online edu.

 ৮. মনে কর . $P(x)=ax^5x+ bx^4 +cx^3 + cx^2 + bx + a$ যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0,$ দেখাও যে, $(x-r)$ যদি $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হয়, তবে $P(x)$ এর আরেকটি উৎপাদক $(x-r)$ । সমধান : দেওয়া আছে , $P(x)=ax^5 + bx^4+cx^3 + bx + a........(i)$            [যেখানে $a,b,c$ ধ্রুবক এবং $a\ne 0$ ] যেহেতু $(x-r),P(x)$ এর একটি উৎপাদক , সেহেতু $P(r)=0$  এখন, $P(r)=ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + ab + a$ $\therefore ar^5 + br^4 + cr^3 + cr^2 + br + a=0..........(ii)$ ধরি, $rx-1=0$ বা, $rx=1$ $\therefore x=\dfrac1r$ এখন, $P\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^5+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^4+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^3+c\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}^2+b\begin{pmatrix}1\\r\end{pmatrix}+a$ $=\frac a{r^5}+\;\frac b{r^4}+\frac c{r^3}+\frac c{r^2}+\frac br+a$ $=\frac{a+\;br\;+\;cr^2\;+\;cr^3\;+\;br^4+\;ar^5}{r^5}$ $=\frac0{r^5}$ যেহেতু  $(i)$ নং বহুপদীতে $x=\frac1r$ বসালে প্রদত্ত বহুপদীর মান শূন্য হয়  সেহেতু $...

                 উচ্চতর গণিত অসীম গুণোত্তর ধারার সূত্রঃ $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$  যেখানে $|r|<1$                                বা, $-1<r<1$ মন্তব্যঃ $(i)$ সংখ্যারেখার দুই বিচ্ছিন্ন অঞ্চলের শর্ত দ্বারা সেট গঠন করলে "অথবা" $\left(\cup\right)$ ব্যবহার করতে হবে । তবে "এবং" $\left(\cap\right)$ ব্যবহার করলে ফলাফল হবে ফাঁকা সেট অর্থাৎ $\emptyset$ হবে। $(ii)$ সাধারণ অনুপাতে চলক হরে থাকলে "অথবা"  এবং চলক মুক্ত হর হলে "এবং" হবে।                                              গাণিতিক প্রশ্নঃ  নিচের ধারার ক্ষেত্রে $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করঃ ১. $1+\dfrac{3-2x}{x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots  $ ২.  $\dfrac{3x}{4-x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $ ৩. $\sqrt{1-x}+(1-x)+(1-x)\...

                             উচ্চতর গণিত     গাণিতিক সমস্যাঃ $\sqrt{3}x^2-2\sqrt{2}x-2\sqrt{3}=0$  উত্তরঃ  $\sqrt{6}, \dfrac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$          গাণিতিক সমস্যাঃ $2 x^{2}+3 x y+y^{2}=20$ $5 x^{2}+4 y^{2}=41$ সমাধানঃ $2 x^{2}+3 x y+y^{2}=20\cdots\cdots (i)$ $5 x^{2}+4 y^{2}=41\cdots\cdots\cdots (ii)$ মনে করি, $y=a x$ সুতরাং $(i)$ নং হতে পাই, $ 2 x^{2}+3 a x^{2}+a^{2} x^{2}= 20 $ $ \Rightarrow \dfrac{2+3 a+a^{2}}{20}=\dfrac{1}{x^{2}}\cdots\cdots (iii)$ $5 x^{2}+4 a^{2} x^{2}=41$ $\Rightarrow \dfrac{5+4 a^{2}}{41}=\dfrac{1}{x^{2}}\cdots\cdots(iv)$ $(iii)$ ও $(iv)$ নং হতে পাই,            $\dfrac{2+3 a+a^{2}}{20}=\dfrac{5+4 a^{2}}{41}$ $\Rightarrow 82+123 a+41 a^{2}=100+80 a^{2}$ $\Rightarrow 39 a^{2}-123 a+18=0$ $\Rightarrow 13 a^{2}-41 a+6=0 $ $\Rightarrow(13 a-2) \cdot(a-3)=0$ $\Rightarrow(13 a-2) \cdot(a-3)=0$ হয় $a=3 $ অথবা...