ঘর্ষণ (Sliding friction) ৩.প্রবাহী ঘর্ষণ (Fluid friction)

আবর্ত ঘর্ষণঃ

यখন কোন বস্তু অপর একটি তলের উপর গড়িয়ে যায় তখন তার গতির বিরুদ্ধে যে ঘর্ষণ ক্রিয়া করে তাকে

আবর্ত ঘর্ষণ বলে। গাড়ি রাস্তায় চললে চাকার উপর যে ঘর্ষণ বল ক্রিয়া করে সেটা আবর্ত ঘর্ষণ।

২। বিসর্প ঘর্ষণঃ

বিসর্প মানে স্লাইডিং বা স্লাইড। স্লাইড করার সময় যে ঘর্ষণ বল ক্রিয়া করে তাকে বিসর্প ঘর্ষণ বলে।

৩। প্রবাহী ঘর্ষণঃ

প্রবাহী বা তরল পদার্থসমূহ যেসকল ঘর্ষণে অংশগ্রহণ করে এবং তার ফলে যে ঘর্ষণ বলের সৃষ্টি হয় তাকে প্রবাহী ঘর্ষণ বলে। একে “প্রবাহী পদার্থ” অধ্যায়ে সান্দ্রতা হিসেবে আখ্যায়িত করা হয়েছে। প্রবাহী ঘর্ষণ ভে অধু প্রবাহী তরল পদার্থসমূহের মধ্যে সৃষ্টি হবে এমন কোন কথা নেই।

ধমনীতে রক্ত প্রবাহিত হওয়ার সময়, জলযান পানিতে চলার সময় কিংবা সাঁতার কাটার সময়ও প্রবাহী ঘর্ষণের সৃষ্টি হয়। বৃষ্টি পড়াও প্রবাহী ঘর্ষণের একটি বাস্তব উদাহরণ।

স্থিতি ঘর্ষণ গুণাঙ্কঃ পরস্পরের সংস্পর্শে অবস্থিত দুটি বস্তুর সীমাস্থ ঘর্ষণ এবং অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া অনুপাতকে স্থিতি ঘর্ষণ গুণাঙ্ক বলে। একে ধ $\mu_{s}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় । কোন বস্তুর উপর F বল প্রয়োগ করায় বস্তুর সীমান্তিক ঘর্ষণ বলের মান $f_{s}$ হয় এবং এর অভিলম্বিক প্রতিক্রিয়া হল R, তাহলে এর ঘর্ষণ গুণাঙ্ক $\mu_{s}=\dfrac{f_{s}}{\mathrm{R} }$. $f_{s}$ ও R এর একক একই। কাজেই $\mu_{s}$ এর কোন একক নেই। 

ঘর্ষণ কোণ (Angle of Fiction):  স্থিতি ঘর্ষণের সীমান্তিক মান $f_{s}$ এবং অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া R কে সমন্বয় করে যে লব্ধি পাওয়া যায় তাকে লব্ধি প্রতিক্রিয়া S বলে। এই লব্ধ প্রতিক্রিয়া অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার সাথে যে কোণ করে তাকে ঘর্ষণ কোণ বা স্থিতি ঘর্ষণ কোণ বলে। ঘর্ষণ কোণকে $\lambda$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় $\mathrm{R}=\mathrm{S} \cos \lambda \ldots \ldots \ldots(1)$ $f_{s}=S \sin \lambda$

আবার $\mu_{s}=f_{s} / \mathrm{R}$

অতএব $\mu_{s}=\tan \lambda$

ঘর্ষণ সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যাঃ

১. দুটি তলের মধ্যকার স্থির ঘর্ষণ কোণ $60^{\circ}$ । তাদের ঘর্ষণ গুণাস্ক কত ?

২. দুটি তলের মধ্যকার স্থির ঘর্ষণ গুণাঙ্ক $\frac{1}{\sqrt{3}}$ । ঘর্ষণ কোণ নির্ণয় কর

৩. কোন মেঝেতে স্থাপিত $400\;\mathrm{N}$ এর একটি কাঠের ব্লকের উপর অনুভূমিকভাবে $160\;\mathrm{N}$ বল প্রয়োগ করলে এটি চলার উপক্রম হয়। মেঝে ও কাঠের ব্লকের মধ্যবর্তী ঘর্ষণাঙ্ক নির্ণয় কর।

8. $60 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বাক্সকে $450 \mathrm{~N}$ অনুভূমিক বলে মেঝের ওপর দিয়ে টানা হচ্ছে। বাক্সটি যখন চলে তখন বাক্স ও মেঝের মধ্যবর্তী ঘর্ষণ সহগ $0.501$ বাক্সের ত্বরণ নির্ণয় কর

৫. $1000 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি গাড়ির চাকা ও রাস্তার সাথে স্থিতি ঘর্ষণের সহগ বা গুণাঙ্ক $0.8$ হলে, গাড়িটি সর্বোচ্চ কত ঢালু রাস্তায় পিছলিয়ে না পড়ে থেমে থাকতে পারবে ?

৬. একজন লোক পায়ে স্কেট পরে $30^{\circ}$ ঢালু তলে নিচের দিকে রওয়ানা হলো। তলের সাথে স্কেট এর ঘর্ষণ সহগ বা গুণাঙ্ক $0.10$ হলে তার ত্রণ কত হবে ? $5 \mathrm{~s}$ পরে তার দ্রুতি কত হবে

৭. মেঝের উপর রাখা $100 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি কাঠের বাক্সকে একটি রশির সাহায্যে গতিশীল করতে চেষ্টা করা হচ্ছে। রশিটিকে আনুভূমিকের সাথে $30^{\circ}$ কোণে টানলে এবং বাক্স ও মেঝের মধ্যে স্থিতি ঘর্ষণ গুণাঙ্ক $0.4$ হলে রশিতে কত টান দিলে বাক্সটি গতিশীল হবে

৮. একটি গাড়িকে ভূমির সাথে $5^{\circ}$ নতি কোণের তলে নিচের দিকে চলতে দেওয়া হলো। গাড়ির চাকার সাথে তলের চল ঘর্ষণ গুণাঙ্ক $=0.08$ হলে গাড়িটির ত্বরণ কত হবে

৯. মেঝে ও কাঠের ব্লের মধ্যবর্তী স্থিতি ঘর্ষণাঙ্ক $0.4$ । ঘর্ষণ কোণ নির্ণয় কর । ভ্লকটির ভর 8 kg হলে অনুভূমিক দিকে নূযূতম কত বল প্রয়োগ করলে ব্লকটি চলতে শুরু করবে

১০. সুতার সাহায্যে এক টুকরা পাথর বেঁধে মেঝের সাথে $30^{\circ}$ কোণে $26 \mathrm{~N}$ বলে টানা হচ্ছে। এতে পাথরটি সমবেগে গতিশীল আছে। পাথরের ভর $10 \mathrm{~kg}$ হলে পাথর ও মেঝের মধ্যবর্তী গতীয় ঘর্ষণ গুণাঙ্ক কত?

বলের ঘাতের অঙ্কঃ

$50\;\mathrm{g}$ ভরের একাট মার্বেল $5\;\mathrm{m}$ মি উচ্চতা থেকে একটি আনুভুমিক তলে পড়ল এবং প্রতিক্ষিপ্ত হয়ে $32\;\mathrm{m}$ উঁচুতে উঠল। সংঘর্ষটি $0.1\;\mathrm{s}$ স্থায়ী হলে তল দ্বারা প্রযুক্ত বল এবং ঐ বলের ঘাত কত?

গাণিতিক প্রশ্নঃ

স্কেটিং জুতা পায়ে দাঁড়ানো তমালের কাছে অমল $3.3\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বল ছোঁড়ে ।তমালের ভর $48\;\mathrm{kg}$ । বলটি লোফার সাথে সাথে তমাল $0.32\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে গতিশীল হয়। তমাল যখন বলটি ধরে তখন বলের বেগ কত ছিল?

সমাধানঃ

তমালের আদিবেগ, $u_{1}=0$

তমালের ভর, $m_{1}=48 \mathrm{~kg}$

বলটির আদিবেগ, $u_{2}=$ ?

বলটির ভর, $m_{2}=3.3 \mathrm{~kg}$

তমালের শেষবেগ $=$ বলটির শেষবেগ $=v=0.32\;\mathrm{ms^{-1}}$

$\left(m_{1}+m_{2}\right){v}=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2}$

$\Rightarrow (48+3.3) \times 0.32=48 \times 0+3.3 \times u_{2}$

$\Rightarrow  51.3 \times 0.32=3.3 u_{2}$

$\Rightarrow  16.416=3.3 u_{2}$

$\Rightarrow  u_{2}=\frac{16.416}{3.3}$

$\therefore  u_{2}=4.9745 \mathrm{~ms}^{-1}$

সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

১. $2.5\;\text{kg}$ ভরের স্থির বস্তুর ঘর্ষণ সহগ $0.1$ ,বস্তুটির ওপর $11\;\text{N}$ বল প্রয়োগ করায় $3\;\text{s}$ পর বিপরীত দিক থেকে $3\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে আসা $4\;\text{kg}$ ভরের বস্তুর সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয় ।

(ক) সাম্য বল কাকে বলে?

(খ) দেখাও যে স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে একই ভরের বস্তুর বেগ বিনিময় ঘটে ।

(গ) প্রথম বস্তুটি কত দূরত্ব অতিক্রম করে সংঘর্ষে লিপ্ত হবে?

(ঘ) অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের পর মিলিত বেগ এবং স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের পর পৃথক বেগ বের কর।

             সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

ইঞ্জিন বন্ধের পর স্থির পানিতে $300\;\text{kg}$ ভরের $0.5\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে গতিশীল একটি নৌকার সামনে থেকে সোজা সামনের দিকে $70\;\text{kg}$ ভরের একজন ডুবুরি $6\;\mathrm{ms^{-1}}$ পানিতে ঝাঁপ দেয়

(ক) ঘর্ষন সহগ কাকে বলে?

(খ) দেখাও যে বলের ঘাত= ভরবেগের পরিবর্তন।

(গ) ডুবুরির পানিতে ঝাঁপ দেওয়ার পর নৌকা কোন দিকে কত বেগে গতিশীল হবে?

(ঘ) অপর প্রাপ্ত থেকে $65\text{kg}$ ভরের একজন ডুবুরি একই সময়ে $4\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে ঐ ডুবুরির বিপরীতে ঝাঁপ দিলে নৌকা $3\;\text{s}$ পর কত দূরত্ব অতিক্রম করে থেমে যাবে?

         সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$72\;\mathrm{kmh^{-1}}$ বেগে চলমান একটি গাডির চালক $45.5\;\text{m}$ দূরে দাড়াঁনো একজন লোককে দেখতে পেলেন। সাথে সাথে ব্রেক চেপে দেওয়ায় লোকটির 50 cm সামনে এসে গাড়টি থেমে গেল। আরোহীসহ গাড়ির ভর 1000 kg.

(ক) ঘাত বল কাকে বলে?

(খ) ভরবেগের সংরক্ষন সূত্রের শর্তগুলো লিখ।

(গ) উদ্দীপকে উল্লেখিত গাড়ি থামাতে এর উপর কত বল প্রযুক্ত হলো নির্ণয় কর।

(ঘ) পথের ঘর্ষন সহগ $0.02$ হলে ঐ ব্যক্তির কত সামনে গাড়িটি থেমে যাবে?

               সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$25\;\text{kg}$ ভরের কোন স্থির বস্তুর উপর $11\;\text{N}$ বল প্রয়োগ করা হলো। বস্তুটি চলার পথে 1.5N ঘর্ষন বলের সম্মুখীন হয়। এবং 3s সময় পর বিপরীত দিক থেকে $3\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে আসা $4\;\text{kg}$ ভরের বস্তুর সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়।

(ক) বলের ঘাত কাকে বলে।

(খ) দেখাও যে, বলের ঘাত= ভরবেগের পরিবর্তন।

(গ) কত দূরত্ব অতিক্রম করে সংঘর্ষে নিপ্ত হবে?

(ঘ) সংঘর্ষের পর মিলিত বস্তু দুটির বেগ ও দিক নির্ণয় কর।

           সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

$2.5\;\text{kg}$ ভরের স্থির বস্তুর স্থিতি ঘর্ষণ সহগ$ 0.1$, বস্তুটির উপর $11\;\text{N}$ বল প্রয়োগ করার তিন সেকেন্ড পর বিপরীত দিক থেকে $3\;\mathrm{ms^{-1}}$বেগে আসা $4\;\text{kg}$ ভরের বস্তুর সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়।

(ক) নিউটন কাকে বলে?

(খ) প্রথম বস্তুটি কত দূরত্ব অতিক্রম করে সংঘর্ষে লিপ্ত হবে?

(গ) সংঘর্ষের পর মিলিতভাবে বস্তু দুটি কত বেগে কোন দিকে গতিশীল হবে?

(ঘ) যদি স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ ঘটত তাহলে প্রথম বস্তুটি দ্বিতীয় বস্তুর তুলনায় কত গুণ বেশি বেগ প্রাপ্ত হত?

            সৃজনশীল প্রশ্ন-৬: 

$3\;\text{kg}$  ভরের একটি বস্তুর উপর $30\;\text{N}$  বল প্রয়োগ করার $3\;\text{s}$ পর বল প্রত্যাহার করা হলো এবং $7\;\text{s}$ পর বস্তুটি থামানোর জন্য $20\;\text{N}$ বল গতির বিরুদ্ধে প্রয়োগ করা হলো 

(ক) অসাম্য বল কাকে বলে?

(খ) বল কি ধরণের রাশি?

(গ) যদি বস্তুটি আদিতে  স্থির থাকে তবে ঘর্ষণহীন মেঝেতে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে ?

(ঘ) $ 0.3$ ঘর্ষণসহগ যুক্ত মেঝেতে বস্তুটি  আগের তুলনায় কত কম দূরত্ব অতিক্রম করবে নির্ণয় কর ?

গাণিতিক সমস্যা-১:

$50$ $\text{N}$ এর একটি বল $10$ $\text{kg}$ ভরের একটি স্থির বস্তুর উপর ক্রিয়া করে। যদি $4$ $\text{s}$ পরে বলটি ক্রিয়া না করে তবে প্রথম হতে $\mathrm{8\;s}$-এ বস্তু কত দূরত্ব অতিক্রম করবে নির্ণয় কর।

উত্তরঃ $600\text{m}$

গতি জড়তা: গতিশীল বস্তুর গতিশীল থাকেবে যে ধর্ম তাকে গতি জড়তা বলে। একে $1_k$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$1_k\propto \mathrm {mv}$

বস্তুর গতিশীলতা বস্তুর ভর ও বেগের গুণফলের সমানুপাতিক।

স্থিতি জড়তা: স্থিতিশীল বস্তুর স্থির থাকার ধর্ম বা  প্রবণতাকে স্থিতি জড়তা বলে। একে $1_s$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$1_s\propto \mathrm {m}$

বস্তুর স্থিতিশীলতা বস্তুর ভরের সমানুপাতিক।

নুউপনের স্থিতিশীলতা বস্তুর বেরের সমানুপাতিক।

নিউটনের গতির ২য় সূত্র:

বিবৃতি: বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার উপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং বল যেদিকে ক্রিয়া করে বস্তুর ভর বেগের পরিবর্তন সেদিকে ঘটে।

ভরবেগ: বস্তুর ভর ও বেগের গুণফলকে ভরবেগ বলে।

ব্যাখ্যা: $\mathrm {m}$ ভরের কোনো বস্তুর বেগ $v$ হলে,

ভরবেগ $p=\mathrm {mv}$ 

ভরবেগের একক $=1\mathrm {kgms^{-1}}$

ভরগেবের মাত্রা $=\mathrm {[MLT^{-1}]}$

ভরবেগের মাত্রা সমীকরণ হলে,

$[P]=\mathrm {MLT^{-1}}$

$[$ ভরবেগ একটি ভেক্টর রাশি। কেননা বেগ একটি ভেক্টর রাশি $]$

ভরবেগের পরিবর্তনের হার:

ভরবেগের পরিবর্তন $\Delta P = P_2-P_1$                                                                                                  $\mathrm {= mv -mu}$                                                                                                                               

$\mathrm {=m(v-u)}$                                                                                                                                  $\therefore $ ভরবেগের পরিবর্তনের হার $=\dfrac {\Delta . P}{t}$                                                            $\mathrm {=\dfrac {m(v-u)}{t}}$

$\mathrm {=\dfrac {mv-mu}{t}}$

$\mathrm {=\dfrac {m}{1}\times (\dfrac {u-u}{t}}$

$\mathrm {= m(\dfrac {v-u}{+})}$        

$\mathrm {= ma [\because a=\dfrac {v-u}{+}]}$ 

২য় সূত্রানুসারে,                                                                                                                                            

ভরবেগের পরিবর্তনের হার $\propto $ প্রযুক্ত বল                                                         

বা, $\mathrm {ma \propto F}$             

বা, $\mathrm {ma=kF}$ $\cdots \cdots (i)$       

একক বলের সংঞ্জানুসারে,                                                                                                                            

যে বল একক ভরের কোনো বস্তির উপর ক্রায়া করে একক ত্বরণ সৃষ্টি করে তাকে একক বল বলে।

যখন, $\mathrm {m=1}$ একক                                                       

$a=1$ একক

তখন, $F=1$ একক

$(i)$ নং হতে,

$1\times 1=k\times 1$

বা, $1=k$

$\therefore k=1$

$k=1,(i)$ নং এ বসিয়ে,

$\mathrm {ma=1\times F}$

বা, $\mathrm {ma=F}$

$\mathrm {\fbox {F=ma }}$                     

বস্তুর ভর এবং এর ত্বনণের গুণফলকে বল বলে। এটি বলের পরিমাণগত সংঙ্গা।

$\mathrm {C.G.S}$ পদ্ধতিতে $F$ এর একক হল $\mathrm {dyne}$

বলের ঘাত: বল এবং সময়ের গুণফলকে বলা হয় বলের ঘাত।

"বলের ঘাত বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের সমান" ব্যাখ্যা কর।

$\rightarrow $ কোনো বস্তুর $\mathrm {F}$ বল $t$ সময় ধরে ক্রিয়া করলে বলের ঘাত,

$\mathrm {J = F\times t}$

বা, $\mathrm {J = ma\times t}$

বা, $\mathrm {J = m\times \dfrac {v-u}{t}\times t}$

বা, $\mathrm {J = m(v-u)}$

বা, $\mathrm {J = mv - mu}$

বা, $\mathrm {\therefore J=\Delta P}$

$\mathrm {J}$ এবং $\Delta P$ এর একক $\mathrm {kgms^{-1}}$

$\therefore $ বলেরঘাত বস্তুর ভরবেগের পরির্বতনের সমান।

ঘাত বল: যে বলের মান খুব বেশি কিন্তু ক্রিয়া কাল কম তাকে ঘাত বল বলে। যেমন: ব্যাট দ্বারা ক্রিকেট বলকে আঘাত করা।

$\therefore $ নির্ণয় ত্বরণ $=2.5 \mathrm {ms^{-2}}$

$300 \mathrm {kg}$ ভরের একটি গাড়ি $2\mathrm {ms^{-2}}$ ত্বরণে গতিশীল করতে কত বল প্রয়োগ করতে হবে? 

$[$ বাতাসের বাধা $7\mathrm {N}$ এবং ঘর্ষণ বল $8 \mathrm {N}]$

$R=\mathrm {ma}$

বা, $F_1+(-F_2)+(-F_3)=M\times a$

বা, $F_1+(-7)+(-8)=3000\times 2$

বা, $F_1-7-8=600$

বা, $F_1=600+7+8$

$\therefore F_1=615 \mathrm {N}$

$\therefore $ গড়িটি শতিশীল করতে $615 \mathrm {N}$ বল প্রয়োগ করতে হবে।

সাম্য বল: একাদীখ বলের লদ্ধি শূন্য হলে ঐ বল গুলোকে সাম্য বল বলে। এক্ষেত্রে $R = O$ হয়।

অর্থাৎ $F_1+F_2=O$

অসাম্য বল: একাধিক বলের লব্ধি শূন্য না হলে ঐ বলগুলোকে অসাম্য বল বলে। এক্ষেত্রে $R\ne O$ হয়

অর্থাৎ $F_1+F_2\ne O$

১৩. $3 \mathrm {kg}$ ভরের একটি স্থির বস্তুর ওপর $90 \mathrm {N}$ বল $8 \mathrm {s}$ সময় যাবৎ প্রয়োগ করা হল। এর $5\mathrm {s}$ পর বস্তুটিকে পুণরায় স্থির অসব্থায় আনার জন্য $-120\mathrm {N}$ বল প্রয়োগ করা হল।

(ক) বল কাকে বলে?

(খ) ঘর্ষণ সৃষ্টি হবার কারণ ব্যাখ্যা কর।

(গ) বস্তুটির মোট অতিক্রান্ত দুরত্ব হিসাব কর।

(ঘ) বস্তুটির বেগ বনাম সময় এবং সরণ বনাম সময় লেখচিত্র আঁক এবং বেগ বনাম সময় লেখচিত্র থেকে দেখাও যে, $ৱমৃটবপম {X}$ অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের সমান।

ঘর্ষণযুক্ত মেঝেতে:

১ম ক্ষেত্রে,

$a = \dfrac {F_1-u_k\mathrm {mg}}{m} =\dfrac {30-(0.3\times 3\times 9.8)}{3}$

$= 7.06 \mathrm {ms^{-2}}$

$\mathrm {s_1 = \dfrac {1}{2}at^2 = }$ $\mathrm {\dfrac {1}{2} \times }$ $\mathrm {7.06\times 9 =31.77 m}$

$\mathrm {v_1=u+at =7.06\times 3 = 21.18 ms^{-1}}$

২য় ক্ষেত্রে,

$\mathrm {a = \dfrac {F-ukmg}{m} = \dfrac {O-(0.3\times 3\times 9.8)}{3} =2.94 ms^{-2}}$

$\therefore $ মন্দন $=2.94 \mathrm {ms^{-2}}$

$\therefore \mathrm {s_2=ut+\dfrac {1}{2}at^2}$

           $\mathrm {=(21.18\times 7)+\dfrac {1}{2} (-2.94)\times 7^2}$

           $\mathrm {76.23 \ m}$

$\mathrm {y_2 = u+at =21.18 - (2.94)7}$

                          $= 0.6 \mathrm {ms^{-1}}$

***ভরবেগের সংরক্ষন সূত্র হতে,

$\mathrm {m_1v_1+m_2v_2 = m_1u_1+m_2u_2 \cdots \cdots (i)}$

বা, $\mathrm {m_1v_1-m_1u_1 = m_2u_2-m_2v_2}$

বা, $\mathrm {m_1(v_1-u_1) = m_2(u_2-v_2)\cdots \cdots (ii)}$

শক্তির সংরক্ষস সূত্র হতে,

$\mathrm {\dfrac {1}{2} m_1v_1^2+\dfrac {1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac {1}{2}m_1u_1^2+\dfrac {1}{2}m_2u_2^2}$     

বা, $\mathrm {m_1v_1^2+m_2v_2^2 = m_1u_1^2+m_2u_2^2}$

বা, $\mathrm {m_1v_1^2-m_1u_1^2 = m_2u_2^2-m_2v_2^2}$                     

বা, $\mathrm {m_1(v_1^2-u_1^2) = m_2(u_2^2-v_2^2)}$

বা, $\mathrm {m_1(v_1+u_1)(v_1-u_1) = m_2(u_2+v_2)(u_2-v_2) \cdots \cdots (iii)}$

$(ii)\div (i) \Rightarrow $

$\mathrm {\dfrac {m_1(v_1+u_1)(v_1-u_1)}{m_1(v_1-u_1)} = \dfrac {m_2(u_2+v_2)(u_2-v_2)}{m_2(u_2-v_2)}}$

বা, $\mathrm {v_1+u_1=u_2+v_2}$

বা, $\mathrm {v_2=v_1+u_1-u_2 \cdots \cdots (iv)}$

এবং $\mathrm {v_1=u_2+v_2-u_1 \cdots \cdots (v)}$

$(iv)$ নং এর $v_2$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই,

$\mathrm{m_1v_1+m_2(v_1+u_1-u_2) = m_1u_1+m_2u_2}$

বা, $\mathrm {m_1v_1+m_2v_1+m_2u_1-m_2u_2 = m_1u_1+m_2u_2}$

বা, $\mathrm {(m_1+m_2)v_1=m_1u_1-m_2u_1+2m_2u_2}$

$\mathrm {\therefore v_1 = \dfrac {(m_1m_2)u_1+2m_2u_2}{m_1+m_2}}$

$(v)$ নং এর $v_1$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই,

$\mathrm {m_1(u_2+v_2-u_1)+m_2v_2 = m_1u_1+m_2u_2}$

বা, $\mathrm {m_1u_2+m_1v_2-m_1u_1+m_2v_2 = m_1u_1+m_2u_2}$

বা, $\mathrm {(m_1+m_2)v_2=m_1u_1+m_2u_2+m_1u_1-mm_1u_2}$

বা, $\mathrm {v_2 = \dfrac {(m_2-m_1)u_2+2m_1u_1}{m_1+m_2}}$

৪. $\mathrm {W= mg \ =(1.5\times 9.8) = 14.7N}$

$\mathrm {R = Wcos \theta = 14.7\times cos 60°}$

                         $= 7.35 \mathrm {N}$

$\mathrm {fs =Wsin \theta =14.7\times sin 60°}$

                         $=14.73 \mathrm {N}$

$uk = \dfrac {fk}{R}$

বা, $\mathrm {fk = ukR = (1.9\times 7.35) = 13.965}$

$\therefore F = W-fk$

          $= 14.7-13.965$

          $= 0.735 \mathrm {N}$

** কোনো মেঝেতে রাখা $50 \mathrm {kg}$ ভরের কোনো বাক্সের উপর অনুভুমিকভাবে $147 \mathrm {N}$ বল প্রয়োগ করলে এটি চলার উপক্রম হয়। মেঝে ও বাক্সের মধ্যবর্তী স্থিতি ঘর্ষণ সহগ কত?

(ক) $3.33$       (খ) $2.94$      (গ) $0.34$       (ঘ) $0.30$

৩/ ১ম ক্ষেত্রে,

$\mathrm {F=ma}$

বা, $\mathrm {a=\dfrac {30}{3} = 10ms^{-2}}$

$\mathrm {s_1 = ut+\dfrac {1}{2}at^2 = O+\dfrac {1}{2}\times 10\times 3^2}$

                                                                      $=45\mathrm {m}$

$\mathrm {v_1 = u+at = O+10\times 3 = 30ms^{-1}}$

২য় ক্ষেত্রে,

$s_2=vt = 30\times 7 = 210 \mathrm {ms^{-1}}$

২য় ক্ষেত্রে,

$s_2=vt = 30\times 7 =210\mathrm {m}$

৩য় ক্ষেত্রে,

$\mathrm {a= \dfrac {a = \dfrac {F_2}m}{= \dfrac {2d}{3} = ms^{-2}}}$

                   $\mathrm {=6.67 ms^{-2}}$

$\mathrm {v^2=u^2-2as_3}$

বা, $\mathrm {O=30^2 -2\times 6.67\times s_3}$

বা, $\mathrm {s_3=67.46 m}$

$\therefore $ মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $\mathrm {S=s_1+s_2+s_3}$

                                $=322.46 \mathrm {m}$

৩য় ক্ষেত্রে,

মন্দন, $\mathrm {a = \dfrac {F_2+ukmg}{m}=\dfrac {20+(0.3\times 3\times 9.8)}{3}}$

                                              $\mathrm {=9.6067 \  ms^{-2}}$

$\mathrm {v^2=u^2-2as_3}$

বা, $\mathrm {2as_3=(0.6)^2}$

বা, $\mathrm {s_3=\dfrac {(0.6)^2}{2\times 9.6067}}$

$\therefore $$\mathrm {S=s_1+S_2+s_3}$

       $\mathrm {= 31.77+76.23+0.0187}$

       $\mathrm {=108.0187 \ m}$

$\therefore $ $\mathrm {S-S =(322.46-108.0187) \ m}$

                $\mathrm {=214.44 \ m}$

স্পর্শ বল: দুটি বস্তুর স্পর্শে যে বল ক্রিয়া করে তাকে স্পর্শ বল বলে। যেমন: ঘর্ষণ বল।

অস্পর্শ বল: দুটি বস্তুর স্পর্শ ছাড়া যে বল ক্রিয়া করে তাকে অস্পর্শ বল বলে। যেমন: চুম্বক বল, অভিকর্ষ বল, তাড়িৎ চৌম্বক বলে।

নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্র:

বিবৃতি: প্রত্যেক ক্রিয়ারই একটি সমান ও বিপরীতমুখী প্রতিক্রিয়া আছে।

ব্যাখ্যা: একটি বস্তু $\mathrm {P}$, অপর একটি বস্তু $\mathrm {Q}$ এর উপর ক্রিয়াবল $\mathrm {F}$ এবং প্রতিক্রিয়া বল $\mathrm {F_2}$ হলে,

$\mathrm {F_1=-F_2}$ হয়

ভরবেগের সংক্ষণ সূত্র:

একাধিক বস্তুর আদিভরবেগের সমষ্টি = তাদের শেষ ভরবেগর সমষ্টি।

প্রতিপাদন: $\mathrm {m}$ ও $\mathrm {m_2}$ ভরের দুটি বস্তু একইদিকে $\mathrm {u_1}$ ও $\mathrm {u_2}$ আদিবেগে $\mathrm {(u_1>u_2)}$ গতিশীল অবস্থায় সংঘর্ষে লিপ্ত হল। সংঘর্ষের পর বস্তুর দুটি যথাক্রমে $\mathrm {v_1}$ ও $\mathrm {v_2}$ বেগে গতিশীল হল।

সংঘর্ষ কাল/সময় $=t$ 

এবং ক্রিয়াবল $\mathrm {F_1}$ ও প্রতিক্রিয়া বল $\mathrm {F_2}$ হলে

৩য় সূত্রানিসারে,

$\mathrm{ F_1=-F_2}$ 

বা, $\mathrm {m_1a_1=-m_2a_2}$ 

বা, $\mathrm {m_1(\dfrac {v_1-u_1}{+}) = - m_2 (\dfrac {v_2-u_2}{+})}$

বা, $\mathrm {m_1v_1-}$$\mathrm {m_1u_1}$$\mathrm {=-m_2v_2+m_2u_2}$

বা, $\mathrm {m_1v_1+m_2+v_2=m_2u_2+m_1u_2}$

বা, $\mathrm {m_1v_1+m_2v_2=m_2u_2+m_2v_2}$

বা, $\mathrm {m_2u_2+m_1u_1=m_1v_1+m_2v_2}$

ক্ষেত্র-১:

সংঘর্ষের পর দুটি বস্তু একই বেগে সংস্পর্শে থেকে গতিশীল হলে $\mathrm {v_1=v_2=v}$

$\therefore $ $\mathrm {m_1u_1+m_2u_2=m_1v+m_2v}$

বা, $\mathrm {m_1u_1+m_2u_2=v(m_1+m_2)}$

ক্ষেত্র-২:

আদিতে বস্তু দুটি স্থির থাকলে $\mathrm {u_1=u_2=o}$

এবং $m_1=M$

        $m_2=m$

        $v_1=v$

        $v_2=v$

$\mathrm {m_1.o+m_2O=v(m_+m_2)}$

বা, $\mathrm {M.o=MV+mv}$

বা, $\mathrm {Mv=-mv}$

$\fbox {$v=-\dfrac {mv}{m}$}$

ক্ষেত্র-২ এর উদাহরণ:

$(i)$ বন্দুকের গলি ছোড়া: বন্দুকের গুলি ছোড়া হলে গুলি ক্রিয়া করে আর বন্দুক প্রতিক্রিয়া করে। বন্দুকের এই প্রতিক্রিয়া হল পশ্চাৎবেগ। পশ্চাৎবেগের কারণেই বন্দুক হলে গুলি ছোড়ার পর আমরা একধরনের ধাক্কা অনুভব করি।

$(ii)$ নৌকা থেকে লাফানো: মানুষ যখন নৌকা থেকে লাফ দেয় তখন নৌকা প্রতিক্রিয়া সৃষ্টি করে। লাফিয়ে পড়া হল ক্রিয়া। আর ক্রিয়ার ফলে নৌকা প্রতিক্রিয়া সৃষ্টি করে। এজন্য নৌকা থেকে লাফানোর পর দেখা যায় নৌকা যে অবস্থায় ছিল তার থেকে কিন্তু নড়ে সরে যায় এটি প্রতিক্রিয়ার কারণেই সৃষ্টি এবং এটিই নৌকার পশ্চাৎবেগ।

$1.$ $\mathrm {v=u+at}$

$2.$ $\mathrm {s=ut+\dfrac {1}{2}at^2}$

$3.$ $\mathrm {v_2=u_2+2as}$

$4.$ $\mathrm {F=ma}$

$5.$ $\mathrm {J=\Delta Pmv-mu}$

$6.$ $\mathrm {m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2}$

$1.$ $\mathrm {3ms^{-1}}$ বেগে চলন্ত একটি গাড়িতে কত ব্রেকজনিত বল প্রয়োগ করলে 

$3 \mathrm {s}$ সময় পর থেকে যাবে? গাড়িটির ভর  $380 \mathrm {kg}$

আমরা জানি,

$\mathrm {v=u+at}$

বা, $\mathrm {o=3+a\times 3}$

বা, $\mathrm {-3=3a}$

বা, $\mathrm {a=\dfrac {3}{3}}$

$\therefore $ $a=-1 \mathrm {ms^{-2}}$

আবার,

$\mathrm {F=ma}$

       $\mathrm {=380\times (-1)}$

       $\mathrm {=-380 \ N}$

$\therefore $ বাঁধা বল $= \ 380 \mathrm {N}$      $[$ বাঁধা বল লিখলে $'-'$ উঠে যায় $]$ 

$2.$ $36 \mathrm {kmh^{-1}}$ বেগে চলন্ত $3 \mathrm {kg}$ ভরের কোনো থামানো যাবে? এ সময়ে গাড়িটি কত দুরত্ব অতিক্রম করবে?

আমরা জানি,

$\mathrm {v=u+at}$ 

বা, $\mathrm {o=10+a\times 50}$

বা, $\mathrm {-10=50a}$

বা, $\mathrm {a=-\dfrac {10}{50}}$

$\therefore $ $\mathrm {a=-0.2 \ ms^{-2}}$

আবার,

$\mathrm {F=m\times a}$

   $\mathrm {=3\times (-0.2)}$

   $\mathrm {=-0.6 \ N}$

বাঁধা বল $\mathrm {0.6 \ N}$

এবং $\mathrm {v^2=u^2+2a}$

বা, $\mathrm {(o)^2=(10)^2+2\times (-0.2)\times S}$

বা, $\mathrm {o=100-(0.4\times s)}$

বা, $\mathrm {+100=0.4 \ s}$

বা, $\mathrm {s=\dfrac {100}{0.4}}$

$\therefore $ $\mathrm{s= 250} \mathrm {m}$

৩. $50 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি স্থির বস্তুর উপর $100 \mathrm {N}$ বল $2 \mathrm {s}$ সময় ধরে ক্রিয়া করলে বস্তুটির বেগ কত হবে?

বলের ঘাত কত?

আমরা জানি,

$\mathrm {F=ma}$ 

বা, $\mathrm {100=50\times a}$

বা, $\mathrm {s=\dfrac {100}{50}}$

$\therefore $ $a=2 \ \mathrm {ms^{-2}}$ 

আবার,

$\mathrm {v=u+at}$

বা, $\mathrm {v=o+2\times 2}$

$\therefore $ $v=4 \ \mathrm {ms^{-1}}$

বলের ঘাত $\mathrm {J= \ mv-mu}$

                      $\mathrm {= \ (50\times 4)-(50\times 0)}$

                      $\mathrm {=200-0}$

                      $\mathrm {=200 \ kg \ ms^{-1}}$

৪. $10 \ \mathrm {g}$ ভরের একটি বুরেট $300 \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে এক টুকরা কাঠের মধ্যে $4.5 \ \mathrm {cm}$ প্রবেশের পর থেমে যায়। বাঁধাদানকারী বলের মান নির্ণয় কর এবং এই দুরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

আমরা জানি,

$\mathrm {v^2=u^2+2a}$

বা, $\mathrm {(o)^2=(300)^2+2\times a\times 0.045 }$

বা, $\mathrm {o=90000+0.09 \ a}$

বা, $\mathrm {0.09 \ a=-90000}$

বা, $\mathrm {a=-\dfrac {90000}{0.09}}$

$\therefore $ $\mathrm {a=-1000000 \ ms^{-2}}$

আবার, $\mathrm {F=m\times a}$

            $\mathrm {=0.01\times -1000000}$

            $=-10000 \mathrm {N}$

$\therefore $ বাঁধাদানকারী বল $10000 \ \mathrm {N}$

এবং $\mathrm {v=u+at}$

বা, $\mathrm {o=300+(-1000000)\times t}$

বা, $\mathrm {10000000+=-300}$

বা, $\mathrm {+=\dfrac {-300}{-1000000}}$

বা, $\mathrm {+=\dfrac {3}{10000}}$

বা, $\mathrm {+=-0.0003 \ s}$
$\therefore $ $\mathrm {+=3\times 10^{-4}S}$

৫. $600 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি গাড়ি $20 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে সরল পথে চলতে চলতে $1400 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি স্থির ট্রাকের সাথে ধাক্কা খেয়ে আটকে গেল। মিলিত গাড়ি দুটির বেগ কোন দিকে কত হবে?

আমরা জানি,

সংঘর্ষের পর বস্তু দুটি একই বেগে সংস্পর্শে থেকে গতিশীল হলে,

$\mathrm {v_1=v_2=v}$

$\therefore $ $\mathrm {m_1u_1+m_2u_2=m_1v+m_2v}$

বা, $\mathrm {(600\times 20)+(1400\times 0)=v(m_1+m_2)}$

বা, $\mathrm {12000+0=v(600+1400)}$

বা, $\mathrm {v=\dfrac {12000}{2000}}$

$\therefore $ $\mathrm {v=6 \ ms^{-1}}$

$\therefore $ মিলিত গাড়ি দুটির বেগ $6 \ \mathrm {ms^{-1}}$ হয়ে সরলপথে চলতে থাকবে।

৭. $10 \ \mathrm {g}$ ভরের গুলি $6 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি বন্দুকের নল থেকে $300 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে বেরিয়ে গেল। বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ কত?

$\therefore $ পশ্চাৎবেগ $\mathrm {v=\dfrac {mv}{M}}$ 

৬. $3 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি বস্তু $2 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে পূর্ব দিকে চলছে। $1 \ \mathrm {kg}$ ভরের অপর বস্তু $2 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে পশ্চিম দিকে চলছে। সংঘর্ষের পর মিলিত বস্তুদুটি কোন দিকে কত বেগে গতিশীল হবে?
আমরা জানি,

সংঘর্ষের পর বস্তুদুটি একই বেগ সংস্পর্শে থেকে গতিশীল হলে,

$\mathrm {v_1=v_2=v}$ 

$\therefore $ $\mathrm {m_1u_1+m_2u_2=m_1v+m_2v}$

বা, $\mathrm {(3\times 2)+(1\times 2)=v(m_1+m_2)}$

বা, $\mathrm {6-2=v\times (3\times )}$

বা, $\mathrm {4=v\times 4}$

বা, $\mathrm {v=\dfrac {4}{4}}$

$\therefore $ $\mathrm {v=1 \ ms^{-1}}$

যেহেতু মিলিত বেগে ধনাত্মক এবং পূর্বদিকের বেগ বা $\mathrm {u_1}$ ধনাত্মক অতএব, বস্তুদুটি পূর্বদিকে $1 \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে গতিশীল হবে।

৭. $10 \ \mathrm {g}$ ভরের গুলি $6 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি বন্দুকের নল থেকে $300 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে বেরিয়ে গেল। বন্দুকের পশ্চাৎ বেগ কত?

$\therefore $ পশ্চাৎবেগ $\mathrm {v=-\dfrac {mv}{M}}$ 

                           $\mathrm {=-\dfrac {.01\times 300}{6}}$

                           $\mathrm {=0.5 \ ms^{-1}}$

$\therefore $ বন্দুকের পশ্চাৎবেগ $0.5 \ \mathrm {ms^{-1}}$

৮. ভূমি ত্যাগ করার পূর্বে স্থির অবস্থান থেকে $10 \ \mathrm {ms^{-2}}$ সুষম ত্বরণে একটি বিমান রানওয়েতে $2 \ \mathrm {km}$ দৌড়ায়। রানওয়ে অতিক্রম করতে বিমানটি কত সময় লাগতে?

আমরা জানি,

$\mathrm {v^2= \ u^2 + 2a}$

বা, $\mathrm {v^2=(o)^2+2\times 10\times 2000}$

বা, $\mathrm {v^2=40000}$

বা, $\mathrm {v=\sqrt {40000}}$

$\therefore $ $v=200 \ \mathrm {ms^{-1}}$

আবার, 

$\mathrm {v=u+at}$

বা, $\mathrm {200=0+10\times t}$

বা, $\mathrm {200=10t}$

বা, $\mathrm {+=\dfrac {200}{10}}$

$\therefore $$t=20 \ \mathrm {s}$

$\therefore $ রানত্তয়ে অতিক্রম করতে বিমানটির $20 \ \mathrm {s}$ লাগবে?

৯. $2 \mathrm {ms^{-2}}$ ত্বরনে সৃষ্টিকারী এক্সিলারেটরে চেপে $9 \ \mathrm {m}$ যাওয়া পর কোনো গাড়ির বেগ $10 \ \mathrm {ms^{-1}}$ হলে। এক্সিলারেটরে চাপার মূহূর্তে গাড়িটির বেগ কত ছিল?

আমরা জানি,

$\mathrm {v^2=u^2+2a}$

বা, $\mathrm {(10)^2=u^2+2\times 2\times 9}$

বা, $\mathrm {100-36=u^2}$

বা, $\mathrm {u^2=64}$

বা, $\mathrm {u=\sqrt {64}}$

$\therefore $ $u=8 \ \mathrm {ms^{-1}}$

১০. $15 \mathrm {kg}$ ভরের কোনো বস্তুর ওপর $105 \ \mathrm {N}$ বল প্রযুক্ত হলে তার ত্বরণ কত হবে?

আমরা জানি,

$\mathrm {F=ma}$

বা, $\mathrm {105=15\times a}$

বা, $\mathrm {a=\dfrac {105}{15}}$

$\therefore $ $\mathrm {a=7 \ ms^{-2}}$

$\therefore $ ত্বরণ হবে $7 \ \mathrm {ms^{-2}}$

১১. $50 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি স্থিল বস্তুর উপর $100 \ \mathrm {N}$ বল $2 \ \mathrm {s}$ ধরে ক্রিয়া করে। এই সময় শেষে বস্তুটির বেগ কত হবে?

আমরা জানি,

$\mathrm {F=ms}$

বা, $\mathrm {100=50\times a}$

বা, $\mathrm {\dfrac {100}{50}=a}$

$\therefore $ $\mathrm {a=2 \ ms^{-2}}$

আবার ,

$\mathrm {v=u+at}$

$\mathrm {=o+2\times 2}$

$\mathrm {=o+4}$

$\mathrm {4 \ ms^{-1}}$

$\therefore $ বস্তুটির বেগ $4 \ \mathrm {ms^{-1}}$