higher mathematics,infinite series

                 āĻ‰āĻš্āĻšāĻ¤āĻ° āĻ—āĻŖিāĻ¤

āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻ—ুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°ঃ

$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$  āĻ¯েāĻ–াāĻ¨ে $|r|<1$

                               āĻŦা, $-1<r<1$

āĻŽāĻ¨্āĻ¤āĻŦ্āĻ¯ঃ

$(i)$ āĻ¸ংāĻ–্āĻ¯াāĻ°েāĻ–াāĻ° āĻĻুāĻ‡ āĻŦিāĻš্āĻ›িāĻ¨্āĻ¨ āĻ…āĻž্āĻšāĻ˛েāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻĻ্āĻŦাāĻ°া āĻ¸েāĻŸ āĻ—āĻ āĻ¨ āĻ•āĻ°āĻ˛ে "āĻ…āĻĨāĻŦা" $\left(\cup\right)$ āĻŦ্āĻ¯āĻŦāĻšাāĻ° āĻ•āĻ°āĻ¤ে āĻšāĻŦে । āĻ¤āĻŦে "āĻāĻŦং" $\left(\cap\right)$ āĻŦ্āĻ¯āĻŦāĻšাāĻ° āĻ•āĻ°āĻ˛ে āĻĢāĻ˛াāĻĢāĻ˛ āĻšāĻŦে āĻĢাঁāĻ•া āĻ¸েāĻŸ āĻ…āĻ°্āĻĨাā§Ž $\emptyset$ āĻšāĻŦে।

$(ii)$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ে āĻšāĻ˛āĻ• āĻšāĻ°ে āĻĨাāĻ•āĻ˛ে "āĻ…āĻĨāĻŦা"  āĻāĻŦং āĻšāĻ˛āĻ• āĻŽুāĻ•্āĻ¤ āĻšāĻ° āĻšāĻ˛ে "āĻāĻŦং" āĻšāĻŦে।

                                             āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨ঃ 

āĻ¨িāĻšেāĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ•্āĻˇেāĻ¤্āĻ°ে $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°ঃ

ā§§. $1+\dfrac{3-2x}{x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots  $

ā§¨.  $\dfrac{3x}{4-x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $

ā§Š. $\sqrt{1-x}+(1-x)+(1-x)\sqrt{1-x}+\cdots\cdots $


                                             āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨

                    āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§:

$ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots\cdots$

(āĻ•) $(i)$ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ŸেāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°āĻŸি āĻ˛িāĻ–। 

$(ii)$ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ŸেāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ°āĻŸি āĻ˛িāĻ–। āĻ¯āĻ–āĻ¨ $|r|<1$.

(āĻ–) āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $a=\sqrt{2}$ āĻāĻŦং $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ āĻšāĻ˛ে āĻ¸াāĻ¤āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

(āĻ—) āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¤িāĻ¨āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ—ুāĻŖāĻĢāĻ˛ $\dfrac{27}{64}$ āĻāĻŦং āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ $\dfrac{21}{8}$ āĻšāĻ˛ে $a$

 āĻāĻŦং $r$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।



             āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¨:

āĻ•োāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ,$u_n=(x-2)^{n-1} ;n∈\mathbb{N} $

(āĻ•) $u_n$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ° ।                                                           

(āĻ–) $x=-\dfrac{1}{2}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸি āĻ—āĻ āĻ¨ āĻ•āĻ°ে āĻ¸āĻĒ্āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ“ āĻ¸াāĻ¤āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।  

(āĻ—) $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§ŸোāĻœāĻ¨ীā§Ÿ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°। 

            āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Š:

$(2-x)^2+1+\dfrac{1}{(2-x)^2} +\cdots\cdots$āĻ—ুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ­ুāĻ•্āĻ¤ ।

(āĻ•)āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤েāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ“ āĻ°েāĻž্āĻœ āĻ˛িāĻ–।

(āĻ–)$x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

(āĻ—)āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸিāĻ•ে āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ­āĻ—্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻ•াāĻļ āĻ•āĻ°।

               (āĻ•) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤, $r=y=\dfrac{1}{(2-x)^2}\in\mathbb{R} $ āĻšāĻŦে āĻ¯āĻĻি āĻāĻŦং āĻ•েāĻŦāĻ˛ āĻ¯āĻĻি $x-2\ne 0$ āĻŦা $x\ne 2$ āĻšāĻ¯়।

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤āĻŸিāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ $D=\mathbb{R} -\left\{2\right\}$

                                            $=\left\{x\in \mathbb{R}: x\ne 2\right\}$

$x\in D$ āĻšāĻ˛ে $y\in \mathbb{R}^+$ āĻšāĻŦে।

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°েāĻž্āĻœ, $R=\mathbb{R}^+$

                       $=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$

                       $=\left(0,\infty\right)$

āĻ…āĻĨāĻŦা, $y=\dfrac{1}{(2-x)^2}$

  āĻŦা, $(2-x)^2=\dfrac{1}{y}$

  āĻŦা, $2-x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{y}}$

  āĻŦা, $x=2\pm\dfrac{1}{\sqrt{y}}\in \mathbb{R}$ āĻšāĻŦে āĻ¯āĻĻি āĻāĻŦং āĻ•েāĻŦāĻ˛ āĻ¯āĻĻি $y>0$ āĻšāĻ¯়।

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°েāĻž্āĻœ, $R=\mathbb{R}^+$

                       $=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$

                       $=\left(0,\infty\right)$

                    (āĻ–) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĒāĻĻ, $a=(2-x)^2$

āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤, $r=\dfrac{1}{\dfrac{1}{(2-x)^2}}$

āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻĨাāĻ•āĻŦে āĻ¯āĻĻি $|r|<1$ āĻŦা $-1<r<1$ āĻŦা $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$ āĻšāĻ¯়।

āĻāĻ–āĻ¨, $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}$ āĻ—্āĻ°āĻšāĻŖāĻ¯োāĻ—্āĻ¯ āĻ¨āĻ¯়।āĻ•াāĻ°āĻŖ āĻŦāĻ°্āĻ—েāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻ‹āĻŖাāĻ¤্āĻŽāĻ• āĻšāĻ¯় āĻ¨া।

    āĻ…āĻĨāĻŦা $\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$

         āĻŦা, $\left(\dfrac{1}{2-x}\right)^2<1$

         āĻŦা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<\sqrt{1}$

         āĻŦা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<1$

         āĻŦা, $-1<\dfrac{1}{2-x}<1$

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $-1<\dfrac{1}{2-x}$                               

         āĻŦা, $-1>2-x$                    [āĻŦ্āĻ¯āĻ¸্āĻ¤āĻ•āĻ°āĻŖ āĻ•āĻ°ে]

         āĻŦা, $-1-2>2-x-2$

         āĻŦা, $-3>-x$

          āĻŦা, $3<x$

āĻ…āĻĨāĻŦা, $\dfrac{1}{2-x}<1$

   āĻŦা, $2- x>1$

   āĻŦা, $2-x-2>1-2$

   āĻŦা, $-x>-1$

   āĻŦা, $x<1$

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $x>3$ āĻ…āĻĨāĻŦা $x<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻĨাāĻ•āĻŦে।

āĻĒ্āĻ°াāĻĒ্āĻ¤ āĻļāĻ°্āĻ¤েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ¸েāĻŸ, $S=\left\{x\in \mathbb{R}: x>3\;\; or \;\; x<1 \right\}$

                                         $=\left(3,\infty\right)\cup \left(-\infty,1\right)$

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ¸েāĻŸেāĻ° āĻ¸ংāĻ–্āĻ¯াঃ


$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$

           $=\dfrac{(2-x)^2}{1-\dfrac{1}{(2-x)^2}}$

           $=\dfrac{(2-x)^2}{\dfrac{(2-x)^2-1}{(2-x)^2}}$

           $=\dfrac{(2-x)^4}{(2-x+1)(2-x-1)}$

           $=\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$

  (āĻ—) āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

'āĻ–' āĻ¨ং āĻšāĻ¤ে āĻĒাāĻ‡, $\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$

[āĻ°াāĻļিāĻŸিāĻ° āĻ˛āĻŦেāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=4$ āĻāĻŦং āĻšāĻ°েāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=2$ ; āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ°াāĻļিāĻŸিāĻ° āĻŽাāĻ¤্āĻ°া $=4-2=2$ āĻāĻœāĻ¨্āĻ¯ $x$ āĻāĻ° āĻ˜াāĻ¤ $2$ āĻĨেāĻ•ে āĻ…āĻ°্āĻĨাā§Ž $Ax^2$ āĻĨেāĻ•ে āĻ•্āĻ°āĻŽাāĻ¨্āĻŦāĻ¯়ে āĻš্āĻ°াāĻ¸ āĻĒাāĻŦে]

āĻŽāĻ¨ে āĻ•āĻ°ি,

$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv Ax^2+Bx+C+\dfrac{D}{3-x}+\dfrac{E}{1-x}$$\cdots\cdots (i)$ 

āĻŦা, $(2-x)^4=\left(Ax^2+Bx+C\right)(3-x)(1-x)$$+D(1-x)+E(3-x)\cdots\cdots (ii)$

$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻ•āĻ°āĻŖে $x=1$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ‡,

$1=2E$ āĻŦা, $E=\dfrac{1}{2}$

$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻ•āĻ°āĻŖে $x=3$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ‡,

$1=-2D$ āĻŦা, $D=\dfrac{-1}{2}$

$(ii)$ āĻ¨ং āĻāĻ° āĻ‰āĻ­ā§ŸāĻĒāĻ•্āĻˇেāĻ° $x^4$ āĻāĻ° āĻ¸āĻšāĻ— āĻ¸āĻŽীāĻ•ৃāĻ¤ āĻ•āĻ°ে āĻĒাāĻ‡,

$1=A$ āĻŦা, $A=1$

$(ii)$ āĻ¨ং āĻāĻ° āĻ‰āĻ­ā§ŸāĻĒāĻ•্āĻˇেāĻ° āĻ§্āĻ°ুāĻŦāĻĒāĻĻ āĻ¸āĻŽীāĻ•ৃāĻ¤ āĻ•āĻ°ে āĻĒাāĻ‡,

     $2^4=3C+D+3E$

āĻŦা, $16=3C-\dfrac{1}{2}+3×\dfrac{1}{2}$

āĻŦা, $16+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=3C$

āĻŦা, $15=3C$

$\therefore C=5$

$(ii)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻ•āĻ°āĻŖে $x=2$ āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ‡,

       $0=-(4A+2B+C)-D+E$

āĻŦা, $0=-4×1-2B-5+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$

āĻŦা, $2B=-4-5+1$

āĻŦা, $B=-4$

$A,B,C,D,E$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ $(i)$ āĻ¨ং āĻ¸āĻŽীāĻ•āĻ°āĻŖে āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻĒাāĻ‡,

$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv x^2-4x+5-\dfrac{1}{2(3-x)}+\dfrac{1}{2(1-x)}$ 


              āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ē:

$u_n=ar^n$ āĻāĻ•āĻŸি āĻ—ুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ।

(āĻ•) āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ“ āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§ŸেāĻ° āĻ¸ূāĻ¤্āĻ° āĻ˛িāĻ–।

(āĻ–) $a=3$ āĻāĻŦং $r$ āĻāĻ° āĻ˜াāĻ¤েāĻ° āĻ¸āĻŽাāĻ¨ āĻ¸ংāĻ–্āĻ¯āĻ• $3$ āĻĒāĻ°āĻĒāĻ° āĻŦāĻ¸িāĻ¯়ে āĻ¯ে āĻ§াāĻ°া āĻĒাāĻ“ā§Ÿা āĻ¯াāĻ¯় āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

(āĻ—) $a=1$ āĻāĻŦং $r=(2-3x)^{-1}$ āĻšāĻ˛ে $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

                āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ģ:

 āĻāĻ•āĻŸি āĻ§াāĻ°াāĻ° $r$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ $=u_r$ āĻāĻŦং $\log_{(3-2x) }u_r=r-2$.

(āĻ•) āĻ§াāĻ°াāĻŸি āĻ—āĻ āĻ¨ āĻ•āĻ°।

(āĻ–) $x=\dfrac{1}{4}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻĻāĻļāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻāĻŦং āĻ¸াāĻ¤āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

(āĻ—) āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸিāĻ° āĻœāĻ¨্āĻ¯ $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

                           āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ŧ:

$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$  āĻ•োāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ।

(āĻ•) $u_r$ āĻ•ে āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ­āĻ—্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻ•াāĻļ āĻ•āĻ°।

(āĻ–) āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $x$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ $S_x$ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ

(āĻ—) $S_x$ āĻāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ“ āĻ°েāĻž্āĻœ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ° āĻāĻŦং āĻĻেāĻ–াāĻ“ āĻ¯ে,$S_x$ āĻāĻ•-āĻāĻ• āĻĢাংāĻļāĻ¨।

                             āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§­:

$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots$

$(i)$ $r≠1$ āĻāĻ° āĻœāĻ¨্āĻ¯ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $n$ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

$(ii)$ $|r|<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ•āĻ¤?

$(iii)$  $a=1$ āĻāĻŦং $r=-1$ āĻšāĻ˛ে $n$ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

$(iv)$  āĻ—াāĻ¨িāĻ¤িāĻ• āĻ†āĻ°োāĻš āĻĒāĻĻ্āĻ§āĻ¤িāĻ¤ে āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻ¨ āĻ•āĻ° āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $n$ āĻ¤āĻŽ āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি $S_n=\dfrac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$

$(v)$  $|r|<1$ āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻ¨ āĻ•āĻ° āĻ¯ে, $S_∞=S_n+\dfrac{ar^n}{1-r}$

$(vi)$  $a=1\;,\;r=(3x-2)^{-1}$ āĻšāĻ˛ে $x$ āĻāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻš āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛āĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।āĻļāĻ°্āĻ¤āĻŸি āĻ¸ংāĻ–্āĻ¯াāĻ°েāĻ–াā§Ÿ āĻĻেāĻ–াāĻ“ āĻāĻŦং āĻ¸েāĻŸ āĻ†āĻ•াāĻ°ে āĻĒ্āĻ°āĻ•াāĻļ āĻ•āĻ°।

                     āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ž:

 $a+ar+ar^2+\cdots\cdots$ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¤িāĻ¨āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ $0.\dot96\dot2$ āĻāĻŦং āĻ—ুāĻ¨āĻĢāĻ˛ $\dfrac{8}{729}$

(āĻ•) āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛āĻŸিāĻ•ে āĻŽূāĻ˛āĻĻীā§Ÿ āĻ­āĻ—্āĻ¨াংāĻļ āĻĒ্āĻ°āĻ•াāĻļ āĻ•āĻ°।

(āĻ–) $a$ āĻ“ $r$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻŦেāĻ° āĻ•āĻ°।

(āĻ—) $r<1$ āĻāĻ° āĻœāĻ¨্āĻ¯ āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻāĻŦং $r>1$ āĻāĻ° āĻœāĻ¨্āĻ¯ ā§­āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦেāĻ° āĻ•āĻ°।

                      āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¯:

āĻ•োāĻ¨ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=(x-2)^{n-1} ;\;n∈\mathbb{N}$

(āĻ•) $u_n$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ° ।

 (āĻ–) $x=\dfrac{1}{2}$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸি āĻ—āĻ āĻ¨ āĻ•āĻ°ে āĻ¸āĻĒ্āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ“ āĻ¸াāĻ¤āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°

(āĻ—) $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§ŸোāĻœāĻ¨ীā§Ÿ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°্āĻ¯āĻ¨্āĻ¤ āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

                     āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§Ļ:

$(x+1)^2+1+\dfrac{1}{(x+1)^2}+\cdots\cdots$ āĻ—ুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ­ুāĻ•্āĻ¤ ।

(āĻ•)āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤েāĻ° āĻĄোāĻŽেāĻ¨ āĻ“ āĻ°েāĻž্āĻœ āĻ˛িāĻ–।

(āĻ–) $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°।

(āĻ—)āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸিāĻ•ে āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ­āĻ—্āĻ¨াংāĻļে āĻĒ্āĻ°āĻ•াāĻļ āĻ•āĻ°।

                 āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§§:

$(a+ 1)^{-\tfrac{1}{2}} + (a+1)^{-1}+ (a+1)^{-\tfrac{3}{2}}+$$ (a+1)^{-2}+\cdots\cdots$āĻāĻ•āĻŸি āĻ§াāĻ°া

(āĻ•) $a =2$ āĻšāĻ˛ে āĻ§াāĻ°াāĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

(āĻ–) ‘āĻ•’ āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°াāĻĒ্āĻ¤ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ•োāĻ¨ āĻĒāĻĻ $7.9×10^4\;?$

(āĻ—) $a$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻ•ী āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°ােāĻĒ āĻ•āĻ°āĻ˛ে āĻĒ্āĻ°āĻĻāĻ¤্āĻ¤ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻĨাāĻ•āĻŦে āĻāĻŦং āĻ¸েāĻ‡ āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

                  āĻ¸ৃāĻœāĻ¨āĻļীāĻ˛ āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§§ā§¨:

 āĻāĻ•āĻŸি āĻ—ুāĻŖােāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻœāĻ¨্āĻ¯ āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĒāĻĻ, $u_1=\dfrac{2}{3}$ āĻāĻŦং $S_\infty=\dfrac{1}{2}$

(āĻ•) āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻ…āĻ¨ুāĻĒাāĻ¤ $r$ āĻ§āĻ°ে āĻĒ্āĻ°āĻŽাāĻŖ āĻ•āĻ° āĻ¯ে, $3r+1= 0$

(āĻ–) āĻ§াāĻ°াāĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°ে āĻāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ $ā§Ģ$ āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

(āĻ—) āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° $n$ āĻ¤āĻŽ āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি $\dfrac{40}{81}$ āĻšāĻ˛ে $n$ āĻāĻ° āĻŽাāĻ¨ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।          

                                  āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§:

$u_r=\dfrac{1}{r(r+1)}$  āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ° ।

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

$u_{r}=\dfrac{1}{r\left( r+1\right) }$

$=\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r+1}$

$r=1$ āĻšāĻ˛ে $u_{1}=1-\dfrac{1}{2}$

$r=2$ āĻšāĻ˛ে $u_{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$

 $r=3$ āĻšāĻ˛ে $u_{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

$r=n$ āĻšāĻ˛ে $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

$\therefore S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots\cdots+u_n$

        $=1-\dfrac{1}{n+1}$

$n\to \infty$ āĻšāĻ˛ে $S_{\infty}=1-\dfrac{1}{\infty+1}$

                                         $=1-\dfrac{1}{\infty}$

                                         $=1-0$

                                         $=1$

                   āĻ…āĻ¨ুāĻ°ূāĻĒāĻ­াāĻŦে āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ•āĻ°ঃ

$(i)$ .$u_r=\dfrac{1}{r(r-1)}$  āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ।

$(ii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r-1)(r-2)}$  āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ।

$(iii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$  āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ।

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§¨:

$u_n=\left(2-\dfrac{2}{3}x\right)^{-n+1}$ āĻ¯েāĻ–াāĻ¨ে $n$ āĻ§āĻ¨াāĻ¤্āĻŽāĻ• āĻĒূāĻ°্āĻŖāĻ¸ংāĻ–্āĻ¯া ।āĻāĻŸি āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ° $x$ āĻāĻ° āĻ‰āĻĒāĻ° āĻĒ্āĻ°ā§ŸোāĻœāĻ¨ীā§Ÿ āĻļāĻ°্āĻ¤ āĻ†āĻ°োāĻĒ āĻ•āĻ° ।

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Š:

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{3}{2^3}   ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ•ে āĻāĻ­াāĻŦে āĻ˛েāĻ–া āĻ¯াāĻ¯়,

$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2^2}  ,\dfrac{3}{2^3}   ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$

$\therefore$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=\dfrac{n}{2^n}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨-ā§Ē:

 $0,1,0,1,0,1\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻŦা $n$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ  āĻ˛িāĻ–।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ $u_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ģ:

$\left\{2,-2,2,-2\cdots\cdots\right\}$ āĻāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ–।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ $a_n=2(-1)^{n+1}$ āĻ…āĻĨāĻŦা $u_n=2(-1)^{n-1}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ŧ:

$1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$ āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ•āĻ¤।

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি, $S_{\infty}= \sum\limits_{n\to 0}^{\infty} \dfrac{1}{n}$

                    $=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$

                   $=e$

  āĻŦা, $e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$

āĻŦা, $e-1=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$  $[\because 0!=1!=1]$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§­:

$\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{1}{6}  ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° $ā§¨ā§Ļ$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

  $\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{1}{6}  ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$ 

āĻŦা, $\dfrac{1}{1^1+1}  ,\dfrac{1}{2^2+2}  ,\dfrac{1}{3^2+3},\cdots\cdots$ 

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $n$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ $u_n=\dfrac{1}{n^2+n}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§Ž:

$\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{-2}{3}  ,\dfrac{3}{4}  ,\dfrac{-4}{5},\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ

āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ,$u_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1+(n-1)×1}{2+(n-1)×1}=(-1)^{n-1}\dfrac{n}{n+1}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§¯:

 $u_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽ āĻ¨িāĻ°্āĻŖāĻ¯় āĻ•āĻ°ে $1000$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°। 

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

 $n=1$ āĻšāĻ˛ে $u_{_1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin90°=1$       $\left[∴Ī€^c=Ī€=180°\right]$

 $n=2$ āĻšāĻ˛ে $u_{_2}=\sin⁡(Ī€)=0$

 $n=3$ āĻšāĻ˛ে $u_{_3}=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1$

 $n=4$ āĻšāĻ˛ে $u_{_4}=\sin⁡(2Ī€)=0$

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽঃ

 $1,0,-1,0,⋯⋯⋯⋯$

āĻāĻ–াāĻ¨ে āĻĒ্āĻ°āĻ¤ি āĻšাāĻ° āĻĒāĻĻ āĻĒāĻĻ āĻĒāĻ°āĻĒāĻ° āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻĒূāĻŖāĻ°াāĻŦৃāĻ¤্āĻ¤ি āĻ˜āĻŸেāĻ›ে āĻāĻŦং āĻšাāĻ° āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻļূāĻŖ্āĻ¯।

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $1000$ āĻĒāĻĻেāĻ° ($1000$ āĻ¯েāĻšেāĻ¤ু $4$ āĻĻ্āĻŦাāĻ°া āĻŦিāĻ­াāĻœ্āĻ¯ ) āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ $=0.$

āĻ…āĻ¨ুāĻ°ূāĻĒāĻ­াāĻŦে āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ āĻ•āĻ°ঃ

ā§§.$\sin⁡\left(\dfrac{2n-1}{2} Ī€\right)$

ā§¨.$\cos⁡\left(\dfrac{n}{2} Ī€\right)$

ā§Š.$\cos⁡(nĪ€)$

ā§Ē.$\sin⁡(2nĪ€)$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§Ļ:

$1,0,1,0,1,......$ āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻŦা $n$ āĻ¤āĻŽ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ–।

āĻ¸āĻŽাāĻ§াāĻ¨ঃ

$u_n=\dfrac{1-(-1)^n}{2}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§§:

$\left\{-2,2,-2,2,\cdots\cdots\right\}$āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ–।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ

āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $t_n=2(-1)^n$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§¨:

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° $r$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ–।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ

āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽāĻŸিāĻ•ে  āĻāĻ­াāĻŦে āĻ˛েāĻ–া āĻ¯াāĻ¯়,

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$ 

$=\dfrac{1}{1^1+1},\dfrac{1}{2^2+1},\dfrac{1}{3^2+1},\cdots\cdots$ 

āĻ¸ুāĻ¤āĻ°াং $r$ āĻ¤āĻŽāĻĒāĻĻ ,$T_r=\dfrac{1}{r^2+1}$

āĻ—াāĻŖিāĻ¤িāĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸্āĻ¯া-ā§§ā§Š:

$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ āĻāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻ¨ āĻĒāĻĻ āĻ˛িāĻ–।

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°ঃ

āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽāĻŸিāĻ•ে āĻāĻ­াāĻŦে āĻ˛েāĻ–া āĻ¯াāĻ¯়,

$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ 

$=\dfrac{2}{4},-\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{16},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ 

$=(-1)^2\dfrac{2}{2^2},(-1)^3\dfrac{3}{8},(-1)^4\dfrac{4}{2^4},(-1)^5\dfrac{5}{2^5},\cdots\cdots$ 

āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ, $u_n=(-1)^{2+(n-1)×1}\dfrac{2+(n-1)×1}{2^{2+(n-1)×1}}$

                          $=(-1)^{n+1}\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$

                    āĻŦāĻšুāĻ¨িāĻ°্āĻŦাāĻšāĻ¨ী āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨ঃ

                       āĻŽāĻĄেāĻ˛ āĻŸেāĻˇ্āĻŸ-ā§§

āĻĒূāĻ°্āĻŖāĻŽাāĻ¨-ā§¨ā§Ģ                                āĻ¸āĻŽāĻ¯়-ā§¨ā§Ģ āĻŽিāĻ¨িāĻŸ

 āĻ¨িāĻšেāĻ° āĻ‰āĻĻ্āĻĻীāĻĒāĻ•েāĻ° āĻ¸াāĻšাāĻ¯্āĻ¯ে ā§§-ā§Š āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻĻাāĻ“ঃ

$u_x=\dfrac{1}{x(x+1)}$

ā§§.$u_x$ āĻāĻ° āĻ†ংāĻļিāĻ• āĻ­āĻ—্āĻ¨াংāĻļ āĻ•োāĻ¨āĻŸি?

(āĻ•) $\dfrac {1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$    (āĻ–) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

(āĻ—) $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$    (āĻ˜) $\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

ā§¨. $u_x$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤? 

(āĻ•)$\dfrac{1}{n+1}-1$       (āĻ–)$ 1-\dfrac{1}{n+1}$     

(āĻ—)$1+\dfrac{1}{n+1}$      (āĻ˜)$ 1-\dfrac{1}{n-1}$

ā§Š.$u_x$ āĻ¯ে āĻ§াāĻ°াāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ āĻ¤াāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ•āĻ¤?

(āĻ•) $1$    (āĻ–) $\dfrac {1}{2}$     (āĻ—) $\dfrac{1}{4} $   (āĻ˜) $\dfrac {1}{8}$

8. $2-2+2-2+...$ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻĒ্āĻ°āĻĨāĻŽ $n$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

(āĻ•) $0$ āĻ¯āĻ–āĻ¨ $n$ āĻœোā§œ       (āĻ–) $2$ āĻ¯āĻ–āĻ¨ $n$ āĻœোā§œ

(āĻ—) $0$ āĻ¯āĻ–āĻ¨ $n$ āĻŦিāĻœোā§œ       (āĻ˜) $-2$ āĻ¯āĻ–āĻ¨ $n$ āĻŦিāĻœোā§œ

    āĻ¨িāĻšেāĻ° āĻ•োāĻ¨ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻāĻŸিāĻ° āĻ¸াāĻšাāĻ¯্āĻ¯ে ā§Ģ-ā§­āĻ¨ং āĻĒ্āĻ°āĻļ্āĻ¨েāĻ° āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻĻাāĻ“:

$u_n=2(-1)^{n-1}$

ā§Ģ.āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽāĻŸিāĻ° āĻĻāĻļāĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

  (āĻ•) $2$         (āĻ–) $0$        (āĻ—) āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ‡           (āĻ˜) $-2$

ā§Ŧ.āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽāĻŸিāĻ° āĻĒāĻ¨েāĻ°āĻŸি āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

  (āĻ•) $2$        (āĻ–) $0$           (āĻ—) āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ‡           (āĻ˜) $-2$

ā§­.āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽāĻŸিāĻ° āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

  (āĻ•) $2$        (āĻ–) $0$           (āĻ—) āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ¨েāĻ‡          (āĻ˜) $-2$

ā§Ž.$2^0+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots\cdots$āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

(āĻ•) $2$        (āĻ–) $1$      (āĻ—) $\dfrac{1}{2}$     (āĻ˜) $\dfrac{1}{3}$

ā§¯.$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots\cdots$ āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻ—ুāĻŖোāĻ¤্āĻ¤āĻ° āĻ§াāĻ°াāĻŸিāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

  (āĻ•) $\dfrac{-1}{2}$      (āĻ–)  $-2$        (āĻ—) $\dfrac{1}{2}$         (āĻ˜) $2$

ā§§ā§Ļ. āĻ¯ে āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽেāĻ° āĻ¸াāĻ§াāĻ°āĻŖ āĻĒāĻĻ$\cos \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ , āĻ¤াāĻ° $100$ āĻĒāĻĻেāĻ° āĻ¯োāĻ—āĻĢāĻ˛ āĻ•āĻ¤?

(āĻ•) $0$    (āĻ–) $1$     (āĻ—) $-1$    (āĻ˜) $2$

ā§§ā§§. $i.$ āĻ¯ে āĻ•োāĻ¨ো āĻ…āĻ¸ীāĻŽ āĻ¸েāĻŸ āĻ…āĻ¨ুāĻ•্āĻ°āĻŽ।

      $ii.$ $r<1$ āĻšāĻ˛ে āĻ…āĻ¸ীāĻŽāĻ¤āĻ• āĻ¸āĻŽāĻˇ্āĻŸি āĻ¨িāĻ°্āĻŖā§Ÿ āĻ•āĻ°া āĻ¯াā§Ÿ।

      $iii.$ $n\to 0$ āĻšāĻ˛ে $u_n=\dfrac{1}{n}\to\infty$ āĻšā§Ÿ।

āĻ•োāĻ¨āĻŸি āĻ¸āĻ িāĻ•?

(āĻ•) $i$     (āĻ–) $ii$        (āĻ—) $iii$       (āĻ˜) $i,ii,iii$

āĻ‰āĻ¤্āĻ¤āĻ°āĻĒāĻ¤্āĻ°ঃ

ā§§.(āĻ–)   ā§¨.(āĻ–)   ā§Š.(āĻ•)  8.(āĻ•)  ā§Ģ.(āĻ–)  ā§Ŧ.(āĻ–)   ā§­.(āĻ—)   ā§Ž.(āĻ•)   ā§¯.(āĻ˜)  ā§§ā§Ļ.(āĻ•)  ā§§ā§§.(āĻ—)

                                        


Comments

Popular posts from this blog

class six, mathematics, first chapter, Natural Numbers and fractions

geometry higher mathematics

chemistry, mineral resources , metal and nonmetal