higher mathematics,infinite series
āĻāĻ্āĻāĻ¤āĻ° āĻāĻŖিāĻ¤
āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°ঃ
$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ āĻ¯েāĻাāĻ¨ে $|r|<1$
āĻŦা, $-1<r<1$
āĻŽāĻ¨্āĻ¤āĻŦ্āĻ¯ঃ
$(i)$ āĻ¸ংāĻ্āĻ¯াāĻ°েāĻাāĻ° āĻĻুāĻ āĻŦিāĻ্āĻিāĻ¨্āĻ¨ āĻ āĻ্āĻāĻ˛েāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻĻ্āĻŦাāĻ°া āĻ¸েāĻ āĻāĻ āĻ¨ āĻāĻ°āĻ˛ে "āĻ āĻĨāĻŦা" $\left(\cup\right)$ āĻŦ্āĻ¯āĻŦāĻšাāĻ° āĻāĻ°āĻ¤ে āĻšāĻŦে । āĻ¤āĻŦে "āĻāĻŦং" $\left(\cap\right)$ āĻŦ্āĻ¯āĻŦāĻšাāĻ° āĻāĻ°āĻ˛ে āĻĢāĻ˛াāĻĢāĻ˛ āĻšāĻŦে āĻĢাঁāĻা āĻ¸েāĻ āĻ āĻ°্āĻĨাā§ $\emptyset$ āĻšāĻŦে।
$(ii)$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ে āĻāĻ˛āĻ āĻšāĻ°ে āĻĨাāĻāĻ˛ে "āĻ āĻĨāĻŦা" āĻāĻŦং āĻāĻ˛āĻ āĻŽুāĻ্āĻ¤ āĻšāĻ° āĻšāĻ˛ে "āĻāĻŦং" āĻšāĻŦে।
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨ঃ
āĻ¨িāĻেāĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ্āĻˇেāĻ¤্āĻ°ে $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°ঃ
ā§§. $1+\dfrac{3-2x}{x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $
ā§¨. $\dfrac{3x}{4-x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $
ā§Š. $\sqrt{1-x}+(1-x)+(1-x)\sqrt{1-x}+\cdots\cdots $
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§:
$ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots\cdots$
(āĻ) $(i)$ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§েāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°āĻি āĻ˛িāĻ।
$(ii)$ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§েāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°āĻি āĻ˛িāĻ। āĻ¯āĻāĻ¨ $|r|<1$.
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $a=\sqrt{2}$ āĻāĻŦং $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ āĻšāĻ˛ে āĻ¸াāĻ¤āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¤িāĻ¨āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻুāĻŖāĻĢāĻ˛ $\dfrac{27}{64}$ āĻāĻŦং āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ $\dfrac{21}{8}$ āĻšāĻ˛ে $a$
āĻāĻŦং $r$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¨:
āĻোāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ,$u_n=(x-2)^{n-1} ;n∈\mathbb{N} $
(āĻ) $u_n$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ° ।
(āĻ) $x=-\dfrac{1}{2}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻি āĻāĻ āĻ¨ āĻāĻ°ে āĻ¸āĻĒ্āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ āĻ¸াāĻ¤āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
(āĻ) $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§োāĻāĻ¨ীā§ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Š:
$(2-x)^2+1+\dfrac{1}{(2-x)^2} +\cdots\cdots$āĻুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻুāĻ্āĻ¤ ।
(āĻ)āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤েāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ āĻ°েāĻ্āĻ āĻ˛িāĻ।
(āĻ)$x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
(āĻ)āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻিāĻে āĻংāĻļিāĻ āĻāĻ্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻাāĻļ āĻāĻ°।
(āĻ) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤, $r=y=\dfrac{1}{(2-x)^2}\in\mathbb{R} $ āĻšāĻŦে āĻ¯āĻĻি āĻāĻŦং āĻেāĻŦāĻ˛ āĻ¯āĻĻি $x-2\ne 0$ āĻŦা $x\ne 2$ āĻšāĻ¯়।
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤āĻিāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ $D=\mathbb{R} -\left\{2\right\}$
$=\left\{x\in \mathbb{R}: x\ne 2\right\}$
$x\in D$ āĻšāĻ˛ে $y\in \mathbb{R}^+$ āĻšāĻŦে।
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°েāĻ্āĻ, $R=\mathbb{R}^+$
$=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$
$=\left(0,\infty\right)$
āĻ āĻĨāĻŦা, $y=\dfrac{1}{(2-x)^2}$
āĻŦা, $(2-x)^2=\dfrac{1}{y}$
āĻŦা, $2-x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{y}}$
āĻŦা, $x=2\pm\dfrac{1}{\sqrt{y}}\in \mathbb{R}$ āĻšāĻŦে āĻ¯āĻĻি āĻāĻŦং āĻেāĻŦāĻ˛ āĻ¯āĻĻি $y>0$ āĻšāĻ¯়।
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°েāĻ্āĻ, $R=\mathbb{R}^+$
$=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$
$=\left(0,\infty\right)$
(āĻ) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĒāĻĻ, $a=(2-x)^2$
āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤, $r=\dfrac{1}{\dfrac{1}{(2-x)^2}}$
āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻĨাāĻāĻŦে āĻ¯āĻĻি $|r|<1$ āĻŦা $-1<r<1$ āĻŦা $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$ āĻšāĻ¯়।
āĻāĻāĻ¨, $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}$ āĻ্āĻ°āĻšāĻŖāĻ¯োāĻ্āĻ¯ āĻ¨āĻ¯়।āĻাāĻ°āĻŖ āĻŦāĻ°্āĻেāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻāĻŖাāĻ¤্āĻŽāĻ āĻšāĻ¯় āĻ¨া।
āĻ āĻĨāĻŦা $\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$
āĻŦা, $\left(\dfrac{1}{2-x}\right)^2<1$
āĻŦা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<\sqrt{1}$
āĻŦা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<1$
āĻŦা, $-1<\dfrac{1}{2-x}<1$
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $-1<\dfrac{1}{2-x}$
āĻŦা, $-1>2-x$ [āĻŦ্āĻ¯āĻ¸্āĻ¤āĻāĻ°āĻŖ āĻāĻ°ে]
āĻŦা, $-1-2>2-x-2$
āĻŦা, $-3>-x$
āĻŦা, $3<x$
āĻ āĻĨāĻŦা, $\dfrac{1}{2-x}<1$
āĻŦা, $2- x>1$
āĻŦা, $2-x-2>1-2$
āĻŦা, $-x>-1$
āĻŦা, $x<1$
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $x>3$ āĻ āĻĨāĻŦা $x<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻĨাāĻāĻŦে।
āĻĒ্āĻ°াāĻĒ্āĻ¤ āĻļāĻ°্āĻ¤েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ¸েāĻ, $S=\left\{x\in \mathbb{R}: x>3\;\; or \;\; x<1 \right\}$
$=\left(3,\infty\right)\cup \left(-\infty,1\right)$
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ¸েāĻেāĻ° āĻ¸ংāĻ্āĻ¯াঃ
$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$
$=\dfrac{(2-x)^2}{1-\dfrac{1}{(2-x)^2}}$
$=\dfrac{(2-x)^2}{\dfrac{(2-x)^2-1}{(2-x)^2}}$
$=\dfrac{(2-x)^4}{(2-x+1)(2-x-1)}$
$=\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$
(āĻ) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
'āĻ' āĻ¨ং āĻšāĻ¤ে āĻĒাāĻ, $\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$
[āĻ°াāĻļিāĻিāĻ° āĻ˛āĻŦেāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=4$ āĻāĻŦং āĻšāĻ°েāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=2$ ; āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°াāĻļিāĻিāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=4-2=2$ āĻāĻāĻ¨্āĻ¯ $x$ āĻāĻ° āĻাāĻ¤ $2$ āĻĨেāĻে āĻ āĻ°্āĻĨাā§ $Ax^2$ āĻĨেāĻে āĻ্āĻ°āĻŽাāĻ¨্āĻŦāĻ¯়ে āĻš্āĻ°াāĻ¸ āĻĒাāĻŦে]
āĻŽāĻ¨ে āĻāĻ°ি,
$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv Ax^2+Bx+C+\dfrac{D}{3-x}+\dfrac{E}{1-x}$$\cdots\cdots (i)$
āĻŦা, $(2-x)^4=\left(Ax^2+Bx+C\right)(3-x)(1-x)$$+D(1-x)+E(3-x)\cdots\cdots (ii)$
$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻāĻ°āĻŖে $x=1$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ,
$1=2E$ āĻŦা, $E=\dfrac{1}{2}$
$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻāĻ°āĻŖে $x=3$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ,
$1=-2D$ āĻŦা, $D=\dfrac{-1}{2}$
$(ii)$ āĻ¨ং āĻāĻ° āĻāĻā§āĻĒāĻ্āĻˇেāĻ° $x^4$ āĻāĻ° āĻ¸āĻšāĻ āĻ¸āĻŽীāĻৃāĻ¤ āĻāĻ°ে āĻĒাāĻ,
$1=A$ āĻŦা, $A=1$
$(ii)$ āĻ¨ং āĻāĻ° āĻāĻā§āĻĒāĻ্āĻˇেāĻ° āĻ§্āĻ°ুāĻŦāĻĒāĻĻ āĻ¸āĻŽীāĻৃāĻ¤ āĻāĻ°ে āĻĒাāĻ,
$2^4=3C+D+3E$
āĻŦা, $16=3C-\dfrac{1}{2}+3×\dfrac{1}{2}$
āĻŦা, $16+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=3C$
āĻŦা, $15=3C$
$\therefore C=5$
$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻāĻ°āĻŖে $x=2$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ,
$0=-(4A+2B+C)-D+E$
āĻŦা, $0=-4×1-2B-5+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$
āĻŦা, $2B=-4-5+1$
āĻŦা, $B=-4$
$A,B,C,D,E$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ $(i)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻāĻ°āĻŖে āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ,
$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv x^2-4x+5-\dfrac{1}{2(3-x)}+\dfrac{1}{2(1-x)}$
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ē:
$u_n=ar^n$ āĻāĻāĻি āĻুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ।
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§েāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ° āĻ˛িāĻ।
(āĻ) $a=3$ āĻāĻŦং $r$ āĻāĻ° āĻাāĻ¤েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ¨ āĻ¸ংāĻ্āĻ¯āĻ $3$ āĻĒāĻ°āĻĒāĻ° āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻ¯ে āĻ§াāĻ°া āĻĒাāĻā§া āĻ¯াāĻ¯় āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
(āĻ) $a=1$ āĻāĻŦং $r=(2-3x)^{-1}$ āĻšāĻ˛ে $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ģ:
āĻāĻāĻি āĻ§াāĻ°াāĻ° $r$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ $=u_r$ āĻāĻŦং $\log_{(3-2x) }u_r=r-2$.
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻি āĻāĻ āĻ¨ āĻāĻ°।
(āĻ) $x=\dfrac{1}{4}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻĻāĻļāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻāĻŦং āĻ¸াāĻ¤āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
(āĻ) āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻিāĻ° āĻāĻ¨্āĻ¯ $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ŧ:
$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$ āĻোāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ।
(āĻ) $u_r$ āĻে āĻংāĻļিāĻ āĻāĻ্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻাāĻļ āĻāĻ°।
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $x$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ $S_x$ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§
(āĻ) $S_x$ āĻāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ āĻ°েāĻ্āĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ° āĻāĻŦং āĻĻেāĻাāĻ āĻ¯ে,$S_x$ āĻāĻ-āĻāĻ āĻĢাংāĻļāĻ¨।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§:
$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots$
$(i)$ $r≠1$ āĻāĻ° āĻāĻ¨্āĻ¯ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻংāĻļিāĻ āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
$(ii)$ $|r|<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻāĻ¤?
$(iii)$ $a=1$ āĻāĻŦং $r=-1$ āĻšāĻ˛ে $n$ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
$(iv)$ āĻাāĻ¨িāĻ¤িāĻ āĻāĻ°োāĻš āĻĒāĻĻ্āĻ§āĻ¤িāĻ¤ে āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻ¨ āĻāĻ° āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $n$ āĻ¤āĻŽ āĻংāĻļিāĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি $S_n=\dfrac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$
$(v)$ $|r|<1$ āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻ¨ āĻāĻ° āĻ¯ে, $S_∞=S_n+\dfrac{ar^n}{1-r}$
$(vi)$ $a=1\;,\;r=(3x-2)^{-1}$ āĻšāĻ˛ে $x$ āĻāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻš āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛āĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।āĻļāĻ°্āĻ¤āĻি āĻ¸ংāĻ্āĻ¯াāĻ°েāĻাā§ āĻĻেāĻাāĻ āĻāĻŦং āĻ¸েāĻ āĻāĻাāĻ°ে āĻĒ্āĻ°āĻাāĻļ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ž:
$a+ar+ar^2+\cdots\cdots$ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¤িāĻ¨āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ $0.\dot96\dot2$ āĻāĻŦং āĻুāĻ¨āĻĢāĻ˛ $\dfrac{8}{729}$
(āĻ) āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛āĻিāĻে āĻŽূāĻ˛āĻĻীā§ āĻāĻ্āĻ¨াংāĻļ āĻĒ্āĻ°āĻাāĻļ āĻāĻ°।
(āĻ) $a$ āĻ $r$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻŦেāĻ° āĻāĻ°।
(āĻ) $r<1$ āĻāĻ° āĻāĻ¨্āĻ¯ āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻāĻŦং $r>1$ āĻāĻ° āĻāĻ¨্āĻ¯ ā§āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦেāĻ° āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¯:
āĻোāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=(x-2)^{n-1} ;\;n∈\mathbb{N}$
(āĻ) $u_n$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ° ।
(āĻ) $x=\dfrac{1}{2}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻি āĻāĻ āĻ¨ āĻāĻ°ে āĻ¸āĻĒ্āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ āĻ¸াāĻ¤āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°
(āĻ) $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§োāĻāĻ¨ীā§ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§Ļ:
$(x+1)^2+1+\dfrac{1}{(x+1)^2}+\cdots\cdots$ āĻুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻুāĻ্āĻ¤ ।
(āĻ)āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤েāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ āĻ°েāĻ্āĻ āĻ˛িāĻ।
(āĻ) $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
(āĻ)āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻিāĻে āĻংāĻļিāĻ āĻāĻ্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻাāĻļ āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§§:
$(a+ 1)^{-\tfrac{1}{2}} + (a+1)^{-1}+ (a+1)^{-\tfrac{3}{2}}+$$ (a+1)^{-2}+\cdots\cdots$āĻāĻāĻি āĻ§াāĻ°া
(āĻ) $a =2$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
(āĻ) ‘āĻ’ āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°াāĻĒ্āĻ¤ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻোāĻ¨ āĻĒāĻĻ $7.9×10^4\;?$
(āĻ) $a$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻী āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°ােāĻĒ āĻāĻ°āĻ˛ে āĻĒ্āĻ°āĻĻāĻ¤্āĻ¤ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻĨাāĻāĻŦে āĻāĻŦং āĻ¸েāĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻ¸ৃāĻāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§¨:
āĻāĻāĻি āĻুāĻŖােāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻāĻ¨্āĻ¯ āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĒāĻĻ, $u_1=\dfrac{2}{3}$ āĻāĻŦং $S_\infty=\dfrac{1}{2}$
(āĻ) āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ $r$ āĻ§āĻ°ে āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻŖ āĻāĻ° āĻ¯ে, $3r+1= 0$
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°ে āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ $ā§Ģ$ āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
(āĻ) āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° $n$ āĻ¤āĻŽ āĻংāĻļিāĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি $\dfrac{40}{81}$ āĻšāĻ˛ে $n$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§:
$u_r=\dfrac{1}{r(r+1)}$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ° ।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
$u_{r}=\dfrac{1}{r\left( r+1\right) }$
$=\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r+1}$
$r=1$ āĻšāĻ˛ে $u_{1}=1-\dfrac{1}{2}$
$r=2$ āĻšāĻ˛ে $u_{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
$r=3$ āĻšāĻ˛ে $u_{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$
$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$
$r=n$ āĻšāĻ˛ে $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
$\therefore S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots\cdots+u_n$
$=1-\dfrac{1}{n+1}$
$n\to \infty$ āĻšāĻ˛ে $S_{\infty}=1-\dfrac{1}{\infty+1}$
$=1-\dfrac{1}{\infty}$
$=1-0$
$=1$
āĻ āĻ¨ুāĻ°ূāĻĒāĻাāĻŦে āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻāĻ°ঃ
$(i)$ .$u_r=\dfrac{1}{r(r-1)}$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§।
$(ii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r-1)(r-2)}$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§।
$(iii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§।
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¨:
$u_n=\left(2-\dfrac{2}{3}x\right)^{-n+1}$ āĻ¯েāĻাāĻ¨ে $n$ āĻ§āĻ¨াāĻ¤্āĻŽāĻ āĻĒূāĻ°্āĻŖāĻ¸ংāĻ্āĻ¯া ।āĻāĻি āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ° $x$ āĻāĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§োāĻāĻ¨ীā§ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻāĻ°োāĻĒ āĻāĻ° ।
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Š:
$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} ,\dfrac{3}{2^3} ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
āĻ§াāĻ°াāĻিāĻে āĻāĻাāĻŦে āĻ˛েāĻা āĻ¯াāĻ¯়,
$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2^2} ,\dfrac{3}{2^3} ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$
$\therefore$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=\dfrac{n}{2^n}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ē:
$0,1,0,1,0,1\cdots\cdots$ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻŦা $n$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ $u_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ģ:
$\left\{2,-2,2,-2\cdots\cdots\right\}$ āĻāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ $a_n=2(-1)^{n+1}$ āĻ āĻĨāĻŦা $u_n=2(-1)^{n-1}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ŧ:
$1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻāĻ¤।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি, $S_{\infty}= \sum\limits_{n\to 0}^{\infty} \dfrac{1}{n}$
$=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$
$=e$
āĻŦা, $e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$
āĻŦা, $e-1=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$ $[\because 0!=1!=1]$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§:
$\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{6} ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° $ā§¨ā§Ļ$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
$\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{6} ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$
āĻŦা, $\dfrac{1}{1^1+1} ,\dfrac{1}{2^2+2} ,\dfrac{1}{3^2+3},\cdots\cdots$
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $n$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ $u_n=\dfrac{1}{n^2+n}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ž:
$\dfrac{1}{2} ,\dfrac{-2}{3} ,\dfrac{3}{4} ,\dfrac{-4}{5},\cdots\cdots$ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ
āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ,$u_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1+(n-1)×1}{2+(n-1)×1}=(-1)^{n-1}\dfrac{n}{n+1}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§¯:
$u_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻāĻ°ে $1000$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
$n=1$ āĻšāĻ˛ে $u_{_1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin90°=1$ $\left[∴Ī^c=Ī=180°\right]$
$n=2$ āĻšāĻ˛ে $u_{_2}=\sin(Ī)=0$
$n=3$ āĻšāĻ˛ে $u_{_3}=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1$
$n=4$ āĻšāĻ˛ে $u_{_4}=\sin(2Ī)=0$
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽঃ
$1,0,-1,0,⋯⋯⋯⋯$
āĻāĻাāĻ¨ে āĻĒ্āĻ°āĻ¤ি āĻাāĻ° āĻĒāĻĻ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°āĻĒāĻ° āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻĒূāĻŖāĻ°াāĻŦৃāĻ¤্āĻ¤ি āĻāĻেāĻে āĻāĻŦং āĻাāĻ° āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻļূāĻŖ্āĻ¯।
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $1000$ āĻĒāĻĻেāĻ° ($1000$ āĻ¯েāĻšেāĻ¤ু $4$ āĻĻ্āĻŦাāĻ°া āĻŦিāĻাāĻ্āĻ¯ ) āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ $=0.$
āĻ āĻ¨ুāĻ°ূāĻĒāĻাāĻŦে āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻāĻ°ঃ
ā§§.$\sin\left(\dfrac{2n-1}{2} Ī\right)$
ā§¨.$\cos\left(\dfrac{n}{2} Ī\right)$
ā§Š.$\cos(nĪ)$
ā§Ē.$\sin(2nĪ)$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§Ļ:
$1,0,1,0,1,......$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻŦা $n$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ
$u_n=\dfrac{1-(-1)^n}{2}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§§:
$\left\{-2,2,-2,2,\cdots\cdots\right\}$āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ
āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $t_n=2(-1)^n$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§¨:
$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° $r$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ
āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽāĻিāĻে āĻāĻাāĻŦে āĻ˛েāĻা āĻ¯াāĻ¯়,
$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$
$=\dfrac{1}{1^1+1},\dfrac{1}{2^2+1},\dfrac{1}{3^2+1},\cdots\cdots$
āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $r$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ ,$T_r=\dfrac{1}{r^2+1}$
āĻাāĻŖিāĻ¤িāĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§Š:
$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ āĻāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ।
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ
āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽāĻিāĻে āĻāĻাāĻŦে āĻ˛েāĻা āĻ¯াāĻ¯়,
$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$
$=\dfrac{2}{4},-\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{16},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$
$=(-1)^2\dfrac{2}{2^2},(-1)^3\dfrac{3}{8},(-1)^4\dfrac{4}{2^4},(-1)^5\dfrac{5}{2^5},\cdots\cdots$
āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=(-1)^{2+(n-1)×1}\dfrac{2+(n-1)×1}{2^{2+(n-1)×1}}$
$=(-1)^{n+1}\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
āĻŦāĻšুāĻ¨িāĻ°্āĻŦাāĻāĻ¨ী āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨ঃ
āĻŽāĻĄেāĻ˛ āĻেāĻˇ্āĻ-ā§§
āĻĒূāĻ°্āĻŖāĻŽাāĻ¨-ā§¨ā§Ģ āĻ¸āĻŽāĻ¯়-ā§¨ā§Ģ āĻŽিāĻ¨িāĻ
āĻ¨িāĻেāĻ° āĻāĻĻ্āĻĻীāĻĒāĻেāĻ° āĻ¸াāĻšাāĻ¯্āĻ¯ে ā§§-ā§Š āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻĻাāĻঃ
$u_x=\dfrac{1}{x(x+1)}$
ā§§.$u_x$ āĻāĻ° āĻংāĻļিāĻ āĻāĻ্āĻ¨াংāĻļ āĻোāĻ¨āĻি?
(āĻ) $\dfrac {1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$ (āĻ) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
(āĻ) $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$ (āĻ) $\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
ā§¨. $u_x$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ)$\dfrac{1}{n+1}-1$ (āĻ)$ 1-\dfrac{1}{n+1}$
(āĻ)$1+\dfrac{1}{n+1}$ (āĻ)$ 1-\dfrac{1}{n-1}$
ā§Š.$u_x$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻāĻ¤?
(āĻ) $1$ (āĻ) $\dfrac {1}{2}$ (āĻ) $\dfrac{1}{4} $ (āĻ) $\dfrac {1}{8}$
8. $2-2+2-2+...$ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $0$ āĻ¯āĻāĻ¨ $n$ āĻোā§ (āĻ) $2$ āĻ¯āĻāĻ¨ $n$ āĻোā§
(āĻ) $0$ āĻ¯āĻāĻ¨ $n$ āĻŦিāĻোā§ (āĻ) $-2$ āĻ¯āĻāĻ¨ $n$ āĻŦিāĻোā§
āĻ¨িāĻেāĻ° āĻোāĻ¨ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻāĻিāĻ° āĻ¸াāĻšাāĻ¯্āĻ¯ে ā§Ģ-ā§āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻĻাāĻ:
$u_n=2(-1)^{n-1}$
ā§Ģ.āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽāĻিāĻ° āĻĻāĻļāĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $2$ (āĻ) $0$ (āĻ) āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ (āĻ) $-2$
ā§Ŧ.āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽāĻিāĻ° āĻĒāĻ¨েāĻ°āĻি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $2$ (āĻ) $0$ (āĻ) āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ (āĻ) $-2$
ā§.āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽāĻিāĻ° āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $2$ (āĻ) $0$ (āĻ) āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ (āĻ) $-2$
ā§Ž.$2^0+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots\cdots$āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $2$ (āĻ) $1$ (āĻ) $\dfrac{1}{2}$ (āĻ) $\dfrac{1}{3}$
ā§¯.$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots\cdots$ āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻিāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $\dfrac{-1}{2}$ (āĻ) $-2$ (āĻ) $\dfrac{1}{2}$ (āĻ) $2$
ā§§ā§Ļ. āĻ¯ে āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ$\cos \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ , āĻ¤াāĻ° $100$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻāĻĢāĻ˛ āĻāĻ¤?
(āĻ) $0$ (āĻ) $1$ (āĻ) $-1$ (āĻ) $2$
ā§§ā§§. $i.$ āĻ¯ে āĻোāĻ¨ো āĻ āĻ¸ীāĻŽ āĻ¸েāĻ āĻ āĻ¨ুāĻ্āĻ°āĻŽ।
$ii.$ $r<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ āĻāĻ°া āĻ¯াā§।
$iii.$ $n\to 0$ āĻšāĻ˛ে $u_n=\dfrac{1}{n}\to\infty$ āĻšā§।
āĻোāĻ¨āĻি āĻ¸āĻ িāĻ?
(āĻ) $i$ (āĻ) $ii$ (āĻ) $iii$ (āĻ) $i,ii,iii$
āĻāĻ¤্āĻ¤āĻ°āĻĒāĻ¤্āĻ°ঃ
ā§§.(āĻ) ā§¨.(āĻ) ā§Š.(āĻ) 8.(āĻ) ā§Ģ.(āĻ) ā§Ŧ.(āĻ) ā§.(āĻ) ā§Ž.(āĻ) ā§¯.(āĻ) ā§§ā§Ļ.(āĻ) ā§§ā§§.(āĻ)
Comments
Post a Comment