online edu.

1. Resolve into factor: $\dfrac{1}{8}x^2-2$  Solution:      $\dfrac{1}{8}x^2-2$ $=\dfrac{x^2-16}{8}$ $=\dfrac{x^2-4^2}{8}$ $=\dfrac{(x+4)(x-4)}{8}$ $=\dfrac{1}{8}(x+4)(x-4)$ $(Ans.)$ Factorise similarly :   $(i).\; \dfrac{1}{3}x^2-3$                                              $(ii).\; \dfrac{1}{\sqrt{3}} x^3-9\sqrt{3}$             2.Resolve into factor:  $\dfrac{1}{2}a^3-4$ Solution:     $\dfrac{1}{2}a^3-4$ $=\dfrac{a^3-8}{2}$ $=\dfrac{a^3-2^3}{2}$ $=\dfrac{(a-2)(a^2+a\cdot 2 +2^2)}{2}$ $=\dfrac{(a-2)(a^2+2a +4)}{2}$ $=\dfrac{1}{2} (a-2)(a^2+2a +4)$ $(Ans.)$ similar factorization:   $\dfrac{1}{4}x^3-16$ 3.Factorise the expression: $x^2+\dfrac{1}{x^2}-x+\dfrac{1}{x}-2$ Solution:     $x^2+\dfrac{1}{x^2}-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=x^2+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-x+\dfrac{1}{x}-2$ $=\left(...

                                                              অনুশীলনী ২.১ অনুপাত : দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। ‘:’ চিহ্ন দ্বারা অনুপাত প্রকাশ করা হয়। অনুপাতের রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে এর কোনো একক নেই। অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলে।  সমতুল অনুপাত : কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়। যেমন, ২ : ৫ = (২ $\times $ ২) : (৫ $\times $ ২) = ৪ : ১০ $\therefore $ ২ : ৫ ও ৪ : ১০ সমতুল অনুপাত। সরল অনুপাত : অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। যেমন, ৩ : ৫ একটি সরল অনুপাত, এখানে ৩ হলো পূর্ব রাশি ও ৫ হলো উত্তর রাশি। লঘু অনুপাত : সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে ছোট ...

                                                    অনুশীলনী $১.১$   ১.নিচের সংখ্যাগুলো অঙ্কে লেখ: (ক) বিশ হাজার সত্তর, ত্রিশ হাজার আট, পঞ্চান্ন হাজার চারশ। সমাধান:   বিশ হাজার সত্তর কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক $২$ $০$ $০$ $৭$ $০$ কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, শতক ও এককের ঘরে কোনো অঙ্ক নেই। সুতরাং এ খালি ঘরগুলোতে শূন্য $(০)$ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়। উত্তর: বিশ হাজার সত্তর $=২০,০৭০$ । ত্রিশ হাজার আট কোটি নিযুত লক্ষ অযুত হাজার শতক দশক একক $৩$ $০$ $০$ $০$ $৮$ কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, শতক ও দশকের ঘরে কোনো অঙ্ক নেই। সুতরাং এ খালি ঘরগুলোতে শূন্য $(০)$ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়। উত্তর: ত্রিশ হাজার আট $=৩০,০০৮$ । পঞ্চান্...

সূত্রঃ ক $-$ তম পদ $=$ প্রথম পদ$+(ক-১)×$ ২য় পার্থক্য $+ \dfrac{১}{২}(ক--১)(ক-২)×$ ৩য় পার্থক্য। ১.চিত্রে কাঠির দ্বারা জ্যামিতিক প্যাটার্ণ তৈরি করা হয়েছে-   (ক) চিত্রের সাংখ্যিক প্যাটার্নের সাধারণ পদ লিখ।            (খ) দুটি উপায়ে ১ম চিত্রের  সাংখ্যিক প্যাটার্নের মানের ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠন কর।      (গ) কত তম চিত্র তৈরিতে ১০১ টি কাঠি লাগবে এবং ২০ টি চিত্র তৈরিতে কতটি কাঠি লাগবে?                                         (ক)নং প্রশ্নের উত্তর: চিত্রের  সাংখ্যিক  প্যাটার্ন:   ৬ ,     ১১  ,    ১৬  , ......                                              $\searrow \swarrow \searrow \swarrow$ পাশাপাশি দুই পদের পার্থক্য:     ৫        ৫...

  সূত্রঃ  $C=P\left(১+\dfrac{r}{n}\right)^{n×t}$ এখানে $C=$ চক্রবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল (Compound)           $P=$ আসল (principal)           $r=$ মুনাফার হার (rate of interest)           $t=$ সময় (বছরে প্রকাশিত) (time)          $n=$ এক বছরে কতবার মুনাফা হিসাব করা হয়েছে।(number of divisions of a year) উদাহরণ-৩। একটি ফ্ল্যাট মালিক কল্যাণ সমিতি আদায়কৃত সার্ভিস চার্জ থেকে উদ্বৃত্ত $২০০০০০$ টাকা ব্যাংকে ছয় মাস অন্তর চক্রবৃদ্ধি মুনাফাভিত্তিক স্থায়ী আমানত রাখলেন। মুনাফার হার বার্ষিক $১২$ টাকা হলে এক বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে ? সমাধানঃ আসল, $P=২০০০০০$ টাকা। মুনাফার হার,$r=১২\%=০.১২$ সময়, $t= ১$ বছর। বছরের বিভাজন সংখ্যা , $n=২$  [ ছয় মাস ভিত্তিক] চক্রবৃদ্ধিমূল $C=P\left(১+\dfrac{r}{n}\right)^{n×t}$                        $=২০০০০০\left(১+\dfrac{০.১২}{২}\right)^{২×১}$   ...

সৃজনশীল প্রশ্ন-১: (ক) $AC$ এর মান নির্ণয় কর। (খ) $CD$ এর মান নির্ণয় কর। (গ) $BD$ এবং $\triangle BCD$ নির্ণয় কর।               সৃজনশীল প্রশ্ন-২: $150$ মিটার উঁচু গাছের শীর্ষ $A$ এর  গাছের গোড়া $B$ হতে $x$ মি দূরে $C$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ $60^\circ$ এবং সেখান থেকে $y$ মিটার দূরে $D$ বিন্দুতে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $30^\circ$ হয়। (ক) বর্ণনাসহ চিত্র আঁক । (খ) $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর । (গ) উলম্বতলের ক্ষেত্রফল এবং শীর্ষ হতে ঐ স্থান দুটির সরাসরি দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয় কর । (ঘ) $\triangle ACD$ নির্ণয় কর।                সৃজনশীল প্রশ্ন-৩: ভূমি থেকে $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ মাইল উচ্চতায় একটি ঘুড়ি উড়ছে । ঘুড়ির অবস্থানে সূতার আদি বিন্দুর অবনতি কোণ $60^\circ$।সুতা ছিড়ে যাওয়ায়  তীর্যক পতনে পতনবিন্দুতে $30^\circ $ কোণ তৈরি করে ঘুড়ি  ভূমিতে পতিত হয়।সুতার আদিবিন্দু ভূমিতে অবস্থিত । (ক) বর্ণনাসহ চিত্র আঁক । (খ) সূতার দৈর্ঘ্য কত মিটার? (গ) সুতার আদিবিন্দু ও পতনবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত কিলোমিটার? (ঘ) সুতার আদিব...

উপস্থাপনের  ভিত্তিতে উপাত্ত  দুই প্রকার ।যথা: (ক) অবিন্যস্ত উপাত্ত (খ) বিন্যস্ত উপাত্ত  বিন্যস্ত উপাত্ত দুইভাবে থাকতে পারে। যেমন:মানের ক্রমানুসারে সাজানো এবং সারণিবদ্ধভাবে সাজানো (গণসংখ্যা নিবেশন সারণি)। অবিন্যস্ত উপাত্তের গড় তিনভাবে নির্ণয় করা যায়।যথা: (১) সরাসরি গড়(গাণিতিক গড়) (২) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড়  (৩)গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে রুপান্তরিত করে উপরোক্ত দুই পদ্ধতির যেকোন একটির সাহায্যে। নিচের  অবিন্যস্ত উপাত্তগুলো থেকে উপরোক্ত তিনটি পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর : $72,85,78,84,78,75,69,67,88,$$80,74,77,79,69,74,73,$$83,65,75,69,63,75,86,66,71$ প্রথম পদ্ধতিতে গড়: উপাত্ত গুলোর যোগফল,$\sum x_i=72+85+78+84+78+75+69$$+67+88+80+74+77+79+69+74+73$$+83+65+75+69+63+75+86+66+71$ $=1875$  উপাত্ত সংখ্যা বা গণসংখ্যা,$n=\sum f_i=25$ গাণিতিক গড়,$\overline{x}=\dfrac{\sum x_{i}}{\sum f_{i}}$ $=\dfrac{1875}{25}$ $=75$ দ্বিতীয় পদ্ধতি (সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি): ধরি, অনুমিত গড়,$a=80$ উপাত্ত$(x_i)$ $u_i=x_i-a$ $\sum u_i$ $72$ $72-80=-8$ $-8$ ...