mathematics , trigonometry

                General Mathematics

1. If $\cot \theta+\cos \theta=a $ and $\cot \theta-\cos \theta=b $ , prove that $\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta=\dfrac{4 a b}{a^{2}-b^{2}}$

2. $\operatorname{cosec} \theta=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$ show that $ \dfrac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec \theta+\tan \theta}=\dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}$

3.If $\dfrac{1+\cot \theta}{1+\tan \theta}=\sqrt{3}$ , find $\cos 2\theta=$ ?

4. Prove that $1-\sin \theta=(1+\sin \theta)(\sec \theta-\tan \theta)^{2}$

$\large{\textbf{Solution}}:$

L.H.S.$=1-\sin\theta$

$~=\dfrac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}×(1+\sinθ)$

$~=\dfrac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta} \times \dfrac{1-\sin \theta}{1-\sin \theta} ×(1+\sinθ)$

$~=\dfrac{(1-\sin \theta)^2}{1-\sin ^2 \theta}×(1+\sinθ)$

$~=\left(\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2×(1+\sinθ)$

$~=\left(\dfrac{1}{\cos \theta}-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2×(1+\sinθ)$

$~=(\sec \theta-\tan \theta)^2×(1+\sinθ)=$R.H.S.

5. Prove that $\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}=\dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

$\large{\textbf{Solution}}:$

L.H.S.$=\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$

$=\dfrac{\sec \theta+1+\tan \theta}{\sec \theta+1-\tan \theta}$ [ divide by $\cos\theta$ ]

$=\dfrac{\sec \theta+\tan \theta+\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)}{\sec \theta+1-\tan \theta}$

$=\dfrac{(\sec \theta+\tan \theta)(1+\sec \theta-\tan \theta)}{\sec \theta+1-\tan \theta}$

$=\sec \theta+\tan \theta$

$=\dfrac{1}{\cos \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$=\dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$

$=\dfrac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$

$=\dfrac{1-\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$

$=\dfrac{\cos ^{2} \theta}{\cos \theta(1-\sin \theta)}$

$=\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$

Alternating method:

L.H.S.$=\dfrac{1+\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta}$

$=\dfrac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}}{\{(1+\cos \theta)-\sin \theta\}\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}} $

$=\dfrac{\{(1+\cos \theta)+\sin \theta\}^2}{\left\{(1+\cos \theta)^2-\sin ^2 \theta\right\}} $

$=\dfrac{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta+\sin ^2 \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta-\sin ^2 \theta} $

$=\dfrac{2+2 \cos \theta+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{1+\cos ^2 \theta+2 \cos \theta-\left(1-\cos ^2 \theta\right)} $

$=\dfrac{2(1+\cos \theta)+2 \sin \theta(1+\cos \theta)}{2 \cos ^2 \theta+2 \cos \theta} $

$=\dfrac{2(1+\cos \theta)(1+\sin \theta)}{2 \cos \theta(1+\cos \theta)} $

$=\dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta} $

=R.H.S.

6. If$(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)(\sec \theta-\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)-\tan \theta=0,$

find the value of $\dfrac{2 \cos \theta+\sin \theta}{5 \cos \theta-\sin \theta}$

$\large{\textbf{Calculation}}:$

$(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)(\sec \theta-\cos \theta)(\tan \theta+\cot \theta)=\tan \theta $

$\Rightarrow {\left(\dfrac{1}{\sin \theta}-\sin \theta\right)\left(\dfrac{1}{\cos \theta}-\cos \theta\right)\left(\dfrac{\sin \theta}{ \cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)=\tan \theta} $

$\Rightarrow {\left(\dfrac{1-\sin ^2 \theta}{\sin \theta}\right)\left(\dfrac{1-\cos ^2 \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}\right)=\tan \theta} $

$\Rightarrow \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=\tan \theta$

$\Rightarrow \tan \theta=1$

$\Rightarrow \theta=45^{\circ}$

Now

$\dfrac{2 \cos \theta+\sin \theta}{5 \cos \theta-\sin \theta}$

$=\dfrac{2×\dfrac{1}{\sqrt{2 }}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2}}}{5×\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} $

$=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{2 }}}{\dfrac{4}{\sqrt{2}}}$

$=\dfrac{3}{ 4}$

$\therefore$ The required value of the required equation is $3 / 4$

7. prove that $\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta(1+\cot \theta)=\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta$

$\large{\textbf{proof}}:$

L.H.S. $=\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta(1+\cot \theta)$

$=\sin \theta+\sin \theta \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\cos \theta+\cos \theta \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$=\dfrac{\cos \theta \sin ^2 \theta+\sin ^3 \theta+\cos ^2 \theta \sin \theta+\cos ^3 \theta}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{\left(\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta\right)+\left(\cos \theta \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \sin \theta\right)}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta\right)\\+\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta)}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{(\sin \theta+\cos \theta)(1)}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta \sin \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}$

$=\dfrac{1}{\cos \theta}+\dfrac{1}{\sin \theta}$

$=\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta$

$=$ R.H.S.

8. Prove that

$(1+\tan \theta+\cot \theta)(\sin \theta-\cos \theta)=$$\dfrac{\sec \theta}{\operatorname{cosec ^2}\theta}-\dfrac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec ^2 \theta}$

$\large{\textbf{Solution}}:$

L.H.S.

$=(1+\tan \theta+\cot \theta)(\sin \theta-\cos \theta)$

$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\cot \theta \sin \theta-\cos \theta-\tan \theta \cos \theta$

$-\cot \theta \cos \theta $

$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \sin \theta$

$-\cos \theta-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos \theta-\cot \theta \cos \theta $

$=\sin \theta+\tan \theta \sin \theta+\cos \theta-\cos \theta-\sin \theta-\cot \theta \cos \theta $

$=\tan \theta \sin \theta-\cot \theta \cos \theta $

$=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$

$-\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \dfrac{1}{\sec \theta} $

$=\dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta} \times \dfrac{1}{\operatorname{cosec} \theta} \times \sec \theta$

$-\dfrac{1}{\sec \theta} \times \dfrac{1}{\sec \theta} \times \operatorname{cosec} \theta $

$=\dfrac{\sec \theta}{\operatorname{cosec ^2}\theta}-\dfrac{\operatorname{cosec} \theta}{\sec ^2 \theta} $

$=$ R.H.S.

9. Prove that

$\dfrac{\sin \theta }{\sec \theta+\tan \theta-1}+\dfrac{\cos \theta }{\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta-1}=1 $

$\large{\textbf{Solution}}:$

L H S $=\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta+\tan \theta-1)}+\dfrac{\cos \theta}{(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta-1)} $

$=\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin \theta-\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta \sin \theta}{1+\cos \theta-\sin \theta} $

$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1}{1+(\sin \theta-\cos \theta)}+\dfrac{1}{1-(\sin \theta-\cos \theta)}\right] $

$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1-(\sin \theta-\cos \theta)+1+(\sin \theta-\cos \theta)}{\{1+(\sin \theta-\cos \theta)\}\{1-(\sin \theta-\cos \theta)\}}\right] $

$=\sin \theta \cos \theta\left[\dfrac{1-\sin \theta+\cos \theta+1+\sin \theta-\cos \theta}{1-(\sin \theta-\cos \theta)^2}\right].$

$=\dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{1-\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-2 \sin \theta \cos \theta\right)} $

$=\dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}$

$=1$

$=$ RHS

$\text { Hence, } \mathrm{L.H.S}=\mathrm{R.H.S}$

10. $\text{Prove that}$

$\dfrac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^3 \theta-\operatorname{cosec}^3 \theta}=\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta$

$\large{\textbf{Solution}}:$

$\text{L.H.S}=\dfrac{\left(1+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)(\sin \theta-\cos \theta)}{\dfrac{1}{\cos ^3 \theta}-\dfrac{1}{\sin ^3 \theta}}$

$=\dfrac{\dfrac{\left(\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sin \theta \cos \theta}}{\dfrac{\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta}{\sin ^3 \theta \cos ^3 \theta}}$

$=\dfrac{\left(\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta\right) \times \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta}{\sin \theta \cos\theta \left(\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta\right)}$

$=\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta$

$=\;\text{R.H.S.}$

11.$\text{Prove that}$

$\dfrac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\dfrac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\operatorname{cosec} \theta \sec \theta$

$\large{\textbf{Solution}}:$

$\text{L.H.S}$ $= \dfrac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\dfrac{\cot \theta}{1-\tan \theta} $

$ =\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\dfrac{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}} $

$ =\dfrac{\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\dfrac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\dfrac{\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\dfrac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}} $

$ =\dfrac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}-\dfrac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $

$ =\dfrac{\sin ^{3} \theta-\cos ^{3} \theta}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $

$ =\dfrac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos ^{2} \theta\right)}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} $

$ =\dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} $

$ =\dfrac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} $

$=\dfrac{1}{\sin \theta \cos \theta}+\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{\sin\theta } $

$=\operatorname{cosec} \theta \sec \theta+1$

$=\text{ R.H.S.}$

$\therefore \text { L.H.S }=\text { R.H.S (proved) }$

12. $\text{Prove that}$ $(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2$

$=7+\tan ^2A+\cot ^2 A$

$\large{\textbf{solution}}:$

$\mathrm{L.H.S}=(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2$

$=\left(\sin A+\dfrac{1}{\sin A}\right)^2+\left(\cos A+\dfrac{1}{\cos A}\right)$

$=\left(\dfrac{\sin ^2 A+1}{\sin A}\right)^2+\left(\dfrac{\cos ^2 A+1}{\cos A}\right)^2 $

$=\dfrac{\left(\sin ^2 A+1\right)^2}{\sin ^2 A}+\dfrac{\left(\cos ^2 A+1\right)^2}{\cos ^2 A} $

$=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^2 A+1\right)^2+\sin ^2 A\left(\cos ^2 A+1\right)^2}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^4 A+1+2 \sin ^2 A\right)\\+\sin ^2 A\left(\cos ^4 A+1+2 \cos ^2 A\right)}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=\dfrac{\cos^2 A\sin^4A+\cos^2A+2\sin^2A\cos^2A\\+\sin^2A\cos^4A+\sin^2A+2\sin^2A\cos^2A}{\sin^2A\cos^2A}$

$=\dfrac{\sin^2A\cos^2A\left(\sin^2A\\+\cos^2A\right)+1+4\sin^2A\cos^2A}{\sin^2A\cos^2A}$

$= \dfrac{\sin ^2 A \cos ^2 A+1+4 \sin ^2 A \cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=\dfrac{5 \sin ^2 A \cos ^2 A+1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=\dfrac{5 \sin ^2 A \cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}+\dfrac{1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=5+\dfrac{1}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=5+\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=5+\dfrac{\sin ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 A \cos ^2 A}$

$=5+\dfrac{1}{\cos ^2 A}+\dfrac{1}{\sin ^2 A}$

$=5+\sec ^2 A+\operatorname{cosec}^2 A$

$=5+\left(1+\tan ^2 A\right)+\left(1+\cot ^2 A\right)$

$=7+\tan ^2A+\cot ^2A$

13. $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\dfrac{1}{\tan A+\cot A}$

$\large{\textbf{Solution}}:$

$\mathrm{L.H.S.}=(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)$

$=\left(\dfrac{1}{\sin A}-\sin A\right)\left(\dfrac{1}{\cos A}-\cos A\right)$

$=\left(\dfrac{1-\sin ^2 A}{\sin A}\right)\left(\dfrac{1-\cos ^2 A}{\cos A}\right) $

$=\dfrac{\cos ^2 A}{\sin A}\left(\dfrac{\sin ^2 A}{\cos A}\right)=\dfrac{\sin A \cos A}{1} $

$=\dfrac{\sin A \cos A}{\sin ^2 A+\cos ^2 A} \quad\left[\because 1=\sin ^2 A+\cos ^2 A\right] $

$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$

$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$

$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^2 A}{\sin A \cos A}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin A \cos A}}$

$=\dfrac{1}{\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac{\cos A}{\sin A}}$

$=\dfrac{1}{\tan A+\cot A}$

$=R.H.S$

14. Show that $\dfrac{\cos ^2 \theta }{1-\tan \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta }{\sin \theta-\cos \theta}=\sin\theta+\cos\theta$

$\large{\textbf{Solution}}:$

$\text{L.H.S}$ $=\dfrac{\cos ^2 \theta }{1-\tan \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta }{\sin \theta-\cos \theta}$

$=\dfrac{\cos ^2 \theta}{1-\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}}+\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$

$=\dfrac{\cos ^3 \theta}{\cos \theta-\sin \theta}+\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$

$=\dfrac{\sin ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}-\dfrac{\cos ^3 \theta}{\sin \theta-\cos ^2}$

$=\dfrac{\sin ^3\theta-\cos ^3 \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$

$=\dfrac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta-\cos\theta}$

$=\dfrac{1+\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta \cos\theta}$

$=\sin\theta+\cos\theta$

$=$ R.H.S. $\left[\because a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+b^2+a b\right)\right]$

15. If $m=\dfrac{\cos A}{\cos B}$ and $n=\dfrac{\cos A }{ \sin B}$ , prove that

$\left(m^2+n^2\right) \cos ^2 B=n^2$

Solution:

Given, $m=\dfrac{\cos A}{\cos B}$ and $n=\dfrac{\cos A }{ \sin B}$ $\text { L.H.S }=\left(m^2+n^2\right) \cos ^2 B $ $=\left(\dfrac{\cos ^2 A}{\cos ^2 B}+\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 B}\right) \cos ^2 B $ $=\left(\dfrac{\cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B}{\cos ^2 B \sin ^2 B}\right) \cos ^2 B $ $=\dfrac{\cos ^2 A\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)}{\cos ^2 B \sin^2B} \cos ^2 B $ $=\dfrac{\cos ^2 A}{\sin ^2 B}$

$=\left(\dfrac{\cos A}{\sin B}\right)^2 $ $=n^2 $ $=\text { R.H.S. }$

16. $\cos\theta =\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$

(a)prove that $\cos 2\theta=\dfrac{1}{2}\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)$

(b) prove that $\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)$

Solution of (a)

\begin{aligned} \cos \theta &=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \\ \cos 2 \theta &=2 \cos ^2 \theta-1 \\ &=2 \cdot \frac{1}{4}\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\right)-1 \\ &=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)-1 \\ &=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2 x^2}+1-1 \\ &=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) \end{aligned} (b) $\cos 3\theta$ \begin{aligned} &=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \\ &=4\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x}\right)^3-3\left(\frac{x}{2}+\frac{11}{2 x}\right) \\ &=4\left\{\frac{x^3}{8}+\frac{1}{8 x^3}+3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2 x}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x}\right)\right\}-\frac{9 x}{2}-\frac{3}{2 x} \\ &=\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2 x^3}+\frac{3 x}{2}+\frac{3}{2 x}-\frac{3 x}{2}-\frac{3}{2 x} \\ &=\frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=R H \cdot S \end{aligned}

       $\large{\textbf{Creative Question-1}}:$ 

$a=\sinθ ,b=\cosθ$ এবং $b-ab=ma ,b+ab=an$

(ক) $b-a=\sqrt{2} a$ হলে প্রমাণ কর যে,$a+b=\sqrt{2}b.$

(খ) প্রমাণ কর যে,$(m-n)^2=\dfrac{16mn}{(m+n)^2}$

(গ) প্রমাণ কর যে, $\sinθ=\dfrac{n-m}{n+m}$.

(ঘ) $b-a=\sqrt{2}a$ হলে প্রমাণ কর যে,$\mathrm{cosecθ=2\sqrt{2}cosθ}$.

(ঙ) $a^2+a^4=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a^4}{b^4} -\dfrac{a^2}{b^2} =1.$

(চ) $b^2+b^4=1$ হলে প্রমাণ কর যে ,$\left(\dfrac{b}{a}\right)^4-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=1.$

(ছ) $b-a=\sqrt{2} a$ হলে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{sin^2\theta=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}$

(জ) $a+b=\sqrt{2}b$ হলে প্রমাণ কর যে $\theta=22.5^\circ.$

(ঝ) $a+b=\sqrt{2}b$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{3-4a^2}{b}=2\sqrt{2}b$

         (ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

      $b-a=\sqrt{2}a$

বা, $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$

বা, $\mathrm{cos\theta -\sqrt{2}sin\theta =sin\theta}$

বা,$\left(\mathrm{\cos\theta -\sqrt{2}sin\theta}\right)^2 =\sin^2\theta$

বা, $\mathrm{cos^2\theta -2\sqrt{2}cos\theta sin\theta +2sin^2\theta=sin^2\theta}$

বা, $\mathrm{cos^2\theta +sin^2\theta -2\sqrt{2}cos\theta sin\theta=sin^2\theta-sin^2\theta}$

বা, $\mathrm{1-2\sqrt{2}cos\theta sin\theta=0}$

বা, $\mathrm{1=2\sqrt{2}cos\theta sin\theta}$

বা, $\mathrm{\dfrac{1}{sin\theta}=2\sqrt{2}cos\theta}$

$\therefore \mathrm{cosec\theta=2\sqrt{2}cos\theta}$

বিকল্প সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে,

      $b-a=\sqrt{2}a$

বা, $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$

বা, $\mathrm{cosθ=\sqrt{2}sinθ+sinθ}$

বা, $\mathrm{cosθ=\left(\sqrt{2}+1\right)sinθ}$

বা, $\mathrm{\left(\sqrt{2}-1\right)cosθ=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)sinθ}$

বা, $\mathrm{\sqrt{2}cosθ-cosθ=\left\{\left(\sqrt{2}\right)^2-1^2\right\}sinθ}$

বা, $\mathrm{\sqrt{2}cosθ=sinθ+cosθ}$

$\mathrm{∴sinθ+cosθ=\sqrt{2}cosθ}$

(খ) $\mathrm{cosθ-sinθ=\sqrt{2}sinθ}$

  বা, $\mathrm{\left(cosθ-sinθ\right)^2=\left(\sqrt{2}sinθ\right)^2}$

  বা, $\mathrm{cos^2θ-2cosθsinθ+sin^2θ=2sin^2⁡θ}$

  বা, $\mathrm{1-2sinθcosθ=2sin^2⁡θ}$

  বা, $\mathrm{1=2 sin^2⁡θ+2sinθcosθ}$

   বা, $\mathrm{1=2sinθ\cdot \left(sinθ+cosθ\right)}$

   বা, $\mathrm{1=2sinθ\cdot\sqrt{2}cosθ}$           [‘ক’ হতে]

  বা, $\mathrm{1=2\cdot\dfrac{1}{cosecθ}\cdot \sqrt{2}cosθ}$

      $\mathrm{∴cosecθ=2\sqrt{2}cosθ}$

(ঝ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

দেওয়া আছে, 

    $a+b=\sqrt{2}b$ 

বা, $a=\sqrt{2}b-b$ 

বা, $a=\left(\sqrt{2}-1\right)b$ 

বা, $a^2=\left(\sqrt{2}-1\right)^2b^2$ 

বা, $a^2=\left\{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}+1\right\}b^2$ 

বা, $a^2=\left(2-2\sqrt{2}+1\right)b^2$

বা, $\sin ^2 \theta=\left(3-2\sqrt{2}\right)\cos ^2\theta $

বা, $\sin ^2 \theta=3\cos ^2\theta -2\sqrt{2}\cos ^2\theta $

বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3\left(1-\sin ^2\theta \right)-\sin ^2\theta$

বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3-3\sin ^2\theta -\sin ^2\theta$

বা, $2\sqrt{2}\cos ^2\theta=3-4\sin ^2\theta $

বা, $2\sqrt{2}q^2=3-4p^2$

বা, $3-4a^2=2\sqrt{2}b^2$

$\therefore \dfrac{3-4a^2}{b}=2\sqrt{2}b$

                সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

 $\mathrm{tanA+sinA=m\; ,\;tanA-sinA=n}$

(ক) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cos(90°-B)=sinB}$

(খ) প্রমাণ কর যে , $\dfrac{16mn}{(m-n)^2 }=(m+n)^2$

অথবা, প্রমাণ কর যে, $\dfrac{(m+n)^2 (m-n)^2}{16mn}=1.$

অথবা,প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{16}\left(n^4-2m^2 n^2+m^4 \right)=mn$

Or, Prove that $m^4+n^4=2mn(8+mn)$

(গ) সমাধান কর : $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(ঘ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{secA=\sqrt{mn}cosec^2A}$.

(ঙ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{secA-cosA=\dfrac{4mn}{m^2-n^2}}$

অথবা, $\mathrm{secA-\dfrac{1}{secA}=\dfrac{4mn}{m^2-n^2}}$

অথবা, $\mathrm{tan^2⁡A=\dfrac{4mn}{m^2-n^2 }\cdot secA}$

(চ)প্রমাণ কর যে, $\mathrm{m+n=2secA\cdot sinA}$

সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$\mathrm{cotA-cosA=a\; ,\;cotA+cosA=b}$

(ক) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cosecA=\dfrac{b+a}{b-a}}$

(খ) প্রমাণ কর যে, $16ab=\left(a^2-b^2 \right)^2$.

(গ) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ হলে সমাধান করে $A$ এর মান বের কর।

(ঘ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cotA=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b-a}}$

                        সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$\mathrm{cotA+cosecA=m\; ,\;cotA-cosecA=n}$

(ক) $mn$ এর মান নির্ণয় কর ।                                       $Ans:\; -1$

(খ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{secA=\dfrac{m^2+1}{m^2-1}}$

(গ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{(m-1)\div (n+1)=\dfrac{1+cosA}{sinA}}$

(ঘ) $\dfrac{m}{n}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}$ হলে $A$ এর মান নির্ণয় করো।                     $Ans:\; 30°$

                   সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

$\sin^2A+\sec^2A=2$

(ক) প্রমাণ কর যে,$\mathrm{\dfrac{cos^2⁡A}{1 +⁡cos^2⁡A}=sin^2⁡A}$

(খ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cos^2⁡A+1=sec^2⁡A}$ এবং $\mathrm{tan^2A+tan^4 A=1}$

(গ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{1-tan^2⁡A=sin^2⁡A}$ এবং $\mathrm{cot^4A-cot^2A=1}$.

                        (ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

দেওয়া আছে, 

     $\mathrm{sin^2}A+\mathrm{sec^2}A=2$

বা, $1-\mathrm{cos^2}A+1+\mathrm{tan^2}A=2$

বা, $-\mathrm{cos^2}A=2-1-1-\mathrm{tan^2}A$

$\therefore \mathrm{cos^2}A=\mathrm{tan^2}A$

L.H.S.$=\dfrac{\mathrm{cos^2⁡}A}{1 +\mathrm{⁡cos^2}⁡A}$

          $=\dfrac{\mathrm{tan^2}A}{1+\mathrm{tan^2}A}$

          $=\dfrac{\mathrm{tan^2}A}{\mathrm{sec^2}A}$

          $=\dfrac{\dfrac{\mathrm{sin^2}A}{\mathrm{cos^2}A}}{\dfrac{1}{\mathrm{cos^2}A}}$

          $=\dfrac{\mathrm{sin^2}A}{\mathrm{cos^2}A}×\mathrm{cos^2}A$

          $=\mathrm{sin^2}A$

          $=$ R.H.S.

                               (খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

     $\mathrm{sin^2}A+\mathrm{sec^2}A=2$

বা, $\mathrm{sec^2}A=1+1-\mathrm{sin^2}A$

বা, $\mathrm{sec^2}A=1+\mathrm{cos^2}A$

$\therefore 1+\mathrm{cos^2}A=\mathrm{sec^2}A$

                            ২য় অংশঃ

     $\mathrm{sin^2}A+\mathrm{sec^2}A=2$

বা, $\mathrm{sin^2}A+\dfrac{1}{\mathrm{cos^2}A}=2$

বা, $\mathrm{sin^2}A\mathrm{cos^2}A+1=2\mathrm{cos^2}A$

বা, $\mathrm{sin^2}A\left(1-\mathrm{sin^2}A\right)=2-2\mathrm{sin^2}A$

                       সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

$\mathrm{cotθ-cosecθ=\dfrac{4}{3}}$

(ক) $\mathrm{cotθ+cosecθ}$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\mathrm{cosθ+sinθ}$ এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

                      সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:

$\mathrm{f(x)=sinx}$

(ক) $\mathrm{f(9x)=cosx}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $\left\{f(x)\right\}^4+\left\{f(x)\right\}^2=1$ হলে প্রমাণ কর যে $\left\{\dfrac{f(x)}{f\left(90°-x\right)}\right\}^4-\left\{\dfrac{f(x)}{f\left(90°-x\right)}\right\}^2=1.$

(গ)সমাধান কর, $2\left\{f\left(90°-θ\right)\right\}^2+5f(θ)=3.$ যেখানে $θ$ সূক্ষ্ম কোণ ।

                    সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:

চিত্রটির $B=90°\;,\;AB=\sqrt{3}\; ,\;AC=2$ , $A=3y-x=θ$ , $C=3x+y$

(ক) $\mathrm{tan⁡\left(90°-A\right)}$   নির্ণয় কর।

(খ) $\mathrm{sinC+cosA}$ নির্ণয় কর।

(গ) প্রমাণ কর যে, $x=y$.

                       সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:

$\mathrm{tanA+secA=m\; ,\;tanA-secA=n}$

(ক) $mn$ এর মান নির্ণয় কর ।

(খ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cosecA=\dfrac{m^2+1}{m^2-1}}$.

(গ) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{\dfrac{m-1}{n+1}=\dfrac{1+cosA}{sinA}}$

(ঘ) $\dfrac{m}{n}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}$ হলে $A$ এর মান নির্ণয় করো।

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:

$\mathrm{secA+tanA}=\dfrac{1}{x}.$

(ক) $\mathrm{tanA-secA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(খ) দেখাও যে, $\mathrm{sinA}=\dfrac{1-x^2}{1+x^2 }$

(গ) উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, 

$\mathrm{sec^2⁡A+cosec^2A=sec^2⁡A⋅cosec^2 A}$

                  সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:

$\sec A -\tan A =x$

(ক) $\cos{A}=$ কত?

(খ) $\mathrm{cosecA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(গ) $x=\dfrac{2}{5}$ হলে প্রমাণ কর যে,$\sin A=\dfrac{21}{29}$

(ঘ) প্রমাণ কর যে, $x=\sqrt{\dfrac{1-\sin A}{1+\sin A}}$

                               সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:

$\tan A+\sin A=a$ এবং $a^2-b^2=4\sqrt{ab}$

(ক) $a-b=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(খ) প্রমাণ কর যে, $\tan A-\sin A=b$

(গ) প্রমাণ কর যে, $\tan A=\pm \dfrac{2\sqrt{ab}}{a-b}$.

                        (ক) নং প্রশ্নের সমাধান:

      $a^2-b^2=4\sqrt{ab}$

বা, $(a+b)(a-b)=4\sqrt{ab}$

বা, $a+b=4\sqrt{ab}$                $[\because a-b=1]$

বা, $\dfrac{a+b}{2\sqrt{ab}}=2$

বা, $\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\dfrac{2+1}{2-1}$

বা, $\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=3$

বা, $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{3}$

বা, $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

বা, $\dfrac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

বা, $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)^2$

বা, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3+2\sqrt{3}+1}{3-2\sqrt{3}+1}$

বা, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

                        (খ) নং প্রশ্নের সমাধান:

     $a^2-b^2=4\sqrt{ab}$

বা, $\left(\tan A+\sin A\right)^2-b^2-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$+4\tan A\sin A-b^2-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\tan ^2 A\sin ^2 A}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\tan ^2 A\left(1-\cos ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan ^2 A-\tan ^2 A\cos ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan ^2 A-\sin ^2 A\right)}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{\left(\tan A+\sin A\right)\left(\tan A-\sin A\right)}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A\right)^2$$-b^2+4\sqrt{a\left(\tan A-\sin A\right)}-4\sqrt{ab}=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\tan A-\sin A-b\right)$$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}^2-\sqrt{b}^2\right)$$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$

বা, $\left(\tan A-\sin A+b\right)$$\left(\sqrt{\tan A-\sin A}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)$

$+4\sqrt{a}\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)=0$

বা, $\left(\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}\right)$$\left\{\left(\tan A-\sin A+b\right)\left(\sqrt{\tan A-\sin A}+\sqrt{b}\right)+4\sqrt{a}\right\}=0$

হয়, $\sqrt{\tan A-\sin A}-\sqrt{b}=0$

 বা, $\sqrt{\tan A-\sin A}=\sqrt{b}$

$\therefore \tan A-\sin A=b$     $(proved)$

                      (গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

        $\tan A+\sin A=a\cdots\cdots(i)$

এবং $\tan A-\sin A=b\cdots\cdots(ii)$

$(i)÷(ii)\Rightarrow$

     $\dfrac{\tan A+\sin A}{\tan A-\sin A}=\dfrac{a}{b}$

বা, $\dfrac{\tan A+\sin A+\tan A-\sin A}{\tan A+\sin A-\tan A+\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$

বা, $\dfrac{2\tan A}{2\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$

বা, $\dfrac{\dfrac{\sin A}{\cos A}}{\sin A}=\dfrac{a+b}{a-b}$

বা, $\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{a+b}{a-b}$

বা, $\sec A=\dfrac{a+b}{a-b}$

বা, $\sec ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$

বা, $1+\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$

বা, $\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}-1$

বা, $\tan ^2 A=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a-b)^2}$

বা, $\tan ^2 A=\dfrac{4ab}{(a-b)^2}$

বা, $\tan A=\pm \dfrac{2\sqrt{ab}}{a-b}$   $(proved)$

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. $\tan ^{2}\theta -\sec ^{2}\theta +\dfrac{1}{2}$ এর মান কত?

(ক) $\dfrac{-1}{2}$    (খ) $\dfrac{1}{2}$   (গ) $\dfrac{3}{2}$     (ঘ) $\dfrac{-3}{2}$

২.$\mathrm{cos\theta -cosec\theta =\dfrac{3}{4}}$ হলে $\mathrm{cot\theta +cosec\theta =?}$

(ক)$ -\dfrac{4}{3}$   (খ) $ \dfrac{4}{3}$   (গ) $\dfrac{3}{4}$    (ঘ) $-\dfrac{3}{4}$

৩.$\triangle ABC$ এর $ AB:BC:AC=1:1:\sqrt{2}$ হলে $\tan A-\cot C=?$

(ক) $1$    (খ) $-1$   (গ) $\sqrt{2}$    (ঘ) $0$

৪.$\cos⁡(90°-θ)=\dfrac{3}{5}$ হলে $\sinθ$ এর মান কত?

(ক) $\dfrac{5}{3}$             (খ) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$            (গ) $\dfrac{3}{5}$             (ঘ) $4$

৫. $\mathrm{cosecθ=\dfrac{a}{b}}$ হলে $\mathrm{tanθ}$ এর মান কত?

 (ক) $\dfrac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}$        (খ) $\dfrac{a^2-b^2 }{b}$   

 (গ) $\dfrac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$               (ঘ)  $\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$

৬. $\mathrm{sinθ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$  হলে $\mathrm{tanθ}$ এর মান কত?

 (ক) $\sqrt{3}$     (খ) $3\sqrt{3}$    (গ) $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$    (ঘ) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

৭. $\mathrm{\dfrac{1-tan^230°}{1+tan^230°}=}$কত?

  (ক) $\dfrac{1}{4}$      (খ) $\dfrac{1}{3}$      (গ)  $\dfrac{1}{2}$     (ঘ) $\dfrac{2}{3}$

৮. $\mathrm{cotA\sqrt{1-cos^2A}=}$কত?

  (ক) $\mathrm{sinA}$       (খ) $\mathrm{cosA}$       (গ) $\mathrm{tanA}$        (ঘ) $\mathrm{secA}$ 

৯.$\mathrm{tanA+secA=\dfrac{5}{7}}$  ; $\mathrm{tanA-secA=}$ কত?

 (ক) $\dfrac{7}{5}$       (খ) $\dfrac{\sqrt{5}}{7}$      (গ) $-\dfrac{7}{5}$     (ঘ) $-\dfrac{\sqrt{5}}{7}$

১০. $\mathrm{tan90°}$ এর মান কত?

  (ক) $\dfrac{0}{1}$     (খ) $\dfrac{1}{0}$     (গ) $1$     (ঘ) $0$

১১. $i.\;\mathrm{sinA}$ হলো $A$ কোণের $sine$.

   $ii.\;\mathrm{secA=\dfrac{5}{12}}$ হতে পারে ,

   $iii.\;\mathrm{cotA}$ এর মান সর্বদা  $1$ অপেক্ষা বড়।

কোনটি সঠিক ?

(ক) $i$       (খ) $ii$       (গ) $iii$       (ঘ) $i,ii,iii$ 

চিত্রটির সাহায্যে $১২-১৩$ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

 

১২. $∠ACB$ এর মান কত?

 (ক) $30°$         (খ) $45°$    (গ) $60°$          (ঘ) $75°$

১৩. $BC=$ কত?

 (ক) $8$           (খ) $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$          (গ) $4\sqrt{3}$             (ঘ) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

১৪. $\mathrm{tanx+secx=3}$ হলে $\mathrm{tanx-secx}$  এর মান কত?

(ক) $\sqrt{3}$        (খ) $-3$          (গ) $-\dfrac{1}{3}$         (ঘ) $\dfrac{1}{3}$

১৫. কোন ত্রিভুজের $\mathrm{cotθ=tanθ}$হলে ত্রিভুজটির প্রকৃতি 

(ক) সমবাহু                        (খ) সমকোণী  

(গ) সমদ্বিবাহু                     (ঘ)সমদ্বিবাহু সমকোণী 

উত্তরপত্র:

  ১.(ক)   ২.(ক)  ৩.(ঘ)  ৪.(গ) ৫.(ক)  ৬.(ক)  ৭.(গ)  ৮.(খ)  ৯.(গ)  ১০.(খ) ১১.(ক)  ১২.(ক)   ১৩.(     ১৪.(গ)  ১৫.(ঘ)

 গাণিতিক সমস্যা-১: 

$\triangle{ABC}$  এর $\angle B=90^\circ$ এবং $8\cot A=15$ হলে $\sec C$  এবং $\sin C$ এর মান নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যা-২:

$\sin ^{6}\theta +\cos ^{6}\theta =1-3\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta $

গাণিতিক সমস্যা-৩:

$\sec ^{6}\theta -\tan ^{6}\theta =1+3\tan^2\theta +3\tan ^{4}\theta$

সমাধান:

$L\cdot H\cdot S=\sec ^{6}\theta -\tan ^{6}\theta$ $=\left( \sec ^{2}\theta \right) ^{3}-\left( \tan ^{2}\theta \right) ^{3}$

$ =\left( \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta \right) ^{3}$$+3\sec ^{2}\theta \tan ^{2}\theta \left( \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta\right)$

$=1^{3}+3\sec ^{2 }\theta \tan ^{2}\theta \cdot 1$

$=1+3\left( 1+\tan ^{2}\theta \right) \tan ^{2}\theta $

$=1+3\tan ^{2}\theta +3\tan ^{4}\theta $

$ =R\cdot H\cdot S$

অনুরূপভাবে প্রমান কর যে,

$\cot^6\theta-cosec^6\theta=-1-3\cot^2\theta-3\cot^4\theta$

গাণিতিক সমস্যা-৪:

প্রমাণ কর যে,$\sec ^{4}\theta -\sec ^{2}\theta = \tan ^{4}\theta +\tan ^{2}\theta $

গাণিতিক সমস্যা-৫:

প্রমাণ কর যে, $\dfrac{1}{\cos ecA-\cot A}-\dfrac{1}{\sin A}$$ =\dfrac{1}{\sin A}-\dfrac{1}{co\sec A+\cot A}$

গাণিতিক সমস্যা-৬:

$\cos \theta =\dfrac{4}{5}$ হলে $\dfrac{1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }=?$ 

গাণিতিক সমস্যা-৭:

$a+b\tan ^{2}\theta =c\sec ^{2}\theta $ হলে $ \sin \theta =?$

গাণিতিক সমস্যা-৮:

$\left( a^{2}-b^{2}\right) \sin \theta +$$ 2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}$ হলে$\sec \theta =?$ এবং $ \tan \theta =?$

গাণিতিক সমস্যা-৯:

$\sec\theta -\tan\theta=\dfrac{1}{x}$ হলে $\sec\theta$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গাণিতিক সমস্যা-১০:

$\cos ec\theta-\cot\theta=x$ হলে $\cot\theta$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

গাণিতিক সমস্যা-১১:

$\tan\theta+\cot\theta=\dfrac{1}{x}$ হলে প্রমাণ কর যে $\sin^2\theta-\sin^4\theta=x^2$

অথবা,$\cos^2\theta-\cos^4\theta=x^2$

গাণিতিক সমস্যা-১২:

$7\sin^2\theta +3\cos^2\theta =6$ হলে $\theta=$ কত?

গাণিতিক সমস্যা-১৩:

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $\dfrac{AB+BC}{AC}\ne \cot\left(\dfrac{B}{2}\right)$

সমাধানঃ

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $AB=BC=AC$ এবং $\angle {A}=\angle {B}=\angle{C}=60^\circ $

$L.H.S=\dfrac{AB+BC}{AC}$

                 $=\dfrac{AB+AB}{AB}$

                 $=\dfrac{2AB}{AB}$

                 $=2$

$R.H.S=\cot\left(\dfrac{B}{2}\right)$

                 $=\cot\left(\dfrac{60^\circ }{2}\right)$

                 $=\cot30° $

                 $=\sqrt{3}$

$\therefore L.H.S \ne R.H.S$

গাণিতিক সমস্যা-১৪: 

প্রমাণ কর যে,পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ ,$R=\dfrac{abc}{4\triangle{ABC}}$.

প্রমাণঃ

$\triangle{BOD}$ এর $\sin\theta = \dfrac{BD}{OB}$

                                    $=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{R}$

                                    $=\dfrac{a}{2R}$

এখন,

             $\triangle{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin\theta$

         বা,  $\triangle{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\times\dfrac{a}{2R}$

         বা, $\triangle{ABC}=\dfrac{abc}{4R}$

        $\therefore R=\dfrac{abc}{4\triangle{ABC}}$

গাণিতিক সমস্যা-১৫:

 প্রমাণ কর যে, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

প্রমাণঃ

 $\triangle{ABC}$ এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র $O$;$B,O$ কে যোগ করে পরিধিস্থ $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করি ।ফলে অর্ধবৃত্তস্থ $\angle{BCD}=90^\circ $; একই $BC$ চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle{BAC}=$বৃত্তস্থ $\angle{BDC}$।

এখন $\triangle{BDC}$এর $\sin\angle{BDC}=\dfrac{BC}{BD}$

বা,$\sin\angle{BAC}=\dfrac{a}{2R}$

বা,$\sin A=\dfrac{a}{2R}$

বা,$\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{1}{2R}$

$\therefore \dfrac{a}{\sin A}=2R$

অনুরূপভাবে, $\dfrac{b}{\sin B}=2R$

             এবং $\dfrac{c}{\sin C}=2R$

$\therefore \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

বিকল্প নিয়মঃ

$\triangle{ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin{C}=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}=\dfrac{1}{2}ac\sin{B}$

বা,$2\triangle{ABC}=ab\sin{C}=bc\sin{A}=ac\sin{B}$

বা, $\dfrac{2\triangle{ABC}}{abc}=\dfrac{ab\sin C}{abc}=\dfrac{bc\sin A}{abc}=\dfrac{ac\sin B}{abc}$

বা,$\dfrac{2\triangle{ABC}}{abc}=\dfrac{\sin C}{c}=\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$

বা,$\dfrac{abc}{2\triangle{ABC}}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

বা,$2\times\dfrac{abc}{4\triangle{ABC}}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

$\therefore 2R=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

গাণিতিক সমস্যা-১৬:

যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, 

$\dfrac{AB+BC}{AC}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}$

প্রমাণঃ

$\triangle{ABC}$ এর $\angle{B}$ এর সমদ্বিখন্ডক $AC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

আমরা জানি, ত্রিভুজের কোন কোণের সমদ্বিখন্ডক তৃতীয় বাহুকে ঐ কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে ।তাই-

$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{CD}$

বা,$\dfrac{AB+BC}{BC}=\dfrac{AD+CD}{CD}$

বা, $\dfrac{AB+BC}{BC}=\dfrac{AC}{CD}$

$\therefore CD=\dfrac{AC.BC}{AB+BC}\dots \dots (1)$

$\triangle{BDC}$ এ 

$\dfrac{CD}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}=\dfrac{BC}{\sin\angle{BDC}}$

বা,$\dfrac{CD}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}=\dfrac{BC}{\sin\left(180^\circ -\dfrac{B}{2}-C\right)}$

বা,$\dfrac{CD}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}=\dfrac{BC}{\sin\left\{180^\circ -\left(\dfrac{B}{2}+C\right)\right\}}$

বা, $CD=\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}+C\right)}$

বা,$CD=\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}+\dfrac{C}{2}\right)}$

বা, $CD=\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\sin\left(90^\circ -\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)}$

বা,$CD=\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\sin\left\{90^\circ -\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)\right\}}$

$\therefore CD=\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)}$

$CD$ এর মান $(1)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\dfrac{BC\cdot \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)}=\dfrac{AC\cdot BC}{AB+BC}$

বা,$\dfrac{ \sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)}=\dfrac{AC}{AB+BC}$

বা, $\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}=\dfrac{AB+BC}{AC}$ [ব্যস্তকরণ করে]

$\therefore \dfrac{AB+BC}{AC}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}$ 

প্রশ্নঃ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,

$\dfrac{AB+BC}{AC}=\cot\left(\dfrac{B}{2}\right)$ যেখানে, $\angle{BAC}=90^\circ$

প্রমাণঃ

আমরা জানি, 

$\dfrac{AB+BC}{AC}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\dots \dots (1)$ 

যেহেতু $\angle{BAC}=90^\circ $

সুতরাং $A=B+C$

        বা,$A-C=B$

 $(1)$ হতে পাই, 

$\dfrac{AB+BC}{AC}=\dfrac{\cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}$

$\therefore \dfrac{AB+BC}{AC}=\cot\left(\dfrac{B}{2}\right)$

গাণিতিক সমস্যা-১৭:

 প্রমাণ কর যে, 

$\dfrac{BC\cos{C}-AC\cos{B}}{BC\cos{B}-AC\cos{A}}+\cos{C}=0$ যখন $BC\ne AC$.

প্রমাণঃ

$\triangle{ABC}$ এর $AB=c,BC=a,CA=b$ এবং $BC\ne AC$ 

বা,$a\ne b$

অর্থাৎ, $a=c$ বা $b=c$ হতে পারে ।

$L.H.S=\dfrac{BC\cos{C}-AC\cos{B}}{BC\cos{B}-AC\cos{A}}+\cos{C}$

$=\dfrac{a\cos{C}-b\cos{B}}{a\cos{B}-b\cos{A}}+\cos{C}$

$=\dfrac{a\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-b\cdot\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}{a\cdot\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-b\cdot\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}+\cos{C}$

$=\dfrac{\dfrac{a^3c+ab^2c-c^3a-b^2c^2-a^2b^2+b^4}{2abc}}{\dfrac{abc^2+a^3b-ab^3-ab^3-abc^2+a^3b}{2abc}}+\cos{C}$

$=\dfrac{a^3c+ab^2c-c^3a-b^2c^2-a^2b^2+b^4}{2a^3b-2ab^3}$$+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$=\dfrac{a^3c+ab^2c-c^3a-b^2c^2-a^2b^2+b^4+(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2)}{2ab(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{a^3c+ab^2c-c^3a-b^2c^2-a^2b^2+b^4+a^4-b^4-c^2a^2+b^2c^2}{2ab(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{a^3c+ab^2c-c^3a-a^2b^2+a^4-c^2a^2}{2ab(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{a(a^c+b^2c-c^3-ab^2+a^3-c^2a)}{2ab(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{a^c+b^2c-c^3-ab^2+a^3-c^2a}{2b(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{-c^3+a^2c+b^2c-ab^2-c^2a+a^3}{2b(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{-c(c^2-a^2)+b^2(c-a)-a(c^2-a^2)}{2b(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{(c-a)(-c^2-ca+b^2-ca-a^2)}{2b(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{(c-a)(b^2-c^2-a^2-2ca)}{2b(a^2-b^2)}$

$=\dfrac{(a-a)(b^2-a^2-a^2-2a\cdot a)}{2b(a^2-b^2)}$   [$c=a$ বসিয়ে পাই]

$=0$

$=R.H.S$

$\therefore L.H.S=R.H.S$

গাণিতিক সমস্যা-১৮:

 যেকোনো  ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $\cot{A}+\cot{B} =2\cot{C}$ হলে প্রমাণ কর যে, $BC^2+AC^2=2AB^2$.

প্রমাণঃ

 আমরা জানি, $\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \dots \dots (1)$

এবং $\dfrac{a}{\sin{A}}=2R$

বা, $\dfrac{\sin{A}}{a}=\dfrac{1}{2R}$

বা,$\sin{A}=\dfrac{a}{2R} \dots \dots (2)$

$(1)$ কে $(2)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{a}{2R}}$

বা, $\cot{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\times {\dfrac{2R}{a}}$

$\therefore \cot{A}=\dfrac{R}{abc}(b^2+c^2-a^2)$

অনুরূপভাবে, 

$\cot{B}=\dfrac{R}{abc}(c^2+a^2-b^2)$

এবং 

$\cot{C}=\dfrac{R}{abc}(a^2+b^2-c^2)$

দেওয়া আছে, 

$\cot{A}+\cot{B} =2\cot{C}$ 

বা,$\dfrac{R}{abc}(b^2+c^2-a^2)+\dfrac{R}{abc}(c^2+a^2-b^2)=2\times \dfrac{R}{abc}(a^2+b^2-c^2)$

বা,$b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2=2(a^2+b^2-c^2)$

বা,$2c^2=2(a^2+b^2-c^2)$

বা, $c^2=a^2+b^2-c^2$

বা, $2c^2=a^2+b^2$

 বা,$a^2+b^2=2c^2$

$\therefore BC^2+AC^2=2AB^2$

গাণিতিক সমস্যাঃ

 $\mathrm{sinθ-tanθ=m}$ এবং $\mathrm{sinθ+tanθ=n}$ হলে প্রমাণ কর যে,

$(m-n)^2=\dfrac{-16mn}{(m+n)^2}$ 

গাণিতিক সমস্যাঃ

$\sqrt{3}\mathrm{sin \theta cos \theta} =\dfrac{3}{4}$ হলে $\mathrm{cot \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

             উচ্চতর গণিত

ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্রঃ

মনে করি ,$h$ ঘণ্টা $m$ মিনিট$=h:m$ টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $=\theta$

মিনিটের কাঁটার

 $60$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=360^\circ$

$1$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{360^\circ}{60}$

$m$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{m\times 360^\circ}{60}$

                                                       $=6m$ ডিগ্রী$={\theta}_1$.

$h:m$ টা $=\left(60h+m\right)$ মিনিট যা ঘণ্টার কাঁটার অতিক্রান্ত সময়।

ঘণ্টার কাঁটার $12$ঘণ্টায় বা $12\times 60$ মিনিটে বা

$720$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=360^\circ$

$1$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{360^\circ}{720}$

$\left(60h+m\right)$ মিনিটে অতিক্রান্ত কৌণিক সরণ $=\dfrac{\left(60h+m\right)\times 360^\circ}{720}$

 $=\dfrac{60h+m}{2}$ডিগ্রী $={\theta}_2$. 

$\therefore \theta =\left|{\theta}_2-{\theta}_1\right|$

     $=\left|\dfrac{60h+m}{2}-6m\right|$ ডিগ্রী

     $=\left|\dfrac{60h+m-12m}{2}\right|$ ডিগ্রী

     $=\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right|$ ডিগ্রী

উপরোক্ত সূত্রের ভিত্তিতে সৃজনশীল প্রশ্নঃ

$8:45$ টায় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ $theta$.

(ক) কোণের ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককের পারস্পরিক সম্পর্ক লিখ।

(খ) ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) ঘড়ির ডায়ালের পরিধি $70\mathrm{cm}$ হলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর চাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃহত্তর বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$h:m=8:45$ টায় $h=8$

                             $m=45$

সুতরাং ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ,$=\left|\dfrac{60h-11m}{2}\right|$ ডিগ্রী

              $=\left|\dfrac{60\times 8-11\times 45}{2}\right|$ ডিগ্রী

                $=\left|\dfrac{480-495}{2}\right|$ ডিগ্রী

                $=\left|\dfrac{-15}{2}\right|$ ডিগ্রী

                $=\left|-7.5\right|$ ডিগ্রী

                $=7.5$ ডিগ্রী

                $=7^\circ 30^\prime$     [$\because 0.5^\circ =30$ মিনিট $=30^\prime$ ]

অথবা,$\theta =360^\circ -7.5^\circ =352.5\circ$

আমরাজানি, $1^\circ=\dfrac{{\pi}^c}{180}$

           $\therefore 7.5^\circ=\dfrac{7.5\times  {\pi}^c }{180}$

                         $=\dfrac{{\pi}^c}{24}$

                         $=0.131^c$

গাণিতিক সমস্যা-১:

$30^\circ-\theta$ এর পূরক কোণ $\alpha$ এবং $\sin\theta=\cos\alpha$ হলে $\tan3\theta-\cot4\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

$\because 30^\circ-\theta$ এর পূরক কোণ $\alpha$ 

$\therefore \alpha =90^{\circ}-\left(30^{\circ}-\theta\right)$

$\sin \theta=\cos \alpha$

$\Rightarrow \sin \theta=\cos \left\{90^{\circ}-\left(30^{\circ}-\theta\right)\right\} $

$\Rightarrow \sin \theta=\sin \left(30^{\circ}-\theta\right)$

$\Rightarrow \theta=30^{\circ}-\theta $

$\Rightarrow 2 \theta=30^{\circ} $

$\therefore \theta=15^{\circ} $

$\therefore \alpha=90^{\circ}-\left(30^{\circ}-15^{\circ}\right) $

$=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$

গাণিতিক সমস্যা-২:

$\sin \alpha =\sqrt{\sin \alpha -\sqrt{\sin \alpha -\sqrt{\sin \alpha \cdot \ldots }}}$ হলে $\tan5\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।

গাণিতিক সমস্যা-৩:

$\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ এবং $ cosec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{18}}$ হলে $ \tan 3\theta $ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে,

$\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ 

বা,$\cos \theta =\sqrt{6}\cdots(i)$এবং

$ co\sec \theta =\dfrac{1}{\sqrt{18}}$

বা,$ \sin \theta =\sqrt{18}$

                       $= \sqrt{6\times 3}$

                       $= \sqrt{6}\times \sqrt{3}$

                       $ =\cos \theta \times \sqrt{3}$

$\therefore \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\sqrt{3}$

বা,$\tan\theta=\sqrt{3}$

বা,$\tan\theta=\tan\dfrac{\pi}{3}$

$\therefore \theta =\dfrac{\pi}{3}$

এখন,$\tan3\theta=\tan\left({3\cdot\dfrac{\pi}{3}}\right)$

                       $ = \tan{\pi}$

                       $=0.$ 

গাণিতিক প্রশ্ন-৪:

                      সরলমান নির্ণয় কর

১. $\cos 198°+\sin 432°+\tan 168°+\tan 12°$

২. $\cos 420°  \sin⁡ \left(-300° \right)-\sin 870° \cos 570°$

৩. $\sin 780° \cos 390^°-\sin 330^°  \cos ⁡(-300^0)$

৪. $\tan⁡{\dfrac{17π}{4}}  \cos⁡{\dfrac{11π}{4}}+\sec⁡{\dfrac{34π}{3}} \mathrm{cosec{\dfrac{25π}{6}}}$

৫. $\cos A+\sin{\left(⁡\dfrac{23π}{2}+A\right)}-\sin⁡{\left(\dfrac{23π}{2}-A\right)}$$+\cos (17π+A)$

৬. $\sin^2\dfrac{⁡17π}{8}+\sin^2⁡\dfrac{5π}{8}+\cos^2⁡\dfrac{37π}{8}+\cos^2⁡\dfrac{7\pi}{8}$

গাণিতিক প্রশ্ন-৫:

  $(0,2π)$  ব্যবধিতে সমাধান কর:

(ক) $\mathrm{2sin^2⁡θ-5cos θ+1=0}$

(খ) $\mathrm{cot θ+tan θ=2secθ}$

(গ) $\mathrm{cosθ+\sqrt{3}sinθ=2}$

(ঘ) $\mathrm{1-2sinθ-2cosθ+cotθ=0}$

(ঙ) $\mathrm{tan^2⁡θ+secθ+1=0}$

(চ) $\mathrm{3tan^2⁡θ-4\sqrt{3} secθ+7=0}$

(ছ) $\mathrm{cosecθ+cotθ=\sqrt{3}}$

(জ) $\mathrm{\dfrac{cosθ}{1+sinθ}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}}$

(ঝ) $\mathrm{cosθ+sinθ=\sqrt{2}}$

(ঞ) $\mathrm{sec\theta+tan\theta=\sqrt{3}}$

(ট) $\mathrm{\sqrt{3}sin\theta cos\theta=\dfrac{3}{4}}$ 

(ঠ) $\mathrm{\dfrac{tan\theta}{1-cot\theta}=3}$

গাণিতিক সমস্যা-৬:

সমাধান করঃ

$\mathrm{cosec\theta +cot\theta=-\sqrt{3}}$ যখন $-\dfrac{\pi}{2}\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 

গাণিতিক সমস্যা-৭:

সমাধান করঃ

$\mathrm{sec \theta +tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ যখন $-\pi\le \theta <\pi$

গাণিতিক সমস্যা-৮ঃ 

$ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $\cot A+\cot B+\cot C+\cot D=0$.

গাণিতিক সমস্যা-৯:

$p=\mathrm{cot\theta +cosec\theta}$ হলে প্রমাণ কর যে, $(p^2+1)\cos\theta +(p^2+1)\sin\theta =(p+1)^2-2$

                     সৃজনশীল প্রশ্ন ১:

(ক) বৃত্তাকার চাকাটির পরিসীমা নির্ণয় কর ।

(খ) যদি $r=s $ হয় তবে প্রমাণ কর যে,$\angle{AOB}$ একটি ধ্রূব কোণ।

(গ) যদি $s=11$ সে.মি. হয় তবে $\angle{AOB} $ কে ডিগ্রী এককে প্রকাশ কর এবং প্রতি সেকেন্ডে ছয় পাক ঘুরলে চাকাটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কি.মি.?

                      সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

একটি ত্রিভুজের কোণ গুলো গুণোত্তর ধারাভুক্ত এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের চারগুণ ।

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6440$ কি.মি. ।

(ক)$x$চলকের মাধ্যমে কোণগুলোকে প্রকাশ কর।    

(খ) কোণগুলোর রেডিয়ান পরিমাপ কত?          

(গ)পৃথিবী পৃষ্ঠের দুটি  স্থান কেন্দ্রে বৃহত্তম কোণটি উৎপন্ন করলে তাদের দুরত্ব কত?

                    সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$p=\sec θ-\tan θ ,\;q=\sin θ+\cos θ.$

(ক) $q=1$ হলে প্রমাণ কর যে, $\sin θ-\cos θ=±1$

(খ) দেখাও যে, $(1+p^2 )\cos θ+(1+p^2 )\sin θ+2p^2=(1+p)^2.$

(গ) $p=\sqrt{2}-1$  হলে $θ$ এর মান বের কর যখন  $0<θ<2π.$

                      সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

$A=\dfrac{\cos θ-\sin θ+1}{\cos θ+\sin θ-1}$   , $B=\dfrac{1+\cos θ}{\sin θ}$

(ক) $B=1$ হলে প্রমাণ কর যে $\sin θ+\cos θ=±1.$

(খ) $A=\sqrt{2}+1$ হলে $\tan θ$ এর মান নির্ণয় কর।

(গ) প্রমাণ কর যে, $A=B.$

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

$a\sin θ-b\cos θ=c$

(ক) $c=0$ হলে $\sec θ$ নির্ণয় কর।

(খ) প্রমাণ কর যে, $b\sin θ+a\cos θ=±\sqrt{a^2+b^2-c^2}$

(গ) $a=1 ,b=-1$ এবং $c=\sqrt{2}$ হলে $\tan θ$ এর মান নির্ণয় কর।

                  সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

$\dfrac{\sin θ-\cos θ+1}{\sin θ+\cos θ-1}=x$

(ক) $θ=-\dfrac{2π}{3}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ)প্রমাণ কর যে, $\sin θ=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.$

(গ) $x=2+\sqrt{3}$ হলে $0<θ<2π$ ব্যবধিতে $θ$ এর মান নির্ণয় কর।

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-৭:

 $b\sin^2\theta+a\cos^2\theta=c$  

(ক) প্রমাণ কর যে, $-1\geq \sec{x}\geq1$

(খ) প্রমাণ কর যে, $\cot\theta=±\sqrt{\dfrac{b-c}{c-a}}$

(গ) $a=1,b=5,c=2$ হলে $\theta $ নির্ণয় কর যখন 

$0\leq \theta \leq 2\pi$

                সৃজনশীল প্রশ্ন-৮:

$1+\cos\theta =x\sin\theta$

(ক) প্রমাণ কর যে,$ \sin\phi+\cos\phi>1 $ যখন $\phi $ সূক্ষ্মকোণ।

(খ) $\tan\theta $ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(গ) $\dfrac{2}{x+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{x-\dfrac{1}{x}}{x+\dfrac{1}{x}}=\sqrt{2}$ হলে $\theta$ নির্ণয় কর যখন $0\le \theta \le 2\pi$

                  সৃজনশীল প্রশ্ন-৯:

$\mathrm{secA+tanA=x}$ এবং $r=\mathrm{\dfrac{sinθ+cosθ-1}{sinθ-cosθ+1}}$

(ক) $\mathrm{tanA}$ কে $x$ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(খ) প্রমাণ কর যে, $r=\mathrm{\dfrac{cosθ}{1+sinθ}}.$

(গ) $r=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$ হলে $θ$ নির্ণয় কর যখন $0<θ<2π.$

               সৃজনশীল প্রশ্ন-১০:

$\mathrm{sec^2⁡x+tan^2⁡x=3,\;0<x<2π}$

(ক) $\mathrm{tan\left( \dfrac{11\pi }{3}\right)}$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $x$ এর মান সমূহ নির্ণয় কর।

(গ) $x$এর সর্বনিম্ন মান ব্যবহার করে 

$\mathrm{cos^2⁡\left(\dfrac{4x}{15}\right)+cos^2⁡\left(\dfrac{26x}{15}\right)+cos^2⁡\left(\dfrac{64x}{15}\right)}$$\mathrm{+cos^2⁡\left(\dfrac{94x}{15}\right)}$  এর মান নির্ণয় কর।

                   সৃজনশীল প্রশ্ন-১১:

$\mathrm{3\left(cot^2⁡x+cosec^2x\right)=5\; ,\;0<x<2π}$

(ক) $\mathrm{sec⁡\left(\dfrac{19π}{2}±θ\right)}$ কে $θ$  কোণের অনুপাতে প্রকাশ কর।

(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।

(গ) $x$ এর সর্বনিম্ন মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, 

$\mathrm{sin14x\cdot cos13x-cos⁡(-10x)\cdot sin⁡11x=0}$            

                      সৃজনশীল প্রশ্ন-১২:

$\mathrm{5 cot^2⁡x-7cotx\cdot cosecx+3=0\;     ,\;0<x<2π}$     

(ক) $\mathrm{cotβ=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\; ,\;\dfrac{3π}{2}<β<2π}$ হলে $β$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।

(গ) $x$ এর সর্বোচ্চ মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, 

$\sin \left( \dfrac{13x}{5}\right) \cos \left( \dfrac{13x}{10}\right) + \sin \left( -\dfrac{11x}{10}\right) \cos x=1$

                          সৃজনশীল প্রশ্ন-১৩:

$\mathrm{2\left(sinθcosθ+\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}cosθ+4sinθ}$ ; $\dfrac{π}{2}< θ<π$

 (ক) দেখাও যে $θ=\dfrac{π}{3}$ এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ ।                                             

(খ)প্রদত্ত ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান কর।                 

(গ) $θ$ এর প্রাপ্ত মান ব্যবহার করে                               $\sin \left( \dfrac{11\theta }{60}\right) +\cos \left( \dfrac{\theta }{20}\right) +\sin \left( \dfrac{101\theta }{60}\right)$$ +\cos \left( \dfrac{31\theta }{20}\right)+\cos \left( \dfrac{5\theta }{2}\right)$  এর মান নির্ণয় কর।

                        সৃজনশীল প্রশ্ন-১৪:

$\mathrm{cosx+secx=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}}$    , $0<x<2π$

(ক) $\mathrm{sec⁡\left(θ-\dfrac{11π}{2}\right)}$ কে $θ$ কোণের অনুপাতে প্রকাশ কর।

(খ) $x$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।

(গ) $x$ এর সর্বোচ্চ মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, 

$\mathrm{cos2x=cos^2⁡x-sin^2⁡x=\dfrac{1-tan^2⁡x}{1+tan^2⁡x}}$

                       সৃজনশীল প্রশ্ন-১৫: 

$\mathrm{cosecx+secx=2\sqrt{2}}$  , $0<x<\dfrac{π}{2}$

(ক) $\mathrm{tan\theta=\dfrac{5}{12}}$  এবং $\mathrm{cosθ}$ ঋণাত্মক  হলে $\mathrm{sin\theta}$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $x$ এর মান নির্ণয় কর ।

(গ) $x$ এর মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে 

$\cot \left( \dfrac{x}{5}\right) \cot \left( \dfrac{3x}{5}\right) \cot \left( x\right) \cot \left( \dfrac{7x}{5}\right) \cot \left( \dfrac{9x}{5}\right) $$=1$ 

                        সৃজনশীল প্রশ্ন-১৬:

$\mathrm{cotθ+cosecθ=\sqrt{3}}$  , $0<θ≤2π$

(ক) $\mathrm{tanx=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ , $\dfrac{π}{2}<x<2π$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $θ$ এর মানসমূহ নির্ণয় কর।

(গ) $θ$ এর মানসমূহের একটি $A$ অপরটি $B$ ধরে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{cot⁡(A-B)=\dfrac{cotAcotB+1}{cotB-cotA}}$

                     সৃজনশীল প্রশ্ন-১৭:

$\mathrm{sec^2⁡θ+1=cosec^2θ}$ হলে

(ক) দেখাও যে, $\mathrm{\dfrac{cos^2 θ}{1⁡+cos^2⁡θ}=sin^2⁡θ}$

(খ) প্রমাণ করবে, $\mathrm{cot^4⁡θ-cot^2⁡θ=1}$ এবং $\mathrm{tan^4⁡θ+tan^2⁡θ=1}$

(গ) প্রমাণ করবে, $\mathrm{sin^2θ+ ⁡sec^2⁡θ=2}$ এবং $\mathrm{1-tan^2⁡θ=sin^2⁡θ}$

                   সৃজনশীল প্রশ্ন-১৮:

(ক) প্রমাণ কর যে, $\mathrm{\dfrac{1+tanA tanC}{tanA cotC+tan^2⁡A}=2+\dfrac{1}{\sqrt{1+cotB}}}$

(খ) $\mathrm{2cos^2⁡A+3sinA-3}$ এর মান নির্নয় কর এবং এই মান ব্যবহার করে $∠C$ এর মান নির্নয় কর।

                                    গাণিতিক প্রশ্নঃ

$\mathrm{cosec^3\theta -sin^2\theta -tan\theta =\dfrac{31\sqrt{3}-4}{4\sqrt{3}}}$ হলে দেখাও যে, $\theta =30°$

গাণিতিক প্রশ্নঃ

$2 \sin x \tan x+1=\tan x+2 \sin x$

সমাধানঃ

$2 \sin x \tan x+1=\tan x+2 \sin x$

বা, $2 \sin x \tan x-2 \sin x=\tan x-1$

$\therefore 2 \sin x(\tan x-1)=\tan x-1$

- $2 \sin x=1$ [যখন $\tan x-1 \neq 0]$

$2 \sin x=\sin \frac{\pi}{6} \Rightarrow x=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}$

অথবা,  $\tan x-1=0$ হলে

$\tan x=1=\tan \frac{\pi}{4}$

$\Rightarrow x=n \pi+\frac{\pi}{4}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}$ অথবা, $n \pi+\frac{\pi}{4}$

[যেখানে, $n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots \cdots$ ]

                    বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১. $\triangle{ABC}$ এর ক্ষেত্রে $\tan(A+B+C)=$ কত?

(ক) $0$    (খ) $1$      (গ) $-1$      (ঘ) অসঙ্গায়িত ।

২. $\triangle{ABC}$ এর $\cos A=\sin B$ হলে ত্রিভুজটির প্রকৃতি কিরূপ?

(ক) সমকোণী     (খ) সমকোণী সমদ্বিবাহু     (গ) সমদ্বিবাহু     (ঘ) সূক্ষ্মকোণী 

৩. $\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi$ ব্যবধিতে $\tan\theta =1$ হলে $\theta =$ কত?

(ক) $\dfrac{\pi}{4}$         (খ) $\dfrac{2\pi}{3}$    

(গ) $\dfrac{3\pi}{4}$        (ঘ) $\dfrac{4\pi}{3}$

৪. নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $|\sin\theta|<1$             (খ) $|\sec\theta|\le 1$     (গ) $\text{cosec}\theta\le 1$      (ঘ) $\tan\theta \in\mathbb{R}$

 ৫. সকাল $8:30$ টায় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্গত কোণ –

    $i.\;75°$

    $ii.\;150°$

   $iii.\;285°$

   কোনটি সঠিক?

   (ক) $i ,ii$     (খ) $i,iii$    (গ) $ii,iii$     (ঘ) $i,ii,iii$

৬. $\mathrm{sin^2\left(\dfrac{π}{15}\right)+sin^2\left(\dfrac{13π}{30}\right)}$ এর মান কত?

   (ক) $0$       (খ) $1$         (গ) $-1$         (ঘ) $\dfrac{1}{4}$

৭. $9:30$ টায় ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাটার মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

$i.\;105$       $ii.\;90$         $iii.\;255$

কোনটি সঠিক?

(ক) $i ,ii$    (খ) $i, iii$    (গ) $ii ,iii$    (ঘ) $i ,ii ,iii$

৮. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে-

    $i.\;|sinθ|≤1$

    $ii.\;|cosθ|≤1$

    $iii.\;|tanθ|≤1$

কোনটি  সঠিক?

  (ক) $i,ii$      (খ) $i,iii$     (গ) $ii, iii$      (ঘ) $i,ii,iii$

উত্তরপত্রঃ 

১.(ক) ২.(খ) ৩.(গ)  ৪.(ঘ)  ৫.(খ)  ৬.(খ)  ৭.(খ)  ৮.(ক)