mathematics, statistics,information and data
উপস্থাপনের ভিত্তিতে উপাত্ত দুই প্রকার ।যথা:
(ক) অবিন্যস্ত উপাত্ত
(খ) বিন্যস্ত উপাত্ত
বিন্যস্ত উপাত্ত দুইভাবে থাকতে পারে। যেমন:মানের ক্রমানুসারে সাজানো এবং সারণিবদ্ধভাবে সাজানো (গণসংখ্যা নিবেশন সারণি)।
অবিন্যস্ত উপাত্তের গড় তিনভাবে নির্ণয় করা যায়।যথা:
(১) সরাসরি গড়(গাণিতিক গড়)
(২) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড়
(৩)গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে রুপান্তরিত করে উপরোক্ত দুই পদ্ধতির যেকোন একটির সাহায্যে।
নিচের অবিন্যস্ত উপাত্তগুলো থেকে উপরোক্ত তিনটি পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর :
$72,85,78,84,78,75,69,67,88,$$80,74,77,79,69,74,73,$$83,65,75,69,63,75,86,66,71$
প্রথম পদ্ধতিতে গড়:
উপাত্ত গুলোর যোগফল,$\sum x_i=72+85+78+84+78+75+69$$+67+88+80+74+77+79+69+74+73$$+83+65+75+69+63+75+86+66+71$
$=1875$
উপাত্ত সংখ্যা বা গণসংখ্যা,$n=\sum f_i=25$
গাণিতিক গড়,$\overline{x}=\dfrac{\sum x_{i}}{\sum f_{i}}$
$=\dfrac{1875}{25}$
$=75$
দ্বিতীয় পদ্ধতি (সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি):
ধরি, অনুমিত গড়,$a=80$
| উপাত্ত$(x_i)$ | $u_i=x_i-a$ | $\sum u_i$ |
|---|---|---|
| $72$ | $72-80=-8$ | $-8$ |
| $85$ | $85-80=5$ | $-8+5=-3$ |
| $78$ | $78-80=-2$ | $-3-2=-5$ |
| $84$ | $84-80=4$ | $-5+4=-1$ |
| $78$ | $78-80=-2$ | $-1-2=-3$ |
| $75$ | $75-80=-5$ | $-3-5=-8$ |
| $69$ | $69-80=-11$ | $-8-11=-19$ |
| $67$ | $67-80=-13$ | $-19-13=-32$ |
| $88$ | $88-80=8$ | $-32+8=-24$ |
| $80$ | $80-80=0$ | $-24+0=-24$ |
| $74$ | $74-80=-6$ | $-24-6=-30$ |
| $77$ | $77-80=-3$ | $-30-3=-33$ |
| $79$ | $79-80=-1$ | $-33-1=-34$ |
| $69$ | $69-80=-11$ | $-34-11=-45$ |
| $74$ | $74-80=-6$ | $-45-6=-51$ |
| $73$ | $73-80=-7$ | $-51-7=-58$ |
| $83$ | $83-80=3$ | $-58+3=-55$ |
| $65$ | $65-80=-15$ | $-55-15=-70$ |
| $75$ | $75-80=-5$ | $-70-5=-75$ |
| $69$ | $69-80=-11$ | $-75-11=-86$ |
| $63$ | $63-80=-17$ | $-86-17=-103$ |
| $75$ | $75-80=-5$ | $-103-5=-108$ |
| $86$ | $86-80=6$ | $-108+6=-102$ |
| $66$ | $66-80=-14$ | $-102-14=-116$ |
| $71$ | $71-80=-9$ | $-116-9=-125$ |
গড়,$\bar{x}=a+\dfrac{\sum u_i}{n}$
$=80+\dfrac{-125}{25}$
$=80-5$
$=75$
যা পূর্বের নিয়মে প্রাপ্ত গড়ের সমান।
মন্তব্যঃ $u_i=\dfrac{x_i-a}{h}$ হলে
গড়,$\bar{x}=a+\dfrac{\sum u_i}{n}\times h$ হতো। কিন্ত এখানে শ্রেণি ব্যবধান, $h=1$.
আবার গণসংখ্যা $f_i$ থাকলে গড়,$\bar{x}=a+\dfrac{\sum f_iu_i}{n}\times h$ হয়।কিন্ত এখানে $f_i=1$.
৩য় পদ্ধতি:(গণসংখ্যা নিবেশন সারণি)
এখানে সর্বোচ্চ উপাত্তের মান $=88$
সর্বোনিম্ন উপাত্তের মান $=63$
সুতরাং পরিসর $=(88-63)+1$
$=26$
শ্রেণিব্যবধান ,$h=5$
সুতরাং শ্রেণিসংখ্যা $=\dfrac{26}{5}=5.2≈6$ টি
| শ্রেণিব্যপ্তি | ট্যালি চিহ্ন | গণসংখ্যা$(f_i)$ | শ্রেণিমধ্যমান$(x_i)$ | $f_ix_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $60-64$ | $|$ | $1$ | $62$ | $62$ |
| $65-69$ | $\cancel{||||}|$ | $6$ | $67$ | $402$ |
| $70-74$ | $\cancel{||||}$ | $5$ | $72$ | $360$ |
| $75-79$ | $\cancel{||||}||$ | $7$ | $77$ | $539$ |
| $80-84$ | $|||$ | $3$ | $82$ | $246$ |
| $85-89$ | $|||$ | $3$ | $87$ | $261$ |
| $n=25$ | $\sum f_ix_i=1870$ |
গড়,$\bar{x}=\dfrac{Σf_i x_i}{n}$
$=\dfrac{1870}{25}$
$=74.8$
মন্তব্য: সরাসরি বা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত গড়ের সাথে সারণি থেকে প্রাপ্ত গড়ের পার্থক্য $=75-74.8=0.2$
গণসংখ্যা নিবেশন সারণি থেকেও সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা যায়।
এজন্য সারণি নিম্নরূপ:
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা$(f_i)$ | শ্রেণিমধ্যমান$(x_i)$ | $u_i=\dfrac{x_i-a}{h}$ | $f_iu_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $60-64$ | $1$ | $62$ | $-2$ | $-2$ |
| $65-69$ | $6$ | $67$ | $-1$ | $-6$ |
| $70-74$ | $5$ | $72\leftarrow a$ | $0$ | $0$ |
| $75-79$ | $7$ | $77$ | $1$ | $7$ |
| $80-84$ | $3$ | $82$ | $2$ | $6$ |
| $85-89$ | $3$ | $87$ | $3$ | $9$ |
| $n=25$ | $\sum f_iu_i$$=14$ |
$=72+\dfrac{14}{25}\times 5$
$=74.8$
বিকল্প পদ্ধতিঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা$(f_i)$ | শ্রেণিমধ্যমান$(x_i)$ | $u_i=x_i-a$ | $f_iu_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $60-64$ | $1$ | $62$ | $-10$ | $-10$ |
| $65-69$ | $6$ | $67$ | $-5$ | $-30$ |
| $70-74$ | $5$ | $72\leftarrow a$ | $0$ | $0$ |
| $75-79$ | $7$ | $77$ | $5$ | $35$ |
| $80-84$ | $3$ | $82$ | $10$ | $30$ |
| $85-89$ | $3$ | $87$ | $15$ | $45$ |
| $n=25$ | $\sum f_iu_i$$=70$ |
প্রকৃত গড়,$\bar{x}=a+\dfrac{\sum f_iu_i}{n}$
$=72+\dfrac{70}{25}$
$=74.8$
অনুরূপভাবে,
$51,56,67,75,74,69,75,79,70,80,68,81,53,54,$$75,58,61,76,71,68$
উপাত্তগুলোর বিভিন্নভাবে গড় নির্ণয় করে তুলনা কর।
**একটি গ্রামে ৩০টি পরিবারের জরিপ:
| সদস্য সংখ্যা | $\;\;\;2\;\;\;$ | $\;\;\;3\;\;\;$ | $\;\;\;4\;\;\;$ | $\;\;\;5\;\;\;$ | $\;\;\;6\;\;\;$ |
|---|---|---|---|---|---|
| পরিবারের সংখ্যা | $\;\;\;8\;\;\;$ | $\;\;\;6\;\;\;$ | $\;\;\;8\;\;\;$ | $\;\;\;6\;\;\;$ | $\;\;\;2\;\;\;$ |
সমাধানঃ
১ম পদ্ধতিঃ
| সদস্য সংখ্যা$(x_i)$ | পরিবারের সংখ্যা$(f_i)$ | $f_ix_i$ |
|---|---|---|
| $2$ | $8$ | $16$ |
| $3$ | $6$ | $18$ |
| $4$ | $8$ | $32$ |
| $5$ | $6$ | $30$ |
| $6$ | $2$ | $12$ |
| $n=30$ | $\sum f_ix_i=108$ |
গড়,$\bar{x}=\dfrac{\sum f_ix_i}{n}$
$=\dfrac{108}{30}$
$=3.6$ $(Ans.)$
| সদস্য সংখ্যা$(x_i)$ | পরিবারের সংখ্যা$(f_i)$ | $u_i=x_i-a$ | $f_iu_i$ |
|---|---|---|---|
| $2$ | $8$ | $-2$ | $-16$ |
| $3$ | $6$ | $-1$ | $-6$ |
| $4\leftarrow a$ | $8$ | $0$ | $0$ |
| $5$ | $6$ | $1$ | $6$ |
| $6$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $n=30$ | $\sum f_iu_i=-12$ |
$=4+\dfrac{-12}{30}$
$=4-0.4$
$=3.6$ $(Ans.)$
** কোন একটি অফিসে ২৫ জন চাকুরিজীবীর উপর জরিপ চালিয়ে দেখা গেল-
| শার্টের সংখ্যা(উপাত্ত) | $\;\;\;3\;\;\;$ | $\;\;\;4\;\;\;$ | $\;\;\;5\;\;\;$ | $\;\;\;6\;\;\;$ | $\;\;\;7\;\;\;$ |
|---|---|---|---|---|---|
| চাকুরীজীবীর সংখ্যা | $\;\;\;4\;\;\;$ | $\;\;\;10\;\;\;$ | $\;\;\;4\;\;\;$ | $\;\;\;4\;\;\;$ | $\;\;\;3\;\;\;$ |
মধ্যক বা মধ্যমা:
অবিন্যস্ত উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর বিজোড়সংখ্যক উপাত্তের ক্ষেত্রে মধ্যমানকে মধ্যক এবং জোড়সংখ্যক উপাত্তের ক্ষেত্রে মধ্যমান দুটির গড় মানকে মধ্যক বলে ।
যেমন: $3,6,2,7,5$ অবিন্যস্ত উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজাই
$2,3,5,6,7$
এখানে মধ্যমান $5$
সুতরাং মধ্যক বা মধ্যমা $=5$
আবার, $5,6,2,8,7,4$ অবিন্যস্ত উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রমে সাজাই
$2,4,5,6,7,8$
এখানে জোড়সংখ্যক উপাত্তের মধ্যমান দুটি যথাক্রমে $5$ এবং $6$,
সুতরাং মধ্যক বা মধ্যমা$= \dfrac{5+6}{2}$
$=\dfrac{11}{2}$
$=5.5$
সূত্র:
১. $n$ সংখ্যক অবিন্যস্ত উপাত্তসমূকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর
মধ্যক বা মধ্যমা $=\dfrac{n+1}{2}$ তম পদ (যখন $n$ বিজোড়)
$=\dfrac{\dfrac{n}{2} তম পদ+\left(\dfrac{n}{2}+1\right)তম পদ}{2}$ (যখন $n$ জোড়)
মন্তব্য: শ্রেণি ব্যবধান নেই এমন সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয়ে উপরোক্ত সূত্র প্রযোজ্য ।
২. শ্রেণি ব্যবধানযুক্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণি থেকে
মধ্যক$=L+\left(\dfrac{n}{2}- F_c \right)⨯\dfrac{h}{f_m}$
এখানে, $L=$ মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা
$F_c=$ মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা
$ h=$ শ্রেণি ব্যবধান
$f_m=$ মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা
শ্রেণি ব্যবধান নেই এমন সারণি:
| দৈনিক আয় (টাকায়) | $2210$ | $2215$ | $2220$ | $2225$ | $2230$ | $2235$ | $2240$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শ্রমিক সংখ্যা | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $6$ | $5$ | $4$ |
সমাধানঃ
মধ্যক নির্ণয়ের জন্য সারণি নিম্নরূপঃ
| দৈনিক আয় (টাকায়) | $2210$ | $2215$ | $2220$ | $2225$ | $2230$ | $2235$ | $2240$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শ্রমিক সংখ্যা | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $6$ | $5$ | $4$ |
| যােজিত শ্রমিক সংখ্যা | $2$ | $5$ | $10$ | $17$ | $23$ | $28$ | $32$ |
এখানে $n=32$ যা জোড়সংখ্যা
সুতরাং মধ্যক $=\dfrac{\dfrac{n}{2} তম পদ+\left(\dfrac{n}{2}+1\right)তম পদ}{2}$
$=\dfrac{\dfrac{32}{2} তম পদ+\left(\dfrac{32}{2}+1\right)তম পদ}{2}$
$=\dfrac{16 তম পদ+17 তম পদ}{2}$
$=\dfrac{2225+2225}{2}$
$=\dfrac{4450}{2}$
$=2225$ টাকা।
অনুরূপভাবে সমাধান করঃ
| ওজন (কেজি) | $\;\;45\;\;$ | $\;\;50\;\;$ | $\;\;55\;\;$ | $\;\;60\;\;$ | $\;\;65\;\;$ | $\;\;70\;\;$ | $\;\;75\;\;$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | $\;\;2\;\;$ | $\;\;6\;\;$ | $\;\;8\;\;$ | $\;\;16\;\;$ | $\;\;12\;\;$ | $\;\;6\;\;$ | $\;\;4\;\;$ |
শ্রেণি ব্যবধানযুক্ত সারণি
| বয়স(বছর) | $1-2$ | $3-4$ | $5-6$ | $7-8$ | $9-10$ | $11-12$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | $25$ | $27$ | $28$ | $31$ | $29$ | $28$ |
| বয়স(বছর) | $1-2$ | $3-4$ | $5-6$ | $7-8$ | $9-10$ | $11-12$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | $25$ | $27$ | $28$ | $31$ | $29$ | $28$ |
| যােজিত গণসংখ্যা | $25$ | $52$ | $80$ | $111$ | $140$ | $168$ |
মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা,$F_c=80$
মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা ,$f_m=31$
শ্রেণিব্যবধান, $h=2$
মধ্যক$=L+\left(\dfrac{n}{2}- F_c \right)⨯\dfrac{h}{f_m}$
$=7+\left(\dfrac{168}{2}- 80 \right)⨯\dfrac{2}{31}$
$=7+\left(84- 80\right)⨯\dfrac{2}{31}$
$=7+4\times \dfrac{2}{31}$
$=7+\dfrac{8}{31}$
$=\dfrac{217+8}{31}$
$=\dfrac{225}{31}$
$\approx 7.26$ বছর। $(Ans.)$
প্রচুরক:
একগুচ্ছ উপাত্তের মধ্যে সর্বাধিকবার উপস্থিত উপাত্তকে প্রচুরক বলে ।প্রচুরক অনন্য নাও হতে পারে ।অর্থাৎ একাধিক উপাত্ত প্রচুরক হতে পারে ।
যেমন: $7,5,4,3,8,9,4,6,3,7,5,4,7,8$
এখানে $4$ এবং $7$ সর্বাধিক তিনবার উপস্থিত ।
সুতরাং প্রচুরক $4$ এবং $7$,
নিচের সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয় করঃ
| প্রাপ্ত নম্বর | $45\;$ | $50\;$ | $60\;$ | $65\;$ | $70\;$ | $80\;$ | $85\;$ | $90\;$ | $100\;$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | $5\;$ | $8\;$ | $10\;$ | $13\;$ | $17\;$ | $11\;$ | $7\;$ | $4\;$ | $2\;$ |
সমাধানঃ
এখানে সর্বাধিক গণসংখ্যা $17$ এবং এদের প্রাপ্ত নম্বর $70$.
অতএব প্রচুরক $17$.
সূত্র:
শ্রেণি ব্যবধানযুক্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সূত্র হলো-
প্রচুরক $=L+\dfrac{f_1}{ f_1 +f_2}⨯h$
$f_1 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$f_2=$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$L=$ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা
নিচের সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর:
| মাসিক মজুরি (শত টাকায়) | গণ সংখ্যা |
|---|---|
| $51-55$ | $6$ |
| $56-60$ | $20$ |
| $61-65$ | $30$ |
| $66-70$ | $15$ |
| $71-75$ | $11$ |
| $76-80$ | $8$ |
| $81-85$ | $6$ |
| $86-90$ | $4$ |
এখানে সর্বাধিক গণসংখ্যা $30$ যা $61-65$ শ্রেণিতে বিদ্যমান ।
সুতরাং $61-65$ প্রচুরক শ্রেণি যার
নিম্নসীমা, $L=61$
$f_1=$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$=30-20$
$=10$
$f_2 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা-পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$=30-15$
$=15$
$h=$ শ্রেণিব্যবধান
$=5$
প্রচুরক $=L+\dfrac{f_1}{f_1 +f_2 }⨯h$
$=61+\dfrac{10}{10+15}⨯5$
$=61+\dfrac{50}{25}$
$=61+2$
$=63$ $(Ans.)$
পাই চিত্র (pie chart):
পরিসংখ্যানের উপাত্ত যে বৃত্তাকার চিত্রে(পাই ফালি আকারে) প্রকাশ করা হয় তাকে পাই চিত্র বলে।
চিত্র- পাই ফালি (pie slice)
গণসংখ্যাকে পাই চিত্রে প্রকাশ করা যায় এবং পাই চিত্র হতে গণসংখ্যা নির্ণয় করে সারণি তৈরি করা যায় ।
সারণি থেকে পাই চিত্র:
নিচের সারণির শ্রেণিব্যপ্তি গুলোকে পাই চিত্রে প্রকাশ কর:
| বয়স (বছর) | $11-20$ | $21-30$ | $31-40$ | $41-50$ | $51-60$ |
|---|---|---|---|---|---|
| গণ সংখ্যা | $6$ | $12$ | $9$ | $6$ | $3$ |
মোট গণসংখ্যা $=6+12+9+6+3=36$
বৃত্তের কেন্দ্রে $36$ জনের জন্য কোণ $360^০$
$∴$ বৃত্তের কেন্দ্রে $1$ জনের জন্য কোণ $\dfrac{360^০}{36}=6^০$
$11-20$ ব্যবধির জন্য বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $6⨯10^০=60^০$
$21-30$ ব্যবধির জন্য বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $12⨯10^০=120^০$
$31-40$ ব্যবধির জন্য বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $9⨯10^০=90^০$
$41-50$ ব্যবধির জন্য বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $6⨯10^০=60^০$
$51-60$ ব্যবধির জন্য বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $3⨯10^০=30^০$
শ্রেণিব্যবধি গুলো পাই চিত্রে দেখানো হলো:
| শ্রেণি ব্যপ্তি | $51-60$ | $61-70$ | $71-80$ | $81-90$ | $91-100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| গণ সংখ্যা | $7$ | $9$ | $8$ | $4$ | $2$ |
১২০ জনের পাইচিত্র নিম্নরুপ-
পাইচিত্র হতে -
(ক) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।
(খ) সারণি হতে গড় নির্ণয় কর।
(গ) সারণি হতে মধ্যক নির্ণয় কর।
(ঘ) সারণি হতে আয়তলেখ অঙ্কন কর।
(ঙ) গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন কর।
(চ) অজিভ রেখা অঙ্কন কর।
(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
$360^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $120$ জন
সুতরাং $1^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{120}{360}$ জন বা $\dfrac{1}{3}$ জন
$90^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{1}{3}⨯90=30$ জন
$60^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{1}{3}⨯60=20$ জন
$120^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{1}{3}⨯1 20=40$ জন
$60^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{1}{3}⨯60=20$ জন
$30^০$ এর জন্য গণসংখ্যা $\dfrac{1}{3}⨯30=10$ জন
| শ্রেণিব্যপ্তি | $1-5$ | $6-10$ | $11-15$ | $16-20$ | $21-25$ |
|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | $20$ | $30$ | $40$ | $20$ | $10$ |
উপরের নিয়মে সমাধান নিজে কর।
(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ
উপরের নিয়মে সমাধান নিজে কর।
(ঘ)নং প্রশ্নের সমাধানঃ
আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য সারণি নিম্নরূপঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা | অবিছিন্ন শ্রেণিসীম |
|---|---|---|
| $1-5$ | $20$ | $0.5-5.5$ |
| $6-10$ | $30$ | $5.5-10.5$ |
| $11-15$ | $40$ | $10.5-15.5$ |
| $16-20$ | $20$ | $15.5-20.5$ |
| $21-25$ | $10$ | $20.5-25.5$ |
অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $2$ একক ধরে ছকের মানগুলো বসিয়ে আয়তলেখ অঙ্কন করি।
গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন (১ম পদ্ধতি):
আয়তলেখ এর শুরু এবং শেষ ভূমি বিন্দুর সাথে আয়তের শীর্ষের মধ্যবিন্দু সমূহের সংযোগ সরলরেখা সমূহ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রই গণসংখ্যা বহুভূজ ।
গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন (২য় পদ্ধতি):
শ্রেণিমধ্য বিন্দুকে $OX$ অক্ষ বরাবর এবং গণসংখ্যাকে $OY$ অক্ষ বরাবর স্থাপন করে গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন করা যায়।
এজন্য সারণি নিম্নরূপঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা | শ্রেণিমধ্যবিন্দু |
|---|---|---|
| $1-5$ | $20$ | $3$ |
| $6-10$ | $30$ | $8$ |
| $11-15$ | $40$ | $13$ |
| $16-20$ | $20$ | $18$ |
| $21-25$ | $10$ | $23$ |
সারণি অনুুসারে গণসংখ্যা বহুভূজ নিম্নরূপঃ
$OX$ এবং $OY$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $2$ একক ধরে গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন করা হয়েছে।
অজিভ রেখা অঙ্কন
ছক কাগজে আনুভূমিক অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $0.5$ একক ধরে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা এবং উল্লম্ব অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $3$ একক ধরে ক্রমযােজিত গণসংখ্যা বসিয়ে অজিভ রেখা অঙ্কন করিঃ
আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য সারণি নিম্নরূপঃ
সারণির আয়তলেখ নিম্নরূপঃ
শ্রেণিমধ্যমান ব্যবহার করে গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন করা হলোঃ
অজিভ রেখা অঙ্কন
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা | অবিছিন্ন শ্রেণিসীম |
|---|---|---|
| $1-5$ | $20$ | $0-5$ |
| $6-10$ | $30$ | $5-10$ |
| $11-15$ | $40$ | $10-15$ |
| $16-20$ | $20$ | $15-20$ |
| $21-25$ | $10$ | $20-25$ |
অনুরূপভাবে নিচের সারণি হতে আয়তলেখ ,গণসংখ্যা বহুভূজ ও অজিভ রেখা অঙ্কন করঃ
| প্রাপ্ত নম্বর | $1-10$ | $11-20$ | $21-30$ | $31-40$ | $41-50$ |
|---|---|---|---|---|---|
| গণ সংখ্যা | $8$ | $12$ | $15$ | $18$ | $7$ |
নিচের সারণি হতে আয়তলেখ ,গণসংখ্যা বহুভূজ ও অজিভ রেখা অঙ্কন করঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা |
|---|---|
| $45-49$ | $4$ |
| $50-54$ | $8$ |
| $55-59$ | $10$ |
| $60-64$ | $20$ |
| $65-69$ | $12$ |
| $70-74$ | $6$ |
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা |
|---|---|
| $44.5-49.5$ | $4$ |
| $49.5-54.5$ | $8$ |
| $54.5-59.5$ | $10$ |
| $69.5-64.5$ | $20$ |
| $64.5-69.5$ | $12$ |
| $69.5-74.5$ | $6$ |
আয়তলেখ হতে গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কন করা হলোঃ
শ্রেণিমধ্যমান হতে গণসংখ্যা বহুভূজ অঙ্কনের জন্য সারণি নিম্নরূপঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা | শ্রেণিমধ্যবিন্দু |
|---|---|---|
| $45-49$ | $4$ | $47$ |
| $50-54$ | $8$ | $52$ |
| $55-59$ | $10$ | $57$ |
| $60-64$ | $20$ | $62$ |
| $65-69$ | $12$ | $67$ |
| $70-74$ | $6$ | $72$ |
অজিভ রেখা অঙ্কনের জন্য সারণি নিম্নরূপঃ
| শ্রেণিব্যপ্তি | গণসংখ্যা | অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা |
|---|---|---|
| $45-49$ | $4$ | $44-49$ |
| $50-54$ | $8$ | $49-54$ |
| $55-59$ | $10$ | $54-59$ |
| $60-64$ | $20$ | $59-64$ |
| $65-69$ | $12$ | $64-69$ |
| $70-74$ | $6$ | $69-74$ |
অনুরূপভাবে নিচের সারণি হতে আয়তলেখ ,গণসংখ্যা বহুভূজ ও অজিভ রেখা অঙ্কন করঃ
| শ্রেণি ব্যপ্তি | $51-60$ | $61-70$ | $71-80$ | $81-90$ | $91-100$ |
|---|---|---|---|---|---|
| গণ সংখ্যা | $\;\;5$ | $\;\;8$ | $\;\;12$ | $\;\;6$ | $\;\;4$ |
গাণিতিক সমস্যাঃ
$8,12,17,16,20,12,15,23$ সংখ্যাগুলোর মধ্যক ও প্রচুরক কত?
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
কোন স্কুলের অষ্টম শ্রেণীর ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরুপ:
$40,49,73,40,83,49,7,91,37,7,40,91,31,73,7,$$49,62,73,62,40,83,49,49,31,40,62,73,49,71,$$7,62,73,62,40,83,49,49,31,40,62,73,49,31,$$19,62,49,83,91,31,40$
(ক) শ্রেণি ব্যবধান $10$ ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।
(খ) সারণি হতে গড় নির্ণয় কর ।
(গ) সারণি হতে আয়তলেখ অঙ্কন কর।
অথবা,
(ক) উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর ।
(খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর ।
(গ) শ্রেণী ব্যবধান $20$ ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করে শ্রেণী ব্যপ্তির পাইচিত্র আঁক ।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
কোন শ্রেণির $30$ জন ছাত্রের চাদা (টাকায় ) নিচে দেওয়া হলঃ
$32,30,54,45,78,74,108,112,66,76,40,88,20,$$14,15,35,44,66,75,95,84,96,102,110,88,$$74,112,34,14,44.$
(ক) শ্রেণি ব্যপ্তি ১০ ধরে শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয় কর।
(খ)সারণি তৈরি করে গড় নির্ণয় কর ।
(গ) সারণির শ্রেণিব্যাপ্তি গুলো পাইচিত্রে দেখাও।
সৃজনশীল প্রশ্নঃ
কোন একটি সমস্যা সমাধানে $20$ জন শিক্ষার্থীর প্রয়োজনীয় সময় (সেকেন্ড এককে) দেওয়া হলো :
$22,20,30,45,36,35,37,40,43,40,43,44,46,$$45,48,60,43,55,50,45$
(ক) উপাত্তগুলোকে মানের উর্দ্ধক্রমে সাজাও ।
(খ) মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর ।
(গ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।
Comments
Post a Comment