higher mathematics,infinite series

                 উচ্চতর গণিত

অসীম গুণোত্তর ধারার সূত্রঃ

$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$  যেখানে $|r|<1$

                               বা, $-1<r<1$

মন্তব্যঃ

$(i)$ সংখ্যারেখার দুই বিচ্ছিন্ন অঞ্চলের শর্ত দ্বারা সেট গঠন করলে "অথবা" $\left(\cup\right)$ ব্যবহার করতে হবে । তবে "এবং" $\left(\cap\right)$ ব্যবহার করলে ফলাফল হবে ফাঁকা সেট অর্থাৎ $\emptyset$ হবে।

$(ii)$ সাধারণ অনুপাতে চলক হরে থাকলে "অথবা"  এবং চলক মুক্ত হর হলে "এবং" হবে।

                                             গাণিতিক প্রশ্নঃ 

নিচের ধারার ক্ষেত্রে $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করঃ

১. $1+\dfrac{3-2x}{x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots  $

২.  $\dfrac{3x}{4-x}+\left(\dfrac{3-2x}{x}\right)^2+\cdots\cdots $

৩. $\sqrt{1-x}+(1-x)+(1-x)\sqrt{1-x}+\cdots\cdots $

                                             সৃজনশীল প্রশ্ন

                    সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

$ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots\cdots$

(ক) $(i)$ ধারাটির $n$ পদের যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ। 

$(ii)$ ধারাটির অসীম পদের যোগফল নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ। যখন $|r|<1$.

(খ) ধারাটির $a=\sqrt{2}$ এবং $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ হলে সাতটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।

(গ) ধারাটির প্রথম তিনটি পদের গুণফল $\dfrac{27}{64}$ এবং যোগফল $\dfrac{21}{8}$ হলে $a$

 এবং $r$ এর মান নির্ণয় কর।

             সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

কোন ধারার সাধারণ পদ,$u_n=(x-2)^{n-1} ;n∈\mathbb{N} $

(ক) $u_n$ যে ধারার সাধারণ পদ তার সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর ।                                                           

(খ) $x=-\dfrac{1}{2}$ হলে ধারাটি গঠন করে সপ্তম পদ ও সাতটি পদের যোগফল নির্ণয় কর।  

(গ) $x$ এর উপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ করে অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর। 

            সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$(2-x)^2+1+\dfrac{1}{(2-x)^2} +\cdots\cdots$গুণোত্তর ধারাভুক্ত ।

(ক)সাধারণ অনুপাতের ডোমেন ও রেঞ্জ লিখ।

(খ)$x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।

(গ)অসীমতক সমষ্টিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

               (ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r=y=\dfrac{1}{(2-x)^2}\in\mathbb{R} $ হবে যদি এবং কেবল যদি $x-2\ne 0$ বা $x\ne 2$ হয়।

সুতরাং অনুপাতটির ডোমেন $D=\mathbb{R} -\left\{2\right\}$

                                            $=\left\{x\in \mathbb{R}: x\ne 2\right\}$

$x\in D$ হলে $y\in \mathbb{R}^+$ হবে।

সুতরাং রেঞ্জ, $R=\mathbb{R}^+$

                       $=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$

                       $=\left(0,\infty\right)$

অথবা, $y=\dfrac{1}{(2-x)^2}$

  বা, $(2-x)^2=\dfrac{1}{y}$

  বা, $2-x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{y}}$

  বা, $x=2\pm\dfrac{1}{\sqrt{y}}\in \mathbb{R}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $y>0$ হয়।

সুতরাং রেঞ্জ, $R=\mathbb{R}^+$

                       $=\left\{y\in \mathbb{R}: y>0\right\}$

                       $=\left(0,\infty\right)$

                    (খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

প্রথম পদ, $a=(2-x)^2$

সাধারণ অনুপাত, $r=\dfrac{1}{\dfrac{1}{(2-x)^2}}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ বা $-1<r<1$ বা $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$ হয়।

এখন, $-1<\dfrac{1}{(2-x)^2}$ গ্রহণযোগ্য নয়।কারণ বর্গের মান ঋণাত্মক হয় না।

    অথবা $\dfrac{1}{(2-x)^2}<1$

         বা, $\left(\dfrac{1}{2-x}\right)^2<1$

         বা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<\sqrt{1}$

         বা, $\left|\dfrac{1}{2-x}\right|<1$

         বা, $-1<\dfrac{1}{2-x}<1$

সুতরাং $-1<\dfrac{1}{2-x}$                               

         বা, $-1>2-x$                    [ব্যস্তকরণ করে]

         বা, $-1-2>2-x-2$

         বা, $-3>-x$

          বা, $3<x$

অথবা, $\dfrac{1}{2-x}<1$

   বা, $2- x>1$

   বা, $2-x-2>1-2$

   বা, $-x>-1$

   বা, $x<1$

সুতরাং $x>3$ অথবা $x<1$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

প্রাপ্ত শর্তের সমাধান সেট, $S=\left\{x\in \mathbb{R}: x>3\;\; or \;\; x<1 \right\}$

                                         $=\left(3,\infty\right)\cup \left(-\infty,1\right)$

সমাধান সেটের সংখ্যাঃ

$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$

           $=\dfrac{(2-x)^2}{1-\dfrac{1}{(2-x)^2}}$

           $=\dfrac{(2-x)^2}{\dfrac{(2-x)^2-1}{(2-x)^2}}$

           $=\dfrac{(2-x)^4}{(2-x+1)(2-x-1)}$

           $=\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$

  (গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

'খ' নং হতে পাই, $\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}$

[রাশিটির লবের মাত্রা $=4$ এবং হরের মাত্রা $=2$ ; সুতরাং রাশিটির মাত্রা $=4-2=2$ এজন্য $x$ এর ঘাত $2$ থেকে অর্থাৎ $Ax^2$ থেকে ক্রমান্বয়ে হ্রাস পাবে]

মনে করি,

$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv Ax^2+Bx+C+\dfrac{D}{3-x}+\dfrac{E}{1-x}$$\cdots\cdots (i)$ 

বা, $(2-x)^4=\left(Ax^2+Bx+C\right)(3-x)(1-x)$$+D(1-x)+E(3-x)\cdots\cdots (ii)$

$(ii)$ নং সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1=2E$ বা, $E=\dfrac{1}{2}$

$(ii)$ নং সমীকরণে $x=3$ বসিয়ে পাই,

$1=-2D$ বা, $D=\dfrac{-1}{2}$

$(ii)$ নং এর উভয়পক্ষের $x^4$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$1=A$ বা, $A=1$

$(ii)$ নং এর উভয়পক্ষের ধ্রুবপদ সমীকৃত করে পাই,

     $2^4=3C+D+3E$

বা, $16=3C-\dfrac{1}{2}+3×\dfrac{1}{2}$

বা, $16+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=3C$

বা, $15=3C$

$\therefore C=5$

$(ii)$ নং সমীকরণে $x=2$ বসিয়ে পাই,

       $0=-(4A+2B+C)-D+E$

বা, $0=-4×1-2B-5+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$

বা, $2B=-4-5+1$

বা, $B=-4$

$A,B,C,D,E$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\dfrac{(2-x)^4}{(3-x)(1-x)}\equiv x^2-4x+5-\dfrac{1}{2(3-x)}+\dfrac{1}{2(1-x)}$ 

              সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$u_n=ar^n$ একটি গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ।

(ক) ধারাটির $n$ পদের ও অসীম পদের যোগফল নির্ণয়ের সূত্র লিখ।

(খ) $a=3$ এবং $r$ এর ঘাতের সমান সংখ্যক $3$ পরপর বসিয়ে যে ধারা পাওয়া যায় তার $n$ পদের যোগফল নির্ণয় কর।

(গ) $a=1$ এবং $r=(2-3x)^{-1}$ হলে $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।

                সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

 একটি ধারার $r$ তম পদ $=u_r$ এবং $\log_{(3-2x) }u_r=r-2$.

(ক) ধারাটি গঠন কর।

(খ) $x=\dfrac{1}{4}$ হলে ধারাটির দশম পদ এবং সাতটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(গ) অসীমতক সমষ্টির জন্য $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।

                           সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$  কোন ধারার সাধারণ পদ।

(ক) $u_r$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

(খ) ধারাটির $x$ পদের যোগফল $S_x$ নির্ণয় করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়

(গ) $S_x$ এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,$S_x$ এক-এক ফাংশন।

                             সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:

$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots\cdots$

$(i)$ $r≠1$ এর জন্য ধারাটির $n$ পদ পর্যন্ত আংশিক যোগফল নির্ণয় কর।

$(ii)$ $|r|<1$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

$(iii)$  $a=1$ এবং $r=-1$ হলে $n$ পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।

$(iv)$  গানিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমান কর যে ধারাটির $n$ তম আংশিক সমষ্টি $S_n=\dfrac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$

$(v)$  $|r|<1$ এর প্রমান কর যে, $S_∞=S_n+\dfrac{ar^n}{1-r}$

$(vi)$  $a=1\;,\;r=(3x-2)^{-1}$ হলে $x$ এর শর্ত আরোহ করে অসীম পর্যন্ত যোগফলন নির্ণয় কর।শর্তটি সংখ্যারেখায় দেখাও এবং সেট আকারে প্রকাশ কর।

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:

 $a+ar+ar^2+\cdots\cdots$ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল $0.\dot96\dot2$ এবং গুনফল $\dfrac{8}{729}$

(ক) যোগফলটিকে মূলদীয় ভগ্নাংশ প্রকাশ কর।

(খ) $a$ ও $r$ এর মান বের কর।

(গ) $r<1$ এর জন্য অসীমতক সমষ্টি এবং $r>1$ এর জন্য ৭ম পদ বের কর।

                      সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:

কোন ধারার সাধারণ পদ, $u_n=(x-2)^{n-1} ;\;n∈\mathbb{N}$

(ক) $u_n$ যে ধারার সাধারণ পদ তার সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর ।

 (খ) $x=\dfrac{1}{2}$ হলে ধারাটি গঠন করে সপ্তম পদ ও সাতটি পদের যোগফল নির্ণয় কর

(গ) $x$ এর উপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ করে অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর।

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:

$(x+1)^2+1+\dfrac{1}{(x+1)^2}+\cdots\cdots$ গুণোত্তর ধারাভুক্ত ।

(ক)সাধারণ অনুপাতের ডোমেন ও রেঞ্জ লিখ।

(খ) $x$ এর উপর শর্ত আরোপ করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।

(গ)অসীমতক সমষ্টিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

                 সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:

$(a+ 1)^{-\tfrac{1}{2}} + (a+1)^{-1}+ (a+1)^{-\tfrac{3}{2}}+$$ (a+1)^{-2}+\cdots\cdots$একটি ধারা

(ক) $a =2$ হলে ধারাটি নির্ণয় কর।

(খ) ‘ক’ এর প্রাপ্ত ধারার কোন পদ $7.9×10^4\;?$

(গ) $a$ এর উপর কী শর্ত আরােপ করলে প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

                  সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:

 একটি গুণােত্তর ধারার জন্য প্রথম পদ, $u_1=\dfrac{2}{3}$ এবং $S_\infty=\dfrac{1}{2}$

(ক) সাধারণ অনুপাত $r$ ধরে প্রমাণ কর যে, $3r+1= 0$

(খ) ধারাটি নির্ণয় করে এর প্রথম $৫$ টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

(গ) ধারাটির $n$ তম আংশিক সমষ্টি $\dfrac{40}{81}$ হলে $n$ এর মান নির্ণয় কর।          

                                  গাণিতিক প্রশ্ন

গাণিতিক সমস্যা-১:

$u_r=\dfrac{1}{r(r+1)}$  যে ধারার সাধারণ পদ তার $n$ পদের যোগফল নির্ণয় করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর ।

সমাধানঃ

$u_{r}=\dfrac{1}{r\left( r+1\right) }$

$=\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r+1}$

$r=1$ হলে $u_{1}=1-\dfrac{1}{2}$

$r=2$ হলে $u_{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$

 $r=3$ হলে $u_{3}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

$r=n$ হলে $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

$\therefore S_n=u_1+u_2+u_3+\cdots\cdots+u_n$

        $=1-\dfrac{1}{n+1}$

$n\to \infty$ হলে $S_{\infty}=1-\dfrac{1}{\infty+1}$

                                         $=1-\dfrac{1}{\infty}$

                                         $=1-0$

                                         $=1$

                   অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

$(i)$ .$u_r=\dfrac{1}{r(r-1)}$  যে ধারার সাধারণ পদ তার $n$ পদের যোগফল নির্ণয় করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়।

$(ii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r-1)(r-2)}$  যে ধারার সাধারণ পদ তার $n$ পদের যোগফল নির্ণয় করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়।

$(iii)$ .$u_r=\dfrac{1}{(r+1)(r+2)}$  যে ধারার সাধারণ পদ তার $n$ পদের যোগফল নির্ণয় করে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়।

গাণিতিক প্রশ্ন-২:

$u_n=\left(2-\dfrac{2}{3}x\right)^{-n+1}$ যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ।এটি যে ধারার সাধারণ পদ তার অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর $x$ এর উপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ কর ।

গাণিতিক প্রশ্ন-৩:

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{3}{2^3}   ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$ অনুক্রমের সাধারন পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটিকে এভাবে লেখা যায়,

$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2^2}  ,\dfrac{3}{2^3}   ,\dfrac{4}{2^4}\cdots\cdots$

$\therefore$ সাধারণ পদ, $u_n=\dfrac{n}{2^n}$

গাণিতিক প্রশ্ন-৪:

 $0,1,0,1,0,1\cdots\cdots$ অনুক্রমের সাধারন বা $n$ তম পদ  লিখ।

উত্তরঃ $u_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}$

গাণিতিক সমস্যা-৫:

$\left\{2,-2,2,-2\cdots\cdots\right\}$ এর সাধারন পদ লিখ।

উত্তরঃ $a_n=2(-1)^{n+1}$ অথবা $u_n=2(-1)^{n-1}$

গাণিতিক সমস্যা-৬:

$1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$ ধারার অসীমতক সমষ্টি কত।

সমাধানঃ

সমষ্টি, $S_{\infty}= \sum\limits_{n\to 0}^{\infty} \dfrac{1}{n}$

                    $=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$

                   $=e$

  বা, $e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$

বা, $e-1=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots\cdots$  $[\because 0!=1!=1]$

গাণিতিক সমস্যা-৭:

$\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{1}{6}  ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$ অনুক্রমের $২০$ তমপদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

  $\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{1}{6}  ,\dfrac{1}{12},\cdots\cdots$ 

বা, $\dfrac{1}{1^1+1}  ,\dfrac{1}{2^2+2}  ,\dfrac{1}{3^2+3},\cdots\cdots$ 

সুতরাং $n$ তমপদ $u_n=\dfrac{1}{n^2+n}$

গাণিতিক সমস্যা-৮:

$\dfrac{1}{2}  ,\dfrac{-2}{3}  ,\dfrac{3}{4}  ,\dfrac{-4}{5},\cdots\cdots$ অনুক্রমের সাধারন পদ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

সাধারণ পদ,$u_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1+(n-1)×1}{2+(n-1)×1}=(-1)^{n-1}\dfrac{n}{n+1}$

গাণিতিক সমস্যা-৯:

 $u_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ সাধারণ পদের অনুক্রম নির্ণয় করে $1000$ পদের যোগফল নির্ণয় কর। 

সমাধানঃ

 $n=1$ হলে $u_{_1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin90°=1$       $\left[∴π^c=π=180°\right]$

 $n=2$ হলে $u_{_2}=\sin⁡(π)=0$

 $n=3$ হলে $u_{_3}=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1$

 $n=4$ হলে $u_{_4}=\sin⁡(2π)=0$

 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

সুতরাং অনুক্রমঃ

 $1,0,-1,0,⋯⋯⋯⋯$

এখানে প্রতি চার পদ পদ পরপর অনুক্রমের পূণরাবৃত্তি ঘটেছে এবং চার পদের যোগফল শূণ্য।

সুতরাং $1000$ পদের ($1000$ যেহেতু $4$ দ্বারা বিভাজ্য ) যোগফল $=0.$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.$\sin⁡\left(\dfrac{2n-1}{2} π\right)$

২.$\cos⁡\left(\dfrac{n}{2} π\right)$

৩.$\cos⁡(nπ)$

৪.$\sin⁡(2nπ)$

গাণিতিক সমস্যা-১০:

$1,0,1,0,1,......$ সাধারন বা $n$ তম পদ লিখ।

সমাধানঃ

$u_n=\dfrac{1-(-1)^n}{2}$

গাণিতিক সমস্যা-১১:

$\left\{-2,2,-2,2,\cdots\cdots\right\}$অনুক্রমের সাধারন পদ লিখ।

উত্তরঃ

সাধারণ পদ, $t_n=2(-1)^n$

গাণিতিক সমস্যা-১২:

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$ অনুক্রমের $r$ তমপদ লিখ।

উত্তরঃ

অনুক্রমটিকে  এভাবে লেখা যায়,

$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{10},\cdots\cdots$ 

$=\dfrac{1}{1^1+1},\dfrac{1}{2^2+1},\dfrac{1}{3^2+1},\cdots\cdots$ 

সুতরাং $r$ তমপদ ,$T_r=\dfrac{1}{r^2+1}$

গাণিতিক সমস্যা-১৩:

$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ এর সাধারন পদ লিখ।

উত্তরঃ

অনুক্রমটিকে এভাবে লেখা যায়,

$\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{4},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ 

$=\dfrac{2}{4},-\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{16},-\dfrac{5}{32},\cdots\cdots$ 

$=(-1)^2\dfrac{2}{2^2},(-1)^3\dfrac{3}{8},(-1)^4\dfrac{4}{2^4},(-1)^5\dfrac{5}{2^5},\cdots\cdots$ 

সাধারণ পদ, $u_n=(-1)^{2+(n-1)×1}\dfrac{2+(n-1)×1}{2^{2+(n-1)×1}}$

                          $=(-1)^{n+1}\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$

                    বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

                       মডেল টেষ্ট-১

পূর্ণমান-২৫                                সময়-২৫ মিনিট

 নিচের উদ্দীপকের সাহায্যে ১-৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

$u_x=\dfrac{1}{x(x+1)}$

১.$u_x$ এর আংশিক ভগ্নাংশ কোনটি?

(ক) $\dfrac {1}{x}+\dfrac{1}{x+1}$    (খ) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

(গ) $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$    (ঘ) $\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

২. $u_x$ যে ধারার সাধারণ পদ তার $n$ পদের যোগফল কত? 

(ক)$\dfrac{1}{n+1}-1$       (খ)$ 1-\dfrac{1}{n+1}$     

(গ)$1+\dfrac{1}{n+1}$      (ঘ)$ 1-\dfrac{1}{n-1}$

৩.$u_x$ যে ধারার সাধারণ পদ তার অসীমতক সমষ্টি কত?

(ক) $1$    (খ) $\dfrac {1}{2}$     (গ) $\dfrac{1}{4} $   (ঘ) $\dfrac {1}{8}$

8. $2-2+2-2+...$ ধারাটির প্রথম $n$ পদের যোগফল কত?

(ক) $0$ যখন $n$ জোড়       (খ) $2$ যখন $n$ জোড়

(গ) $0$ যখন $n$ বিজোড়       (ঘ) $-2$ যখন $n$ বিজোড়

    নিচের কোন অনুক্রমের সাধারণ পদটির সাহায্যে ৫-৭নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

$u_n=2(-1)^{n-1}$

৫.অনুক্রমটির দশটি পদের যোগফল কত?

  (ক) $2$         (খ) $0$        (গ) যোগফল নেই           (ঘ) $-2$

৬.অনুক্রমটির পনেরটি পদের যোগফল কত?

  (ক) $2$        (খ) $0$           (গ) যোগফল নেই           (ঘ) $-2$

৭.অনুক্রমটির অসীম পদের যোগফল কত?

  (ক) $2$        (খ) $0$           (গ) যোগফল নেই          (ঘ) $-2$

৮.$2^0+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\cdots\cdots$অসীম ধারাটির যোগফল কত?

(ক) $2$        (খ) $1$      (গ) $\dfrac{1}{2}$     (ঘ) $\dfrac{1}{3}$

৯.$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots\cdots$ অসীম গুণোত্তর ধারাটির যোগফল কত?

  (ক) $\dfrac{-1}{2}$      (খ)  $-2$        (গ) $\dfrac{1}{2}$         (ঘ) $2$

১০. যে অনুক্রমের সাধারণ পদ$\cos \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$ , তার $100$ পদের যোগফল কত?

(ক) $0$    (খ) $1$     (গ) $-1$    (ঘ) $2$

১১. $i.$ যে কোনো অসীম সেট অনুক্রম।

      $ii.$ $r<1$ হলে অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

      $iii.$ $n\to 0$ হলে $u_n=\dfrac{1}{n}\to\infty$ হয়।

কোনটি সঠিক?

(ক) $i$     (খ) $ii$        (গ) $iii$       (ঘ) $i,ii,iii$

উত্তরপত্রঃ

১.(খ)   ২.(খ)   ৩.(ক)  8.(ক)  ৫.(খ)  ৬.(খ)   ৭.(গ)   ৮.(ক)   ৯.(ঘ)  ১০.(ক)  ১১.(গ)