mathematics,profit,profits,simple and compound interest

 সূত্রঃ

 $C=P\left(১+\dfrac{r}{n}\right)^{n×t}$

এখানে $C=$ চক্রবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল (Compound)

          $P=$ আসল (principal)

          $r=$ মুনাফার হার (rate of interest)

          $t=$ সময় (বছরে প্রকাশিত) (time)

         $n=$ এক বছরে কতবার মুনাফা হিসাব করা হয়েছে।(number of divisions of a year)

উদাহরণ-৩। একটি ফ্ল্যাট মালিক কল্যাণ সমিতি আদায়কৃত সার্ভিস চার্জ থেকে উদ্বৃত্ত $২০০০০০$ টাকা ব্যাংকে ছয় মাস অন্তর চক্রবৃদ্ধি মুনাফাভিত্তিক স্থায়ী আমানত রাখলেন। মুনাফার হার বার্ষিক $১২$ টাকা হলে এক বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত হবে ?

সমাধানঃ

আসল, $P=২০০০০০$ টাকা।

মুনাফার হার,$r=১২\%=০.১২$

সময়, $t= ১$ বছর।

বছরের বিভাজন সংখ্যা , $n=২$  [ ছয় মাস ভিত্তিক]

চক্রবৃদ্ধিমূল $C=P\left(১+\dfrac{r}{n}\right)^{n×t}$

                       $=২০০০০০\left(১+\dfrac{০.১২}{২}\right)^{২×১}$

                       $=২০০০০০(১+০.০৬)^২$

                       $=২০০০০০(১.০৬)^২$

                       $=২২৪৭২০$ টাকা

                        অনুশীলনী-২.২

১.একব্যক্তি ঋণদান সংস্থা থেকে বার্ষিক $৮\%$ চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় $৫০০০$ টাকা ঋণ নিলেন।প্রতিবছর শেষে তিনি $২০০০$ টাকা করে ঋণ পরিশোধ করেন ।২য় কিস্তি পরিশোধের পর তাঁর আর কত টাকা ঋণ থাকবে? 

সমাধান:

এখানে, বার্ষিক মুনাফার হার,$r=৮\%=০.০৮$

                        আসল,$P=৫০০০$ টাকা 

$n$  বছর শেষে চক্রবৃদ্ধিমূল, $C=P (১+r)^n$

$∴ ১$ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধিমূল,$C=৫০০০ (১+০.০৮)^১$  টাকা 

                                 $=৫০০০×১.০৮$ টাকা 

                                 $=৫৪০০$ টাকা 

প্রথম কিস্তি শেষে ঋণ, $P_1=(৫৪০০-২০০০)$টাকা

                            $=৩৪০০$ টাকা

২য় বছর শেষে চক্রবৃদ্ধিমূল, $C_1=P_1 (১+০.০৮)^১$

                                  $=৩৪০০×১.০৮$ টাকা

                                  $=৩৬৭২$ টাকা 

২য় কিস্তি শেষে ঋণ$=(৩৬৭২-২০০০)$টাকা

                    $=১৬৭২$ টাক

উত্তর : $১৬৭২$ টাকা ।

** অনুরূপভাবে সমাধান করাঃ

একব্যক্তি ঋণদান সংস্থা থেকে বার্ষিক $১২\%$ চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় $৫০০০০$ টাকা ঋণ নিলেন।প্রতিবছর শেষে তিনি $২০০০০$ টাকা করে ঋণ পরিশোধ করেন ।কয়টি কিস্তিতে ঋণ পরিশোধ করতে পারবেন ? 

গাণিতিক সমস্যাঃ

রহমতচাচা একটি বাড়ি তৈরি করার জন্য বার্ষিক $12 \%$ সরল সুদের হারে $24,000$ টাকা ব্যাংক থেকে ধার নেন। ধার নেওয়ার এক বছর পর তিনি বাড়িটি পতি মাসে $5,200$ টাকায় ভাড়া দেন। ধার নেওয়ার কত বছর পরে তিনি বাড়ি ভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদ-সহ শোধ করবেন?

গাণিতিক প্রশ্নঃ

১. বার্ষিক $৫\%$ সরল সুদের হারে কত টাকায় মাসিক সুদ $১$ টাকা হবে?

২. বার্ষিক নির্দিষ্ট শতকরা চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা $১$ বছরে দ্বিগুণ হলে কত বছরে চারগুণ হবে?

গাণিতিক প্রশ্নঃ

কোনো মূলধনের বার্ষিক $৫\%$ হারে $১$ বছর $৯$ মাসে যে সুদ হয় বার্ষিক $৪\dfrac{১}{২}\%$ হারে $২$ বছর $৪$ মাসে তদাপেক্ষা $৬৩$ টাকা বেশি সুদ হয়। মূলধনের পরিমাণ নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

 A বার্ষিক $৬\%$ হার সরল সুদে B এর কাছ থেকে $৯৬০$ টাকা ধার নিল এই শর্তে যে, চার কিস্তিতে ঋণ পরিশোধ করবে। প্রথম তিন কিস্তির প্রত্যেকটিতে কেবল আসলের $\dfrac{১}{৪}$ অংশ করে দেবে এবং শেষ কিস্তিতে সুদসহ অবশিষ্ট টাকা দিবে।চতুর্থ বছরের শেষে B কত টাকা পাবে?

গাণিতিক সমস্যাঃ

কিছু পরিমাণ অর্থ নির্দিষ্ট হার সুদে $২$ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে $৪০০$ টাকা ও $৪২০$ টাকা হলে সুদের হার ও আসল নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যাঃ

কোন মূলধনের $২$ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে $৮৪০০$ টাকা ও $৮৬৫২$ টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার কত ?

গাণিতিক সমস্যাঃ

বলরামপুরের বর্তমান জনসংখ্যা $১৪৫৮$ জন। প্রতি বছর বিগত বছরের তুলনায় $১০\%$ জনসংখ্যা হ্রাস পায়, তবে $৩$ বছর পূর্বে বলরাম পুরের জন সংখ্যা কত ছিল?

গানিতিক সমস্যা

 বার্ষিক $৫\%$ হার সুদে কত টাকার $২$ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ$২৪৯৬$ টাকা হবে?

 সৃজনশীল প্রশ্ন-১: 

 রড্রিক গোমেজ $৩$ বছরের জন্য $১০০০০$ টাকা এবং $৪$ বছরের জন্য $১৫০০০$ টাকা ব্যাংক থেকে ঋণ নিয়ে মোট $৯৯০০$ টাকা মুনাফা দেন ।

 (ক) প্রথম ক্ষেত্রে মুনাফার হার $১২\%$ হলে মুনাফা বের কর ।

 (খ) উভয়ক্ষেত্রে মুনাফার হার সমান হলে মুনাফার হার বের কর ।

 (গ) ২য় ক্ষেত্রে মুনাফার হার শতকরা $১২$ টাকা হলে প্রথমক্ষেত্রে মুনাফার হার বের কর ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

একটি দ্রব্যের খুচরা বিক্রয়মূল্য $৩০০৩০$ টাকা ।দ্রব্যটি উৎপাদনকারী $৪\%$ ,পাইকারি বিক্রেতা $৫\%$ এবং খুচরা বিক্রেতা $১০\%$ লাভে বিক্রয় করে।

(ক) খুচরা বিক্রেতা তালিকায় লিখিত মূল্যের উপর $১০\%$ কমিশন দিলে তালিকা মূল্য নির্ণয় কর ।

(খ)পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য নির্ণয় কর ।

(গ)উৎপাদন খরচ অপেক্ষা খুচরা মূল্য শতকরা কত বেশি?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

এক ব্যক্তি $৮\%$ হার মুনাফায় $৭৫০$ টাকা এবং $৬\%$হার মুনাফায় $১২৫০$ টাকা বিনিয়োগ করলেন ।

(ক)বছর শেষে প্রথম ক্ষেত্রে মুনাফা কত হবে?

(খ) গড় মুনাফার হার নির্ণয় কর ।

(গ)গড় মুনাফার হারে কত বছরে কোন আসল মুনাফা আসলে চার গুণ হবে?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

এক ব্যক্তি ৩বছরের জন্য $৪০০০$টাকা এবং $৫$বছরের জন্য $১০৫০০$টাকা ঋণ নিয়ে মোট $১৬৮০$ টাকা মুনাফা দিলেন ।

(ক)অক্ষরের বর্ণনা সহ মুনাফা-আসল নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ ।

(খ)উভয় ক্ষেত্রে মুনাফার হার সমান হলে মুনাফার হার নির্ণয় কর ।

(গ)ঐ একই হার মুনাফায় কত টাকার ৪বছরে মুনাফা আসল $১৬০০০$টাকা হবে?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

একই হার মুনাফায় কোন আসল $৩$ বছরে মুনাফা আসলে $১৬৫০০$টাকা এবং ৭বছরে মুনাফা আসলে $২০৫০০$টাকা হয় ।

(ক)প্রথম ক্ষেত্রে মুনাফার হার $১০\%$ হলে আসল কত?

(খ) মুনাফার হার ও আসল নির্ণয় কর ।

(গ)২য় ক্ষেত্রে যে মুনাফা পাওয়া যায় প্রথম ক্ষেত্রে কত বছর বেশি হলে একই মুনাফা পাওয়া যেত?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

 মনোয়ারা বেগম তার পারিবারিক প্রয়োজনে $৮\%$ হারে $x$ টাকা এবং $১০\%$ হারে $y$ টাকা ঋণ নিল। সে দুই বছর শেষে মোট $৬০,০০০$ টাকা ঋণের $১০,০০০$ টাকা মুনাফা পরিশোধ করল।

(ক) সম্পূর্ণ ঋণের উপর $৬\%$ মুনাফা প্রযোজ্য হলে বার্ষিক মুনাফা কত?

(খ) $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) চক্রবৃদ্ধি মুনাফা প্রযোজ্য হলে তাকে কত টাকা বেশি পরিশোধ করতে হতো?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:

একব্যক্তি  হার মুনাফায় কিছু টাকা ব্যাংকে জমা রেখে $৩$ বছর পর মুনাফা –আসলে $৫৫০০$ টাকা ফেরত পেলেন ।

 (ক) দেখাও যে, $২$ বছর পর $p$ টাকার চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য $pr^২$  টাকা।

 (খ) তিনি কত টাকা ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন ?

 (গ) একই হার মুনাফায় ঐ টাকা চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় জমা রাখলে উক্ত সময়ে কত টাকা বেশি মুনাফা পেতেন ?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:

 কোন শহরের বর্তমান জনসংখ্যা $৮০$ লক্ষ। দুই বছর পর শহরটির জনসংখ্যা হবে $৮৪৮৭২০০$ জন।

(ক) জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষেত্রে ব্যবহৃৎ সুত্রটি লিখ।  

(খ) জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে কত জন নির্ণয় কর ।          

(গ) তিন বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কতজন বৃদ্ধি পাবে?

সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:

একই হার মুনাফায় কোনো আসল ৪ বছরে মুনাফা আসলে $৬০০০$ টাকা এবং $৬$ বছরে মুনাফা আসলে $৬৫০০$ টাকা হয়।

(ক) ৩ বছরে মুনাফা কত হবে?

(খ) আসল ও মুনাফার হার নির্ণয় কর।

(গ) ২ বছরে সরল মুনাফা চক্রবৃদ্ধি মুনাফার কত গুণ হবে?

   সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:

একব্যক্তি $২$ বছরের জন্য $p$ টাকা বিনিয়োগ করে ।যার বার্ষিক মুনাফার হার $=r$

সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার  ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল যথাক্রমে $A$  এবং $C$ টাকা নিম্নোক্ত প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

(ক) $C$ এর মান কত টাকা হবে?                           

(খ) সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত টাকা ?                                                                       

(গ) $C$ ও $A$ এর পার্থক্য $৬.৫$ টাকা এবং $r=১০\%$ হলে $p$ এর মান কত টাকা?                                 

গাণিতিক প্রশ্ন-১:

একই হার মুনাফায় কোন আসল $৩$ বছরে মুনাফা আসলে $\dfrac{৩}{২}$ গুণ হলে কত বছরে তা মুনাফা আসলে $৪$ গুণ হবে?

গাণিতিক প্রশ্ন-২:

কোন আসল $৪$ বছরে মুনাফা আসলে $৫২০০$ টাকা এবং $৭$ বছরে একই হার মুনাফায় তা মুনাফা আসলে $৬৭০০$ টাকা হলে মুনাফার হার ও আসল নির্ণয় কর ।

গাণিতিক প্রশ্ন-৩:

কোন আসল $৩$ বছরে মুনাফা আসলে $৬৫০০$ টাকা হয়। মুনাফা আসলের $\dfrac{৫}{৮}$ অংশ হলে আসল ও মুনাফার হার নির্ণয় কর।

গাণিতিক প্রশ্ন-৪:

দেখাও যে, $১$ বছর পর সরল মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমুল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল সমান।

অথবা, দেখাও যে , $১$ বছর পর নির্দিষ্ট মুলধনের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সমান।

সমাধান:

আমরা জানি,

সরল  মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমুল, $A=P(১+nr)$

চক্রবৃদ্ধিমুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমুল,$C=P(১+r)^n$

$n=১$ বছর হলে , $A=P(১+r)$  এবং সরল মুনাফা, $I=A-P=P+Pr-P=Pr$

$n=১$ বছর হলে , $C=P(১+r)$ এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা $=C-P=P+Pr-P=Pr$

সরল মুনাফা $=$ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা

গাণিতিক প্রশ্ন-৫:

$৩৫০$ টাকার $১০\%$ হার মুনাফায় প্রথম দু’বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:

এখানে , $p=৩৫০$ টাকা ,$r=১০\%=০.১$

প্রথম বছর শেষে সবৃদ্ধিমূল $C=p(১+r)=৩৫০(১+০.১)=৩৮৫$  টাকা $=২$য় বছরের জন্য আসল

প্রথম  বছর শেষে মুনাফা $=৩৮৫-৩৫০=৩৫$ টাকা 

২য় বছরের সবৃদ্ধিমূল $=৩৮৫(১+০.১)=৪২৩.৫$ টাকা 

২য় বছরের শেষে  মুনাফা $=৪২৩.৫-৩৮৫=৩৮.৫$ টাকা

মুনাফাদ্বয়ের পার্থক্য $=৩৮.৫-৩৫=৩.৫$ টাকা

গাণিতিক প্রশ্ন-৬:

কোন আসল একই হার মুনাফায় ২$ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধিমূল $২২০৫০০$ টাকা এবং $৩$ বছরান্তে চক্রবৃদ্ধিমূলধন $২৩১৫২৫$ টাকা হলে $৪$ বছর শেষে সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।

গাণিতিক প্রশ্ন-৭:

বার্ষিক সুদ আসলের $\dfrac{১}{১৬}$ অংশ। আট মাসে $৬৯০$ টাকার সুদ কত?

       বহুনির্বাচনী প্রশ্ন 

১.$x$ টাকার $x\%$ হার মুনাফায় $x$ বছরে মুনাফা $x$ টাকা হলে $x$ এর মান কত?

(ক) $১০০$   (খ) $৬০$   (গ) $৪০$   (ঘ) $১০$

২. $২৫৫০০$ টাকার $১২\%=$ কত টাকা?

  (ক) $৩০৬$                 (খ) $৩০০৬$            (গ) $৩০৬০$            (ঘ) $৩৬০০$

৩.ক্রয়মূল্য $১০০০$ টাকা হলে $১২\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য কত টাকা  হবে ?

  (ক) $৮.৮০$                 (খ) $৮৮০$               (গ) $৮৮$                 (ঘ) $৯৮৮$

৪. $৫\%$ কে অনুপাতে প্রকাশ করলে-

  (ক) $১:৫$                   (খ) $২০:১$               (গ) $১:২০$                (ঘ) $১:২৫$

৫. ক্রয়মূল্য: বিক্রয়মূল্য $=৫:৭$ হলে –

  (ক) $৪০\%$ লাভ        (খ) $৪০\%$ ক্ষতি       (গ) $৫০\%$ লাভ         (ঘ) $৫০\%$ ক্ষতি 

৬. $৩৯$ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৬৫% ?

  (ক) $১০০$                (খ) $৬৫$                   (গ) $৬০$             (ঘ) $৩৯$ 

৭.নিচের বাক্যগুলো লক্ষ্য কর-

$i.$ লাভ $=$ ক্রয়মূল্য-বিক্রয়মূল্য 

$ii.$ ক্ষতি $=$ বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য

$iii.$ লাভ বা ক্ষতি ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা হয়।

কোনটি সঠিক?

(ক) $i$    (খ) $ii$      (গ) $iii$     (ঘ) $i  ,ii,iii$

নিচের ছকটির সাহায্যে $৮-১০$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

ক্রয়মূল্য(টাকা)	বিক্রয়মূল্য(টাকা)	লাভ বা ক্ষতি(টাকা)	লাভ বা ক্ষতির হার
$৬০০$	$৬৬০$
	$৫৫২$		ক্ষতি $৮$
		লাভ $৬৪$	লাভ $৮$

৮.প্রথম সারির ফাঁকা ঘর দুটির মান কত?

(ক) $৬০,৮$   (খ) $৬০,১০$    (গ) $৬৪,৮$     (ঘ) $৬৪,১০$

৯.২য় সারির ফাঁকা ঘর দুটির মান কত?

(ক) $৬০০,৪৮$    (খ) $৬০০,৩৮$   (গ) $৬৫০,৪৮$   (ঘ) $৫৫০,৩৮$

১০. ৩য় সারির ফাঁকা ঘর দুটির মান কত?

(ক)$৮৬৪,৮০০$   (খ) $৮০০,৮৬৪$   (গ)$৮৬০,৮০০$  (ঘ)$৮০০,৮৬০$

১১. $২x$ টাকার $২x\%$ হার মুনাফায় ২x বছরে মুনাফা $২x$ টাকা হলে $x$ এর মান কত?

 (ক)$৬০$  (খ)$৪০$   (গ)$১০$   (ঘ)$৫$

১২. $৬x$ টাকার $x\%$ হার মুনাফায় $২x$ বছরের মুনাফা $৩x$ টাকা হলে $x$ এর মান কত?

(ক)$৬০$  (খ)$৪০$   (গ)$১০$   (ঘ)$৫$

 বহুনির্বাচনী প্রশ্নের উত্তর 

১.(ঘ)  ২.(গ)  ৩.(খ)  ৪.(গ)  ৫.(ক)  ৬.(গ)  ৭.(গ)  ৮.(খ) ৯.(ক)  ১০.(খ) ১১.(ঘ) ১২.(ঘ)