physics-work energy and power

                                                  

                                         সাধারণ আলোচনা

কাজঃ কোন বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করার ফলে বস্তুর সরণ ঘটলে সরণ এবং সরণের অভিমুখে বলের উপাংশের গুণফলকে কাজ বলে।

মন্তব্যঃ বল এবং সরণ একই দিক বরাবর নিয়ে কৃতকাজ হিসাব করতে হয়। এজন্য বল বরাবর সরণের উপাংশ অথবা সরণ বরাবর বলের উপাংশ নিয়ে কৃতকাজ হিসাব করতে হবে।

ব্যাখ্যাঃ

কোনো বস্তুর ওপর $F$ বল প্রয়োগে বস্তুটির বলের অভিমুখের সাথে $\theta $ কোণে $s$ সরণ ঘটলে সরণের অভিমুখে বলের আনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta $ হলে 

$(i)$ ঘর্ষণহীন তলে কৃতকাজ, $W=s×F\cos\theta=Fs\cos\theta $

$(ii)$ ঘর্ষণযুক্ত তলে কৃতকাজ, $\fbox{$W=\left(F\cos\theta-f\right)×s$}$

এখানে $ f$ ঘর্ষণবল।

গাণিতিক প্রশ্নঃ

সমস্যা-৪: $500 gm$ ভর বিশিষ্ট কোন বস্তু একটি জাহাজের উপর হতে $10 m$ নিচে পানিতে পড়ল। বস্তুটির প্রাথমিক স্থিতি শক্তি কত? (ii) বস্তুটির সর্বোচ্চ গতিশক্তি কত?(iii) কত বেগে পানির তল কে স্পর্শ করবে? (iv) পানি হতে $3m$ উচ্চতায় গতিশক্তি বিভবশক্তির কত গুণ হবে? 

(i)  স্থিতিশক্তি, $E_{p}=m g h$

$=0.5 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 10 \mathrm{~m}$ $=49 \mathrm{~J}$

অতএব, বস্তুটির প্রারম্ভিক স্থিতি শক্তি $49 \mathrm{~J}$

(ii) আমরা পাই, প্রাথমিক স্থিতি শক্তি = সর্বোচ্চ গতি শক্তি।

 অতএব, বস্তুটির সর্বোচ্চ গতি শতি, $\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=49 \mathrm{~J}$ ।

(iii) আমরা পাই, $\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}$

বা, $\frac{1}{2} m v^{2}=E_{k}$

বা, $v^{2}=\frac{2 \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{m}}$

বা, $v^{2}=\frac{2 \times 49 \mathrm{~J}}{0.5 \mathrm{~kg}}\left[\because E_{\mathrm{k}}=49 \mathrm{~J}\right]$

বা, $v^{2}=196 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}$

$\therefore \mathrm{v}=14 \mathrm{~ms}^{-1}$

(iv) পানির  $\mathrm{~m}$ উপরে স্থিতিশক্তি,

$\mathrm{E}_{p}=\mathrm{mgh}$

$=0.5 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 3 \mathrm{~m}$

$=14.7 \mathrm{~J}$

এবং গতি শতি = মোটশক্তি স্থিতি শক্তি

$=49 \mathrm{~J}-14.7 \mathrm{~J}$

$=34.3 \mathrm{~J}$

সমস্যা-৫। দেখাও যে, অভিকর্ষের টানে মুক্তভাবে পড়ন্ত $m$ ভরের একটি বস্তুর $t-$ তম সেকেন্ডে হারানো স্থিতি শক্তি বা অর্জিত গতিশক্তি $\dfrac{1}{2} mg^2 (2t – 1)$ এর সমান।

সমাধান : 

অভিকর্ষের টানে মুক্তভাবে পড়ন্ত কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট সেকেন্ডে যে পরিমাণ স্থিতি শক্তি হারাবে, সে পরিমাণ গতি শক্তি অর্জন করবে। t সেকেন্ডে শেষে বেগ, $v_{t}=v_{0}+g t=0+g t=g t$

$(\mathrm{t}-1)$ সেকেন্ড শেষে বেগ, $\mathrm{v}_{\mathrm{t}-1}=\mathrm{v}_{0}+\mathrm{g}(\mathrm{t}-1)$

$=0+\mathrm{g}(\mathrm{t}-1)=\mathrm{g}(\mathrm{t}-1)$

$\mathrm{t}$ সেকেন্ড শেষে গতি শক্তি, $\mathrm{E}_{\mathrm{t}}=\dfrac{1}{2} \mathrm{mv}_{\mathrm{t}}^{2}=\dfrac{1}{2} \mathrm{mg}^{2} \mathrm{t}^{2}$

$(\mathrm{t}-1)$ সেকেন্ড শেষে গতি শক্তি, $\mathrm{E}_{\mathrm{t}-1}=\dfrac{1}{2} \mathrm{mv}_{\mathrm{t}-1}^{2}=\dfrac{1}{2} \mathrm{mg}^{2}(\mathrm{t}-1)^{2}$

$\therefore \mathrm{t}$-তম সেকেন্ডে হারানো স্থিতি শক্তি বা অর্জিত গতি শক্তি $=\mathrm{E}_{1}-\mathrm{E}_{t-1}$

$=\dfrac{1}{2} m g^{2} t^{2}-\dfrac{1}{2} m g^{2}(t-1)^{2}$

$=\dfrac{1}{2} m g^{2}\left[t^{2}-\left(t^{2}-2 t+1\right)\right]$

$=\dfrac{1}{2} \mathrm{mg}^{2}(2 \mathrm{t}-1) \cdot$ (দেখানো হলো)

সমস্যা-৭। $40\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি ট্রলি $180\;\mathrm{J}$ গতি শক্তিসহ একটি মসৃণ অনুভূমিক রাস্তায় চলাকালে এর মধ্যে $20\;\mathrm{ kg}$ ভরের একটি বস্তু খাড়াভাবে নামিয়ে দিলে মোট গতি শক্তি কত হবে?

সমাধান : ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রানুসারে,

$m_{1} u=m_{2} v$

$m_{1}=40 \mathrm{~kg}$

$u=40 \mathrm{~kg}$ভরের বস্তুটির আদিবেগ । যেখানে,

$u=\sqrt{\dfrac{2 \mathrm{E}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{m}_{1}}} $

$=\sqrt{\dfrac{2 \times 180 \mathrm{~J}}{40 \mathrm{~kg}}}=3 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\mathrm{~m}_{2} =40 \mathrm{~kg}+20 \mathrm{~kg}=60 \mathrm{~kg}$

$v =$ সম্মিলিত বস্তুর শেষবেগ 

$\therefore v=\dfrac{m_{1} u}{m_{2}}=\dfrac{40 \mathrm{~kg} \times 3 \mathrm{~ms}^{-1}}{60 \mathrm{~kg}}=2 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\therefore$ নির্ণেয় গতি শক্তি, $E_{k}^{\prime}=\dfrac{1}{2} m_{2} v^{2}=\dfrac{1}{2} \times 60 \mathrm{~kg} \times\left(2 \mathrm{~ms}^{-1}\right)^{2}=120 \mathrm{~J}$

সমস্যা-৯। $80\%$ দক্ষতাসম্পন্ন একটি মোটর একটি ক্রেন নিয়ন্ত্রণ করে যার দক্ষতা $50\%$। মোটরটি $3.73\mathrm{kW}$ ক্ষমতা প্রয়োগ করলে ক্রেনে $746\mathrm{N}$ ওজনের একটি বস্তুর ঊর্ধ্বমুখী গড়বেগ কত হবে?

সমাধান : 

$\text{Power given to motor}$, $P_i^\prime=3.72\;\mathrm{kW}=37200\;\mathrm{W}$.

$\text{Amount of power from motor,}$ $P_o^\prime=80\% \; of ~P_i^\prime$

                                                                 $=0.8×37200\;\mathrm{W}$

                                                                 $=2976\;\mathrm{W}$

$\text{Power given to crane by motor}$,$P_i=2976\;\mathrm{W}$

$\text{Amount of power from crane,}$ $P_o=50\% ~of ~P_i$

                                         $\Rightarrow Fv=0.5×2976\;\mathrm{W}$

                                         $\Rightarrow v=\dfrac{1488\;\mathrm{W}}{F}$

                                         $\Rightarrow v=\dfrac{1488\;\mathrm{W}}{746\;\mathrm{N}}$

                                        $\therefore v=1.9946\;\mathrm{ms^{-1}}$

সমস্যা-১০। $100\;\mathrm{m}$ গভীর একটি কুয়া থেকে ইঞ্জিনের সাহায্যে প্রতি মিনিটে $1000\;\mathrm{kg}$ পানি উঠানো হয়। যদি ইঞ্জিনটির ক্ষমতা $42\%$ নষ্ট হয়, তাহলে এর অশ্বক্ষমতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ইঞ্জিনের ক্ষমতা, $ = P$ এবং ইঞ্জিনের কার্যকর ক্ষমতা $= P'.$

আমরা পাই, কৃতকাজ $W$ হলে কার্যকর ক্ষমতা, $ P' =\dfrac{W}{t}$

$\therefore \mathrm{P}^{\prime}=\dfrac{\mathrm{mgh}}{\mathrm{t}} \text {. }$

এক্ষেত্রে ইঞ্জিনটির $42 \%$ ক্ষমতা নষ্ট হওয়ায় এর কার্যকর ক্ষমতা $=(100-42) \%=58 \%$

এখানে,

গভীরতা, $h=100 \mathrm{~m}$

ভর, $m=1000 \mathrm{~kg}$

সময়, $\mathrm{t}=1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

মোটরটির অশ্বক্ষমতা, $\mathrm{P}=$ ?

আবার কার্যকর ক্ষমতা, $\mathrm{P}^{\prime}=\mathrm{P}$ এর $58 \%$

বা, $\mathrm{P}^{\prime}=\mathrm{P} \times \dfrac{58}{100}$

বা, $\mathrm{P}=\dfrac{\mathrm{P}^{\prime} \times 100}{58}$

এখन $(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,

$P=\dfrac{\operatorname{mgh} \times 100}{\mathrm{t} \times 58}$

$=\dfrac{1000 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 100 \mathrm{~m} \times 100}{60 \mathrm{~s} \times 58}$

$=28160.92 \mathrm{~W}$

$=\dfrac{28160.92}{746} \text { H.P. }$

$=37.75 \text { H.P. }$

অতএব, মোটরটির অশ্বক্ষমতা $37.75H.P.$ ।

সমস্যা-১১। কোনো কুয়া থেকে $20\;\mathrm{m}$ উপরে পানি তোলার জন্য $6\;\mathrm{kW}$ এর একটি পাম্প ব্যবহার করা হচ্ছে। পাম্পের দক্ষতা $82.2\%$ হলে প্রতি মিনিটে কত লিটার পানি তোলা যাবে?

সমাধান :

আমরা পাই, পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা,

বা, $\mathrm{P}=\dfrac{\mathrm{mgh}}{\mathrm{t}}$ [এখানে, $\mathrm{W}=\mathrm{mgh}$]

বা, $\mathrm{Pt}=\mathrm{mgh}$

বা,$\mathrm{m}=\dfrac{\mathrm{Pt}}{\mathrm{gh}}$

$=\dfrac{4932 \mathrm{~W} \times 60 \mathrm{~s}}{9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 20 \mathrm{~m}}$

$=1509 \cdot 8 \mathrm{~kg}$

$\therefore$ পানির আয়তন, $\mathrm{V}=1509.8 \mathrm{~L}$ [ $\because 1$ কেজি পানির আয়তন 1 লিটার]

অতএব, প্রতি মিনিটে $1509.8 \mathrm{~L}$ পানি তোলা যাবে।

সমস্যা-১২। একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা $7.2\;\mathrm{m}$ ও ব্যাস $4\;\mathrm{m}$। $31.4$ মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে এরূপ একটি বৈদ্যুতিক পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

কুয়ার গভীরতা, $\mathrm{h}=7.2 \mathrm{~m}$

ভরকেন্দ্রের উল্লম্ব সরণ, $\dfrac{\mathrm{h}}{2}=\dfrac{7 \cdot 2 \mathrm{~m}}{2}=3.6 \mathrm{~m}$

কুয়ার ব্যাসার্ধ, $r=\dfrac{4 \mathrm{~m}}{2}=2 \mathrm{~m}$

সময়, $\mathrm{t}=31.4 \mathrm{~min}=31.4 \times 60 \mathrm{~s}=1884 \mathrm{~s}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

পানির ঘনত্ব, $\rho=1000 \mathrm{kgm}^{-3}$

ক্ষমতা , $\mathrm{P}=$ ?

এক্ষেত্রে উত্তোলিত পানির ভর, $\mathrm{m}=$ আয়তন $\times$ ঘনত্ব

বা, $m=\pi r^{2} h \times \rho$

আমরা পাই, $P=\dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}}$

$=\dfrac{\mathrm{F} \times \dfrac{\mathrm{h}}{2}}{\mathrm{t}}$

$=\dfrac{\mathrm{mg} \times \dfrac{\mathrm{h}}{2}}{\mathrm{t}}$

$=\dfrac{\pi \mathrm{r}^{2} \mathrm{~h} \rho \times \mathrm{g} \times \dfrac{\mathrm{h}}{2}}{\mathrm{t}}$

$=\dfrac{3.14 \times(2 \mathrm{~m})^{2} \times 7.2 \mathrm{~m} \times 1000 \mathrm{kgm}^{-3} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 3.6 \mathrm{~m}}{1884 \mathrm{~s}}$

$\therefore P =1693.44 \mathrm{~W}$

অতএব, বৈদ্যুতিক পাম্পের ক্ষমতা $1693.44\;\mathrm{W}$ ।

সমস্যা-১৩। $1200\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি গাড়ির ইঞ্জিনের ক্ষমতা $134.05\;\mathrm{ HP}$ ও কর্মদক্ষতা $90\%$. গাড়িকে স্থিরাবস্থা থেকে $20\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে আনতে ন্যূনতম কত সময় লাগবে? 

সমাধানঃ

ইঞ্জিনের মোট ক্ষমতা, $P_i=134.05\;\mathrm{H.P.}$

              $=134.05 \times 0.746 \mathrm{~kW}$

              $=100.0013 \mathrm{~kW}$

              $=100001.3 \mathrm{~W}$

দক্ষতা, $\eta=90 \%=0.90$

বেগ, $v=20 \mathrm{~ms}^{-1}$

ভর, $m=1200 \mathrm{~kg}$

কার্যকর ক্ষমতা $=P_o$

সময়, $t=$ ?

 আমরা পাই, $\eta=\dfrac{P_o}{P_i}$

$\therefore 0.90=\dfrac{P_o}{100001.3}$

বা, কার্যকর ক্ষমতা, $P_o=100001.3 \times 0.90 \mathrm{~W}$ $=90001.17 \mathrm{~W}$

এখন, গতিশক্তি = কৃতকাজ

বা, $\dfrac{1}{2} mv^{2}=P_ot$

বা, $t=\dfrac{1}{2 P_o} m v^{2}$

$\therefore t =\dfrac{1}{2 \times 90001.17 \mathrm{~W}} \times 1200 \mathrm{~kg} \times\left(20 \mathrm{~ms}^{-1}\right)^{2}$

$=2.67 \mathrm{~s}$

সমস্যা-১৪। অনুভূমিকের সাথে $60°$ কোণে $5\;\mathrm{m}$ লম্বা একটি হেলানো তলের পাদদেশ থেকে শীর্ষদেশে $10\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তুকে তুলতে হবে। তলকে ঘর্ষণহীন ধরে বস্তুটিকে দ্রুত গতিতে তুলতে কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,

তলের দৈর্ঘ্য, $l=5 \mathrm{~m}$

অনুভূমিকের সাথে তলের উৎপন্ন কোণ, $\theta=60^{\circ}$

বস্তুর ভর, $m=10 \mathrm{~kg}$

কাজের পরিমাণ, $W = ?$

$\sin \theta=\dfrac{h}{l}=\dfrac{h}{5 \mathrm{~m}}$

$\therefore h=5 \mathrm{~m} \times \sin \theta=5 \mathrm{~m} \times \sin 60^{\circ}=4.33 \mathrm{~m}$

$\therefore$ কৃতকাজ,  $W=mgh$       [displacement does not depend on path]

                           $=10 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 4.33 \mathrm{~m}$

                           $=424.35 \mathrm{~J}$

সমস্যা-১৫। $50\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বোমা ভূপৃষ্ঠ থেকে $1\;\mathrm{km}$  উঁচুতে অবস্থিত একটি বিমান থেকে ফেলে দেওয়া হলো। ভূমি স্পর্শ করার পূর্ব মুহূর্তে এর গতি শক্তি বের কর।

সমাধানঃ

এখানে,

ভর, $m=50 \mathrm{~kg}$

উচ্চতা, $h=1 \mathrm{~km}=1000 \mathrm{~m}$

অভিকর্ষীয় ত্বরণ $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

গতি শক্তি, $\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=$ ?

মনে করি, বোমাটির ভূমি স্পর্শ করার পূর্ব মুহূর্তে বেগ $= v$ পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে আমরা জানি, $\mathrm{v}^{2}=2 \mathrm{gh}$ এবং গতি শক্তি, $\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}$

$\therefore \mathrm{E}_{\mathrm{k}} =\dfrac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}$

$=\dfrac{1}{2} \mathrm{~m} \times 2 \mathrm{gh}$

$=\mathrm{mgh}$

$=50 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 1000 \mathrm{~m}$

$=490000 \mathrm{~J}$

অতএব, বোমাটির ভূমিতে স্পর্শ করার পূর্ব মুহূত্তে গতি শক্তি $490000 \mathrm{~J}$ ।

সমস্যা-১৬। একটি রাইফেলের গুলি একটি তক্তা ভেদ করতে পারে। যদি গুলির বেগ তিনগুণ করা হয়, তবে অনুরূপ কয়টি তক্তা ভেদ করতে পারবে?

সমাধান : মনে করি, গুলির ভর $= m$ এবং প্রথম ক্ষেত্রে গুলির বেগ $\mathrm{v}$

তাহলে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে গুলির বেগ হবে $3v$

সুতরাং প্রথম ক্ষেত্রে গুলির গতি শক্তি, $K_{1}=\dfrac{1}{2} mv^{2}$

এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে গুলির গতি শক্তি, $K_{2}=\dfrac{1}{2} \mathrm{~m}(3 v)^{2}$

$=\dfrac{1}{2} m \times 9 v^{2}$

বা, $\mathrm{K}_{2}=9 \times \dfrac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}$

$(ii)$ কে $(i)$ দ্রারা ভাগ করে পাই,

$\dfrac{\mathrm{K}_{2}}{\mathrm{~K}_{1}}=\dfrac{9 \times \dfrac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}}{\dfrac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}}=9$

$\therefore \mathrm{K}_{2}=9 \mathrm{~K}_{1}$

সুতরাং দ্রিতীয় ক্ষেত্রে গুলির গতি শক্তি ১ম ক্ষেত্রের তুলনায় $9$ গুণ বলে $9 \times 1=9$ টি তক্তা ভেদ করতে পারবে।

সমস্যা-১৭। একটি মোটর মিনিটে $5.5 × 10^5 \;\mathrm{kg}$ পানি $100\;\mathrm{m}$ উপরে উঠাতে পারে। মেটিরটির দক্ষতা $70\%$ হলে এর ক্ষমতা কত?

সমাধানঃ

এখানে,

সময়, $\mathrm{t}=1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s}$

পানির ভর, $\mathrm{m}=5.5 \times 10^{5} \mathrm{~kg}$

উচ্চতা, $\mathrm{h}=100 \mathrm{~m}$

সময়, $\eta=70 \%=0.70$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

মোট ক্ষমতা $P_i= ?$

কার্যকর ক্ষমতা $=\dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}}$

$=\dfrac{mgh}{t}$

$=\dfrac{5.5 \times 10^{5} \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~ms}^{-2} \times 100 \mathrm{~m}}{60 \mathrm{~s}}$

$=8983333.33 \mathrm{~W}$

এখন, $\eta=\dfrac{P_o}{P_i}$

$\therefore$  $P_i=\dfrac{P_o}{\eta}$

$=\dfrac{8983333.33}{0.70} \mathrm{~W}$

$=12833333.33 \mathrm{~W}$

$=12833.33 \mathrm{~kW}$

$=1.28 \times 10^{4} \mathrm{~kW}$

অতএব, মোটরটির দক্ষতা $70 \%$ হলে এর ক্ষমতা $1.28 \times 10^{4} \mathrm{~kW}$.

সমস্যা-১৮। একটি বন্দুকের স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক $1.8 × 10^4\;\mathrm{Nm ^{-1}}$. যখন লোড করা হয় তখন তা $1.2\;\mathrm{cm}$ সংকুচিত হয়।

(ক) লোড অবস্থায় স্প্রিংয়ের বিভব শক্তি নির্ণয় কর। 

(খ) যখন স্প্রিংটিকে মুক্ত করা হয় তখন সম্পূর্ণ বিভব শক্তি গুলির গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। গুলির ভর $0.36\;\mathrm{g}$ হলে নির্গমনের সময় এর বেগ কত হবে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(ক) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

এখানে,

স্প্রিং এর বল ধ্রুবক $k=1.8 \times 10^{4} \mathrm{Nm}^{-1}$

দৈর্ঘ্য সংকোচন , $x=1.2 \mathrm{~cm}=0.012 \mathrm{~m}$ 

বিভব শক্তি $V=?$

 আমরা জানি, বিভব শক্তি $V=\dfrac{1}{2} kx^{2}$

$\therefore$ বিভব শক্তি $V=\dfrac{1}{2} \times 18 \times 10^{4} \mathrm{Nm}^{-1} \times(0.012 \mathrm{~m})^{2}=1.296 \mathrm{~J}$

(খ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

এখনে,

গুলির ভর $m=0.36 \mathrm{~g}=0.36 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$

গুলির গতি শক্তি = গুলির বিভব শক্তি $=1.296 \mathrm{~J}$

গুলির বেগ, $v=$ ?

আমরা জানি, গতি শক্তি $=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

$\therefore \dfrac{1}{2} m v^{2}=1.296$

বা, $\dfrac{1}{2} \times 0.36 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \times \mathrm{v}^{2}=1.296 \mathrm{~J}$

বা, $v^{2}=7200 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{2}$

$\therefore v=\sqrt{7200} \mathrm{~ms}^{-1}$

$=84.85 \mathrm{~ms}^{-1}$

অতএব, গুলির বেগ $=84.85 \mathrm{~ms}^{-1}$.

সমস্যা-১৯। একটি কাঠের ব্লককে অনুভূমিকের সাথে $30°$ কোণে $40\;\mathrm{N}$ বল প্রয়োগে মেঝের উপর দিয়ে টানা হচ্ছে। ঘর্ষণজনিত বল $8\;\mathrm{N}$। ব্লকটির সরণ $5\;\mathrm{m}$ হলে 

(ক) প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃতকাজ নির্ণয কর।

(খ) ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ নির্ণয় কর।

(গ) নিট কাজ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,

প্রযুক্ত বল, $F=40 \mathrm{~N}$

অনুভূমিকের সাথে বলের উৎপন্ন কোণ, $\alpha=30^{\circ}$

ঘর্ষণজনিত বল, $\mathrm{F}_{\mathrm{f}}=8 \mathrm{~N}$

সরণ, $x=5 \mathrm{~m}$

প্রযুক্ত বল দারা কৃতকাজ = ?

ঘর্ষণ বল দারা কৃতকাজ = ?

নিট কাজ = ?

(ক) প্রযুক্ত বল দ্রারা কৃতকাজ $= Fx \cos \alpha$

$=40 \mathrm{~N} \times 5 \mathrm{~m} \times \cos 30^{\circ}$

$=173.21 \mathrm{~J}$

(খ) ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ $=F_f x\cos \theta$

$=8 \mathrm{~N} \times 5 \mathrm{~m} \times \cos \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)$

$=-34.64 \mathrm{~J}$

(গ) নিট কাজ = প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃতকাজ + ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃতকাজ

$=173.21 \mathrm{~J}+(-34.64 \mathrm{~J})=138.57\;\mathrm{J}$

সমস্যা-২০। একটি স্প্রিংয়ের বল ধ্রুবক $1200 \mathrm{~Nm^{-1}}$ এর মুক্ত প্রান্তে $2\mathrm{~kg}$ ভরের একটি ব্লক সংযুক্ত আছে। স্প্রিংটি $0.2 \;\mathrm{m}$ প্রসারিত করে ছেড়ে দেওয়া হলো। ঘর্ষণ বল উপেক্ষা করে নির্ণয় কর (ক) ব্যবস্থাটির আদি বিভব শক্তি (খ) সাম্যাবস্থানে ব্লকটির দ্রুতি।

সমাধান:

(ক) আদি বিভবশক্তি $=\dfrac{1}{2} kx^{2}$

$=\dfrac{1}{2} kx^{2}$

$d=\dfrac{1}{2} \times 1200 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}(0.2 \mathrm{~m})^{2}$

$=24 \mathrm{~J}$

(খ) ধরি, সাম্যাবস্থানে ব্লকটির দ্রুতি $v \mathrm{ms}^{-1}$

সাম্যাবস্থানে সমস্ত স্থিতি শক্তি গতি শক্তিতে পরিণত হয়।

গতি শক্তি $=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

$\therefore \dfrac{1}{2} m v^{2}=24$

বা, $\dfrac{1}{2} \times 2 v^{2}=24$

বা, $v=\sqrt{24}$

$\therefore v=4.89$

অতএব, সাম্যাবস্থানে ব্লকটির দ্রুতি $4.89 \mathrm{~ms}^{-1}$.

অন্যান্য গাণিতিক সমস্যাঃ

১. একটি কণার উপর $\overrightarrow{\mathrm{F}}=(5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}) \mathrm{N}$ বল প্রয়োগ করলে কণাটির $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(3 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}) \mathrm{m}$ সরণ় হয় । বল দ্বারা সম্পাদিত কাজ কত?

৩. একটি বালক শিশুদের ট্রাই সাইকেলে বসা ছোট ভাইকে $80 \;\mathrm{~N}$ সমবলে ঠেলছে। ছোট ভাইকে $400 \mathrm{~J}$ গতি শক্তি প্রদান করতে হলে তাকে কত দূরত্ব ঠেলতে হবে?

8. একটি রাইফেলের গুলি নির্দিষ্ট পুরুত্বের একটি তক্তা ভেদ করতে পারে। ঐরূপ 16 তিক্তা ভেদ করতে হলে এর বেগ কতগুণ বাড়াতে হবে?

৫. একটি পাম্প ঘণ্টায় $25 \times 10^6 \mathrm{~kg}$ পানি $50 \mathrm{~m}$ উচুতে তুলতে পারে। পাম্পের ক্ষমতার $70 \%$ কার্যকর হলে প্রকৃত ক্ষমতা কত?

৬. একজন বালক ও একজন লোক  দৌড়াচ্ছেন। বালকটির ভর লোকের ভরের অর্ধেক এবং লোকটির গতি শক্তি বালকটির গতি শক্তির অর্ধেক। লোকটি যদি তার বেগ $1 \mathrm{~ms}^{-1}$ বৃদ্ধি করেন তবে তার গতি শক্তি বালকটির গতি শক্তির সমান হয়। এদের আদিবেগ নির্ণয় কর।

৭. $50$ কেজি ভরের এক ব্যক্তি $20 \mathrm{~kg}$ ভর মাথায় নিয়ে সিঁড়ি বেয়ে $10 \mathrm{sec}$ এ $20 \mathrm{~m}$ উঁচুতে উঠতে পারে। লোকটির ক্ষমতা কত?

৮. $1 \mathrm{~kg}$ ভরের বস্তুকে $20 \mathrm{~m}$ উচ্চতা থেকে ছেড়ে দেওয়া হলে ভূপৃষ্ঠকে স্পর্শ করার পূর্ব মুহূর্তে এর গতি শক্তি নির্ণয কর।

৯. $\mathrm{h}$ মিটার উঁচ স্থান থেকে একটি বস্তু পড়ে গেল। কোথায় তার গতি শক্তি স্থিতি শক্তির দ্বিগুণ হবে?

১০. $50 \mathrm{~kg}$ ভরের এক ব্যক্তি $5 \mathrm{sec}-এ$ কোনো সিড়ি বেয়ে $20$ ধাপ উঠলো। প্রতি ধাপের উচ্চতা $10 \mathrm{~cm}$ । লোকটি কত ক্ষমতা প্রয়োগ করেছিল?

১১. $1.5 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বস্তুকে $30 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। $2 \mathrm{~s}$ পর এর গতি শক্তি কত হবে?

১২. $20 \mathrm{~kg}$ ভরবিশিষ্ট একটি বন্দুক হতে গুলি ছুড়লে $10 \mathrm{~ms}^{-1}$ বেগে নির্গত হয়। গুলির ভর $100 \mathrm{~g}$ এবং গুলিটি একটি কাঠের তক্তায় $20 \mathrm{~cm}$ দূরত্ব প্রবেশ করে থেমে গেলে এর উপর প্রযুক্ত বাধাজনিত বল নির্ণয় কর।

১৩. এক ব্যক্তির সিঁড়ি বেয়ে উপর তলায় উঠতে $25 \mathrm{sec}$ সময় ব্যয় হয়। উপরে উঠতে মোট $75$ টি ধাপ অতিক্রম করতে হয়। প্রতিটি ধাপের উচ্চতা $12 \mathrm{~cm}$ ও ব্যক্তির ভর $50 \mathrm{~kg}$ হলে, লোকটির অশ্বক্ষমতা কত?

১8. $100 \mathrm{~g}$ ভরবিশিষ্ট একটি বস্তুকে $100 \mathrm{~m}$ ডঁচ একটি দালানের উপর থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। বস্তুটিকে ছেড়ে দেওয়ার $1 \mathrm{sec}$ পর  এটি যখন দালানের তলদেশে পৌছে তখন এর গতি শক্তি কত হবে, নির্ণয় কর।

১৫. একটি বরফখন্ডকে দড়ির সাহায্যে মসৃণ আনুভূমিক তলের উপর $5 \mathrm{~m}$ দূরত্বে টেনে আনা হলো। দড়ির টান $10 \mathrm{~N}$ এবং দড়িটি উক্ত তলের সাথে $30^{\circ}$ কোণ করে থাকলে কৃতকাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।

১৬. একটি ক্রেন $3.73 \mathrm{~kW}$ ক্ষমতা প্রয়োগে $746 \mathrm{~N}$ ওজনের একটি লৌহখন্ডকে কত গড় বেগে খাড়া উপরে তুলতে পারবে?

১৭. একটি বালক $5$ সেকেন্ডে $100$ পাউন্ডের একটি বোঝা 9 ইঞ্চি উঁচু ধাপের $20$ টি ধাপ উপরে তুলল। তার অশ্বক্ষমতা বের কর।

১৮. $12 \mathrm{~kg}$ ভরবিশিষ্টি একটি বস্তু স্থিরাবস্থায় ছিল। $60 \mathrm{~N}$ বল প্রয়োগ করার $15$ সেকেন্ড পর বস্তুটির গতি শক্তি কত হবে?

১৯. $300 \mathrm{~m}$ ডঁচু থেকে একটি বস্তু অভিকর্ষের টানে মুক্তভাবে নিচে পড়লে কত নিচে তার গতি শক্তি স্থিতি শক্তির অর্ধেক হবে?

২०. $50 \mathrm{~m}$ উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে কত উচ্চতায় তার গতি শক্তি বিভব শক্তির তিন গুণ হবে?

২১. একটি গাড়ি কত উচ্চতা থেকে অভিকর্ষের টানে তার অর্জিত গতি শক্তি প্রতি ঘণ্টায় $176.4 \mathrm{~km}$ বেগে চলাকালীন গতি শক্তির সমান হবে?

২২. $10 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি কণার বেগ $\mathrm{ms}^{-1}-এ(7 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})$ হলে এর গতি শক্তি কত হবে?

২৩. $144 \mathrm{~kg}$ ভরের এক ব্যক্তি $65 \mathrm{~kg}$ ভরের একটি বোঝা নিয়ে $2 \mathrm{~m}$ দীর্ঘ একটি সিঁড়ি বেয়ে $2 \mathrm{~min} $ এ উপরে ওঠে। যদি সিড়িটি অনুভূমিকের সাথে $30^{\circ}$ কোণে আনত থাকে, তবে ঐ ব্যক্তির ক্ষমতা কত?

২৪. $49\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর নামার সময় কোথায় বিভব শক্তি $\dfrac{1}{4}$ অংশ হারাবে ?

মন্তব্যঃ হারানো বিভব শক্তি $=$ অর্জিত গতিশক্তি

অথবা, হারানো গতিশক্তি $=$ অর্জিত বিভবশক্তি 

২৫. $100\;\mathrm{m}$ উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তু কোথায় বিভব শক্তি এক-তৃতীয়াংশ হারাবে?

২৬. $29.4\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তু কোথায় গতিশক্তি $\dfrac{1}{5}$ অংশ হারাবে ?

                                         সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

$ 60\;\mathrm{m}$ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি ভবনে $10$ টি সিমেন্টের বস্তা কার্গো লিফটে উঠানোর সময় $60\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় লিফটের তার ছিঁড়ে মুক্তভাবে নিচে পড়তে থাকলো। শুধু কার্গো লিফটের ভর $50\;\mathrm{kg}$ এবং বস্তাগুলোর ভর  $ 500\;\mathrm{kg}$ ।

(গ) $20\;\mathrm{m}$ নিচে নামলে কার্গো লিফটের মোট শক্তি কত হবে এবং বিভব শক্তি গতিশক্তির কতগুণ হবে?

(ঘ) $25\;\mathrm{m}$ নিচে নামার পর তিনটি বস্তা লিফট থেকে ছিটকে আলাদা হয়ে গেলে ঐ অবস্থানে মোট শক্তির শতকরা পরিবর্তন কত হবে?

(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$60 m$ উচ্চতায় কার্গো লিফটের বিভবশক্তি $= 20 m $ নিচে কার্গো লিফটের মোটশক্তি ($E$)

বা, $ 550 \times 9.8 \times60=E$

বা,$E=323400\;\mathrm{J}$

$20 m $ নিচে বেগ , $v=\sqrt{u^2+2gh}$

$=\sqrt{0+2\times 9.8\times 20}$

$=\sqrt{392}$

$20m$ নিচে $B$বিন্দুতে গতিশক্তি,$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$

$=\frac{1}{2}\times (500+50) \times (\sqrt{392})^2$

$=107800 J$

$20m$ নিচে $B$বিন্দুতে বিভবশক্তি,$E_p=40m$ উচ্চতায় বিভব শক্তি

$=mgh$

$=550\times 9.8 \times 40$

$=215600 J$

সুতরাং $B$বিন্দুতে মোটশক্তি,$E=E_k+E_p=(107800+215600)J=323400J$

যা শক্তির নিত্যতা সূত্রকে সমর্থন করে ।

(ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$10$ টি বস্তা নিয়ে $A$ বা $D$ অবস্থানে মোট শক্তি,$E_1=550\times 9.8\times 60 =323400J$

$7$ টি বস্তা নিয়ে $A$ বা $D$ অবস্থানে মোট শক্তি,$E_2=(550-3×50)\times 9.8\times 60 =235200J$

এখন,

$\frac{E_2}{E_1}=\frac{235200}{323400}$

বা,$\frac{E_2}{E_1}=0.7273$

বা,$\frac{E_2}{E_1}=72.73\times 100％$

$\therefore E_2=72.73％ \times E_1$

অর্থাৎ বর্তমানে মোটশক্তি পূর্বের $72.73％$

বিকল্প নিয়মঃ

$10$ টি বস্তা নিয়ে $A$ বা $D$ অবস্থানে মোট শক্তি,$E_1=550\times 9.8\times 60 =323400J$

তিনটি বস্তা ছিটকে পড়ে গেলে বর্তমান ভর,$m=(550-3\times 50)kg=400 kg$

$A$অবস্থানে আদিবেগ,$u=0$

অতিক্রান্ত দূরত্ব,$s=25 m$

ভূমি হতে উচ্চতা,$h=(60-25)m=35m$

$D$বিন্দুতে বেগ,$=v$ হলে ,

$v^2=u^2+2gs$

$=0+2\times 9.8 \times 25$

$=490$

সুতরাং $D$বিন্দুতে গতিশক্তি,$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

$=\frac{1}{2}\times 400\times 490$

$=98000J$

এবং বিভবশক্তি , $E_p=mgh$

$E_p=400\times 9.8\times 35$

$=137200 J$

সুতরাং $D$বিন্দুতে মোটশক্তি,$E_2=E_k+E_p=(98000+137200) J =235200 J$

এখন,

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{323400}{235200}$

বা,$\frac{E_1}{E_2}=1.375$

বা,$\frac{E_1}{E_2}=1.375\times 100％$

$\therefore E_1=137.5％ \times E_2$

পূর্বের মোট শক্তি বর্তমানের $137.5％ $

গাণিতিক প্রশ্নঃ

আনুভূমিকের সাথে $ 60^\circ $ কোণে $ 60 \;\mathrm{N}$ বল প্রয়োগে $ 5\;\mathrm{N}$ ঘর্ষণবলের বিরুদ্ধে একটি বস্তুকে টেনে $ 7\;\mathrm{m}$ সরাতে কৃতকাজ কত হবে?

সমাধান

$OA$ বরাবর $60\;\text{N}$ লব্ধিবলের $OB$ বরাবর আনুভূমিক উপাংশ

$F_x=60\cos{60°}$

$=60\times \frac{1}{2}$ $=30\;\text{N}$

$=$ভূমি বরাবর প্রযুক্ত বল

$OC$ বরাবর ঘর্ষণ বল , $f=5\;\text{N}$

সুতরাং কার্যকর বল,$F=F_x-f$

$=(30-5)\;\text{N}$

$=25\;\text{N}$

এই বলের অভিমুখ $OB$ বরাবর ।

বলের অভিমুখে সরণ $s=7\;\text{m}$

সুতরাং কৃতকাজ, $W=Fs$

$=25\times 7$

$=175J$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

$10\;\mathrm{g}$ ভরের একটি মার্বেলকে $3\;\mathrm{N}$ বল প্রয়োগ করায় $1\;\mathrm{N}$ ঘর্ষণযুক্ত মেঝেতে বলের সাথে $30°$ কোণে $5\;\mathrm{m}$ সরে গেলে কৃতকাজ কত হবে?

সূত্রঃ  $W=\left(F\cos\theta-f\right)×s$

গাণিতিক প্রশ্নঃ

$1500\;\text{kg}$ ভরের একটি লিফট সর্বোচ্চ $1000\;\text{kg}$ ভর বহন করতে পারে । $3000\;\text{N}$ মানের একটি ধ্রুব ঘর্ষণ বল এর ঊর্ধ্বমুখী গতি ব্যাহত করে । লিফটিকে $5\;\mathrm{ms^{-1}}$ সমদ্রুতিতে উপরের দিকে উঠাতে হলে মোটরের সর্বনিম্ন কত ক্ষমতা সরবরাহ করতে হবে?

সমাধানঃ

মোট ভর, $m=(1500+1000)\;\mathrm{kg}=2500\;\mathrm{kg}$

ওজন এবং ঘর্ষণ বলের সমপরিমাণ বল প্রয়োগ করে লিফটটিকে সর্বনিম্ন সমদ্রুতিতে উপরের দিকে উঠানো সম্ভব।

সুতরাং প্রযুক্ত বল $F=$ ঘর্ষণ বল $+$ ওজন

$=3000\;\text{N}+mg$

$=(3000+2500×9.8)\;\mathrm{N}$

$=27500\;\mathrm{N}$

বেগ, $v=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

মোটরের সর্বনিম্ন ক্ষমতা, $P=Fv$

$=27500×5$

$=137500\;\mathrm{W}$

$=137.5\;\mathrm{kW}$ (Ans.)

গাণিতিক সমস্যাঃ

$1200\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি লিফট সর্বোচ্চ $800\;\mathrm{kg}$ ভর বহন করতে পারে । $2000\;\mathrm{N}$ মানের একটি ধ্রুব ঘর্ষণ বল এর ঊর্ধ্বমুখী গতি ব্যাহত করে ।লিফটিকে $4\;\mathrm{ms^{-1}}$ সমবেগে উপরের দিকে উঠাতে হলে $80\%$ কর্মদক্ষতার মোটরের সর্বনিম্ন কত ক্ষমতা সরবরাহ করতে হবে?

সমাধানঃ

মোট ভর, $m=(1200+800)\;\mathrm{kg}=2000\;\mathrm{kg}$

ওজন এবং ঘর্ষণ বলের সমপরিমাণ বল প্রয়োগ করে লিফটটিকে সর্বনিম্ন সমদ্রুতিতে উপরের দিকে উঠানো সম্ভব।

সুতরাং প্রযুক্ত বল $F=$ ঘর্ষণ বল $+$ ওজন

$=2000\;\text{N}+mg$

$=(2000+2000×9.8)\;\mathrm{N}$

$=21600\;\mathrm{N}$

বেগ, $v=4\;\mathrm{ms^{-1}}$

সর্বনিম্ন লভ্য কার্যকর ক্ষমতা, $P_o=Fv$

$=21600×4$

$= 86400\;\mathrm{W}$

$=86.4\;\mathrm{kW}$

কর্মদক্ষতা, $\eta =80\%$

$=0.8$

মোটরের সর্বনিম্ন ক্ষমতা, $P_i=?$ (প্রদত্ত ক্ষমতা)

$\eta =\dfrac{P_o}{P_i}$

বা, $P_i=\dfrac{P_o}{\eta}$

$=\dfrac{86.4\;\mathrm{kW}}{0.8}$

$=108\;\mathrm{kW}$ (Ans.)

গাণিতিক প্রশ্নঃ

 একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা $12\;\mathrm{m}$ এবং ব্যাস $1.8\;\mathrm{m}$ । $20\%$ কর্মদক্ষতা নষ্ট হয় এমন $10\;\mathrm{kW}$ মোটরের সাহায্যে কুয়াটির প্রথম এক- তৃতীয়াংশ পানি তুলতে এবং পরবর্তী অর্ধেক পানি তুলতে সময়ের ব্যবধান কত হবে নির্ণয় কর?

সমাধানঃ

কূপের ব্যাস, $d=1.8\;\mathrm{m}$

 কূপের ব্যাসার্ধ, $r=\dfrac{1.8}{2}$

                          $=0.9\;\mathrm{m}$

 কূপের গভীরতা, $h=12\;\mathrm{m}$

কূপের আয়তন, $V=\pi r^2 h$

                            $=\pi ×0.9^2×12\;\mathrm{m^3}$

                            $= 30.536281 \;\mathrm{m^3}$

                            $=$ পানির আয়তন

পানির ঘনত্ব, $\rho=1000\;\mathrm{kgm^{-3}}$

পানির ভর, $m=\rho V$

                     $=1000× 30.536281 \;\mathrm{kg}$

                     $= 30536.281 \;\mathrm{kg}$

মোটরের কর্মদক্ষতা, $\eta =(100-20)\%=80\%=0.8$

মোটরের ক্ষমতা, $P_i=10\;\mathrm{kW}=10000\;\mathrm{W}$

মোটরের কার্যকর ক্ষমতা, $P_o= P_i\; এর \; 0.8$

                                                 $=10000×0.8$

                                                 $=8000\;\mathrm{W}$

কূপের এক-তৃতীয়াংশের গভীরতা $=\dfrac{12}{3}=4\;\mathrm{m}$

এক-তৃতীয়াংশ পানি তোলার ক্ষেত্রে পানির ভরকেন্দ্রের সরণ বা গড় গভীরতা, $h_1=4÷2=2\;\mathrm{m}$

এক-তৃতীয়াংশ পানির ভর, $m_1=\dfrac{30536.281}{3}= 10178.76\;\mathrm{kg}$

সুতরাং মোটরের এক-তৃতীয়াংশ পানি তুলতে সময়, 

  $t_1=\dfrac{m_1gh_1}{P_o}$

         $=\dfrac{10178.76×9.8×2}{8000}$

         $= 24.94\;\mathrm{s}$

অবশিষ্ট পানির গভীরতা $=(12-4)\;\mathrm{m}=8\;\mathrm{m}$

অবশিষ্ট পানির অর্ধেক গভীরতা $h_2=8÷2=4\;\mathrm{m}$

অবশিষ্ট পানির অর্ধেকের ভর, $m_2=\rho×\pi r^2 h_2 $

                                                   $=1000×\pi×0.9^2×4$

                                                   $= 10178.76 \;\mathrm{kg}$

অবশিষ্ট পানির অর্ধেকের ভরকেন্দ্রের সরণ, $h_3=(4+4÷2)\;\mathrm{m}=6\;\mathrm{m}$

সুতরাং মোটরের পরবর্তী অর্ধেক পানি তুলতে সময়, 

  $t_2=\dfrac{m_2gh_3}{P_o}$

         $=\dfrac{10178.76×9.8×6}{8000}$

         $=  74.81\;\mathrm{s}$

সময়ের ব্যবধান, $\Delta t=t_2-t_1=(74.81-24.94)\;\mathrm{s}= 49.87\;\mathrm{s}$

গাণিতিক সমস্যাঃ                     

$1500\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি ইঞ্জিন $2\;\mathrm{ms^{-1}}$ ধ্রুববেগে চলাকালে প্রতি কিলোগ্রামে $2\;\mathrm{N}$ বাঁধা প্রতিরোধ করতে হয়। ইঞ্জিন এর ক্ষমতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

          $1\;\mathrm{kg}$ এ বাঁধা $2\;\mathrm{N}$

সুতরাং $1500\;\mathrm{kg}$ এ বাঁধা  $2×1500\;\mathrm{N}$

                                 $=3000\;\mathrm{N}=F$

বেগ, $v=2\;\mathrm{ms^{-1}}$

সুতরাং ইঞ্জিনটির ক্ষমতা, $P=Fv$

                                          $=3000×2$

                                          $=6000\;\mathrm{W}$

গাণিতিক সমস্যাঃ

মুক্তভাবে পড়ন্ত $7\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তু $5\;\mathrm{s}$ পর কতটুকু শক্তি হারাবে?

সমাধানঃ

মনেকরি,

$h\;\mathrm{m}$ উচ্চতা থেকে বস্তুটি পড়ছে।

সুতরাং ঐ উচ্চতায় বস্তুটির বিভব শক্তি, $E_{p_1}=mgh=7gh$

$t=5\;\mathrm{s}$ সময়ে বস্তুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব, $h_1=\dfrac{1}{2}gt^2$

                                                                        $=\dfrac{1}{2}×g×5^2$

                                                                        $=12.5g$

ভূমি হতে বস্তুটির উচ্চতা, $h^\prime=h-h_1=h-12.5g$

$\therefore h^\prime $ উচ্চতায় বস্তুটির বিভবশক্তি, $E_{p_2}=mg(h-12.5g)$

                                                              $=7g(h-12.5g)$

 সুতরাং হারানো বিভবশক্তি, $\Delta E=E_{p_1}-E_{p_2}$

                                                   $=7gh-7g(h-12.5g)$

                                                   $=7gh-7gh+12.5g^2$

                                                   $=12.5g^2$

                                                   $=12.5×9.8^2$

                                                   $= 1200.5\;\mathrm{J}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

১.অভিকর্ষের টানে মুক্তভাবে পড়ন্ত $10\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তুর সপ্তম সেকেন্ডে হারানো বিভব শক্তি কত হবে ?

২. $500\;\mathrm{g}$ ভরের একটি বস্তুকে $100\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে $4\;\mathrm{s}$ পর কি পরিমাণ শক্তির হ্রাস ঘটবে?

৩. একটি বস্তুকে $50\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে খাড়া উপরের দিক নিক্ষেপ করলে $7\;\mathrm{s}$ পর গতিশক্তির শতকরা পরিবর্তন কত হবে?

গাণিতিক সমস্যাঃ

একজন লোকের ভর এবং গতিশক্তি একজন বালকের দ্বিগুণ। বালকটির বেগ $2\;\mathrm{ms^{-1}}$ বৃদ্ধি করলে লোকটির গতিশক্তির সমান হয়। তাদের বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনেকরি, বালকটির ভর, $m_1=m\;\mathrm{kg}$

 সুতরাং লোকটির ভর, $m_2=2m\;\mathrm{kg}$

বালকটির বেগ, $v_1=u\;\mathrm{ms^{-1}}$

লোকটির বেগ, $v_2=v\;\mathrm{ms^{-1}}$

বালকটির গতিশক্তি, $E_{k_1}=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2=\dfrac{1}{2}mu^2$

লোকটির গতিশক্তি, $E_{k_2}=\dfrac{1}{2}m_2v_2^2$

                                       $=\dfrac{1}{2}×2m×v^2$

                                       $= mv^2$

প্রশ্নমতে, $E_{k_2}=2E_{k_1}$

        বা, $mv^2=2×\dfrac{1}{2}mu^2$

        বা, $v=u$

বালকটির বেগ $2\;\mathrm{ms^{-1}}$ বৃদ্ধি করলে উভয়ের গতিশক্তি সমান হয়।

অর্থাৎ, $mv^2=\dfrac{1}{2}m(u+2)^2$

বা, $v^2=\dfrac{1}{2}(v+2)^2$

বা, $ v^2=\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}}(v+2)\right\}^2$

বা, $v=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(v+2)$

বা, $\sqrt{2}v=v+2$

বা, $\sqrt{2}v-v=2$

বা, $\left(\sqrt{2}-1\right)v=2$

বা, $v=\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}$

$\therefore v=4.83\;\mathrm{ms^{-1}}$

সুতরাং বালক এবং লোকটির বেগ একই এবং বেগের মান $4.83\;\mathrm{ms^{-1}}$.

গাণিতিক সমস্যাঃ

$3\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তু $10\;\mathrm{m}$ উচ্চতা থেকে পড়ে কাদার মধ্যে $75\;\mathrm{cm}$  প্রবেশ করে। কাদার প্রতিরোধকারী বলের মান কত?

সমাধানঃ

ভর, $m=3\;\mathrm{kg}$

আদিবেগ, $u=0\;\mathrm{m}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.8\;\mathrm{ms^{-2}}$

উচ্চতা, $h=10\;\mathrm{m}$

কাদায় সরণ, $s=75\;\mathrm{cm}=0.75\;\mathrm{m}$

 কাদার প্রতিরোধী বল, $F=?$

কাদায় আঘাতের সময় গতিশক্তি, 

$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$

    $=\dfrac{1}{2}×3×\left(u^2+2gh\right)$

    $=\dfrac{1}{2}×3×\left(0^2+2×9.8×10\right)$

    $=1.5×196$

    $=29.4\;\mathrm{J}$

এই গতিশক্তি দ্বারা বস্তুটি কাদায় প্রবেশের কৃতকাজ সম্পন্ন করবে।

সুতরাং কৃতকাজ $=$ গতিশক্তি

                      $Fs=29.4$

                  বা, $F×0.75=29.4$

                  বা, $F=\dfrac{29.4}{0.75}$

                  $\therefore F=39.3\;\mathrm{N}$

অনুরূপ গাণিতিক সমস্যাঃ

$2\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তুকে বালির উপর থেকে $8\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে পড়ে বালির মধ্যে $50\;\mathrm{cm}$ প্রবেশ করে। বালির প্রতিরোধকারী বলের মান কত?

গাণিতিক সমস্যাঃ

$4\;\mathrm{kg}$ভরের একটি হাতুড়ি দেয়ালের সাথে অভিলম্ব ভাবে রক্ষিত একটি পেরেক কে কত বেগে আনুভূমিকভাবে আঘাত করলে পেরেকটি $650\;\mathrm{N}$ বল প্রতিরোধ করে দেয়ালের মধ্যে

$0.025\;\mathrm{m}$ ঢুকে যাবে?

সমাধানঃ

 হাতুড়ির ভর, $m=4\;\mathrm{kg}$

বেগ, $v=?$

পেরেকের সরণ, $s=0.025\;\mathrm{m}$

 দেয়ালের প্রতিরোধী বল, $F=650\;\mathrm{N}$

পেরেকে আঘাতের সময় হাতুড়ির গতিশক্তি, 

$E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$

এই গতিশক্তি দ্বারা দেয়ালে পেরেক প্রবেশের কৃতকাজ সম্পন্ন হবে।

সুতরাং কৃতকাজ $=$ গতিশক্তি

                      $Fs=E_k$

                  বা, $650×0.025=\dfrac{1}{2}mv^2$

                  বা, $\dfrac{1}{2}×4×v^2=16.25$

               $\therefore v= 2.85\;\mathrm{ms^{-1}}$

অনুরূপভাবে সমাধান করঃ

$1.5\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি হাতুড়ি আনুভূমিক কাঠের উপর উলম্বভাবে রক্ষিত একটি পেরেক কে খাড়া নিচের দিকে $1\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে আঘাত করায় পেরেকটি কাঠের মধ্যে $0.02\;\mathrm{m}$ ঢুকে যায়। গড় বাধা নির্ণয় করো।

গাণিতিক সমস্যাঃ

$0.2$ ঘর্ষণ গুণাঙ্ক বিশিষ্ট $45°$ কোণে হেলানো তল এর শীর্ষ ভূমি থেকে $2.5\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় অবস্থিত তলটির পাদদেশ থেকে $20\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তুকে  উপরে উঠাতে তল টির সমান্তরালে কি পরিমাণ  বল প্রয়োগ করতে হবে? কৃতকাজের পরিমাণ কত হবে?

সমাধানঃ

তলের দৈর্ঘ্য হবে তলদ্বারা ভূমির সাথে গঠিত ত্রিভুজের অতিভুজ $(s)$ । 

উচ্চতা বা লম্ব, $h=2.5\;\mathrm{m}$.

কোণ, $\theta=45°$

সুতরাং $\sin\theta=\dfrac{h}{s}$

    বা, $\sin 45°=\dfrac{2.5}{s}$

    বা, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2.5}{s}$

    বা, $s=2.5×\sqrt{2}$

    $\therefore s=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\;\mathrm{m}$

ঘর্ষণ সহগ, $\mu=0.2$

ঘর্ষণ বল, $f=\mu mg$

                 $=0.2×20×9.8$

                  $=39.2\;\mathrm{N}$

প্রযুক্ত বল $F=$ ওজনের উলম্ব উপাংশ $+$ ঘর্ষণ বল

                  $=mg\sin\theta+f$

                  $=20×9.8\sin 45°+39.2$

                  $= 277.186+39.2$

                  $= 316.386\;\mathrm{N}$

কৃতকাজ, $W=Fs$

                   $= 316.386×\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

                   $= 1118.59\;\mathrm{J}$

গাণিতিক প্রশ্নঃ

বাতাসের প্রবাহী ঘর্ষণ কত হলে $4\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বস্তু $15.6\;\mathrm{m}$ উপর হতে ভূপৃষ্ঠকে $15.6\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে আঘাত করবে?

সমাধানঃ

ভর, $m=4\;\mathrm{kg}$

আদিবেগ, $u=0\;\mathrm{ms^{-1}}$

অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s=15.6\;\mathrm{m}$

শেষ বেগ, $v=15.6\;\mathrm{ms^{-1}}$

$\therefore v^2=u^2+2as$

বা, $15.6^2=0+2×a×15.6$

বা, $2×a×15.6=15.6^2$

বা, $a=\dfrac{15.6×15.6}{2×15.6}$

$\therefore a=7.8\;\mathrm{ms^{-2}}$

কার্যকর বল, $F=$ বস্তুর ওজন$(W)$ $-$ প্রবাহী ঘর্ষণ$(f)$

বা, $f=W-F$

       $=mg-ma$

       $=4×9.8-4×7.8$

       $=8\;\mathrm{N}$

গাণিতিক সমস্যাঃ 

একটি মোটর $30\;\mathrm{m}$ গভীর থেকে প্রতি মিনিটে $500\;\mathrm{kg}$ পানি তুলতে পারে। যদি পানি বের হওয়ার বেগ $5\;\mathrm{ms^{-1}}$ হয় তবে মোটরের ক্ষমতা কত?

সমাধানঃ

গভীরতা, $h=30\;\mathrm{m}$

সময়, $t=1min.=60\;\mathrm{s}$

ভর, $m=500\;\mathrm{kg}$

বেগ, $v=5\;\mathrm{ms^{-1}}$

মোটরের ক্ষমতা, $P=?$

$\therefore P=\dfrac{mgh+\dfrac{1}{2}mv^2}{t}$

         $=\dfrac{500×9.8×30+\dfrac{1}{2}×500×5^2}{60}$

         $=\dfrac{ 15325 }{ 6 }\;\mathrm{W}$

গাণিতিক সমস্যাঃ

সম্পর্কিত একটি ইটের দৈর্ঘ্য $0.24$ মিটার, প্রস্থ $0.12$ মিটার ও উচ্চতা $0.06$ মিটার। ইটের ভর $2$ কেজি। ইটের দৈর্ঘ্যকে অনুভূমিক অবস্থান থেকে উলম্ব অবস্থানে রাখতে কী পরিযাণ কাজ করতে হবে? 

সংকেতঃ $\mathrm{mg}(\mathrm{l} / 2-\mathrm{h} / 2)$

গাণিতিক সমস্যাঃ

একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় ফেলে দেওয়া হয়। ভূমি হতে $10\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় গতিশক্তি বিভবশক্তির দ্বিগুণ হলে কত উচ্চতা থেকে ফেলে দেওয়া হয়েছিল?

সমাধানঃ

ধরি, বস্তুর ভর = m কেজি

উচ্চতা = $\mathrm{h}$ মিটার

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g$ = $9.8$ মিটার/সেকেন্ড²

m ভোরের বস্তুটি h উচ্চতা থেকে বিনা বাধায় ফেলে দেওয়া হলো।

ভূমি থেলে 10 মিটার উচ্চতায় এর,

বিভবশক্তি,Ep = mg10

গতিশক্তি,Ek = mg(h-10)

প্রশ্নমতত,

$E k=2 E p$

বা, mg $(h-10)=2 \mathrm{mg} 10$

বা, $m g(h-10)=m g 20$

বা, $h-10=20$

বা, $h=20+10$

সুতরাং, $h=30$

অর্থাৎ, বস্তুটিকে 30 মিটার উচ্চতা থেকে ফেলা হয় ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

$60\;\mathrm{kg}$  ভরের একজন ব্যাক্তি $20\;\mathrm{kg}$ বোঝা নিয়ে $AD$ পথে $D$ বিন্দুতে উঠলো । কিন্তু বোঝাটি $CD$ পথে তুলতে লোকটির কষ্ট কম হয় ।

(ক) একক কাজ কাকে বলে ?

(খ) কোনো বস্তুর গতিশক্তি  কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না কেন ?

(গ) $AD$ পথে বোঝাটি তুলতে লোকটির কৃতকাজের পরিমাণ নির্ণয় কর ।

(ঘ) $CD$ পথে কষ্ট কম হয় কেন গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মতামত দাও ।

(ক) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

একক বল দ্বারা বলের দিকে বস্তুর এক একক সরণ ঘটলে যে পরিমাণ কাজ সম্পন্ন হয় তাকে একক কাজ বলে।

(খ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

গতিশক্তি, $E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$

গতিশক্তি বস্তুর ভর এবং বেগের বর্গের উপর নির্ভরশীল। ভর ঋণাত্মক হয় না কিন্তু বেগ ঋণাত্মক হতে পারে। বেগের বর্গ ঋণাত্মক না হওয়ায় গতিশক্তি ঋণাত্মক হয় না।

(গ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

$\angle{ADB}=\theta=45°$

ওজনের $AD$ বরাবর উপাংশ বা আনুভূমিক উপাংশ $F=mg\cos\theta$ এবং সরণ, $AD=s=3\sqrt{2}\;\mathrm{m}$.

কৃতকাজ, $W=Fs$

                   $=mg\cos\theta ×s$

                   $=(60+20)×9.8×3\sqrt{2}×\sin 45°$

                   $=80×9.8×3\sqrt{2}×\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

                   $= 2352 \;\mathrm{J}$

(ঘ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

$\triangle{ABD}$ এ $\sin 45°=\dfrac{h}{3\sqrt{2}}$

                       বা, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{h}{3\sqrt{2}}$

                      বা, $h=3\;\mathrm{m}$

$\angle{BCD}=\alpha =30°$ এর 

    $\sin\alpha=\dfrac{h}{CD}$

বা, $\sin 30° =\dfrac{3}{CD}$

বা, $\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{CD}$

বা, $CD=6\;\mathrm{m}=l$

$\angle{CDB}=\beta=90°-30°=60°$

ওজনের $CD$ বরাবর উপাংশ বা আনুভূমিক উপাংশ $F=mg\cos\beta$ এবং সরণ, $CD=l=6\;\mathrm{m}$.

কৃতকাজ, $W=Fs$

                   $=mg\cos\beta×l$

                   $=(60+20)×9.8×\cos 60°×6$

                   $=80×9.8×6×\dfrac{1}{2}$

                   $= 2352 \;\mathrm{J}$

সুতরাং দুই তল বরাবর কৃতকাজ একই।

এখন যে তলের ঢাল কম সেই তলের যান্ত্রিক সুবিধা বেশি।

$AD$ তলের ঢাল, $m_1=\mathrm{\dfrac{Rise}{Run}}=\tan\theta=\tan 45°=1$

$CD$ তলের ঢাল, $m_2=\tan\alpha=\tan 30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\because m_2<m_1$ , তাই $CD$ তল বরাবর যান্ত্রিক সুবিধা বেশি এবং এই পথে কষ্ট কম।

সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

রাশেদ $1\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি বাটখারা $10\;\mathrm{m}$ উপর থেকে নিচে ফেলে দিল । ভূপৃষ্ঠকে স্পর্শ করার মূহুর্তে এটি একটি ইটকে আঘাত করে দ্বিখন্ডিত করে ফেলল ।

(ক) সংরক্ষণশীল বল কাকে বলে ।

(খ) বল দ্বারা কোনো কাজ না হওয়ার শর্ত লেখ ।

(গ) বাটখারা টির সম্পূর্ণ গতি শক্তি যদি ইট দ্বিখন্ডিতকরনে ব্যাবহৃত হয় , তবে রাশেদের ইটটি ভাঙতে কী পরিমাণ শক্তি ব্যয়িত হয়েছিল ।

(ঘ) ইটটি ভাঙতে যদি রাশেদের অর্ধেক পরিমাণ গতি শক্তিপ্রয়োজন হতো , তবে এটিকে ভূমি হতে $5.5\;\mathrm{m}$ উচ্চতায় স্থাপন করা হলে বাটখারার আঘাতে দ্বিখন্ডিত হতো কিনা  তা যাচাই কর ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

চিত্রের ব্লকটিকে $AC$ পথে $C$ বিন্দুতে তোলার জন্য দুটি ভিন্ন দিকে বল প্রয়োগ করা হয়েছে । চিত্র $– ১$ এর জন্য $AC$ কে ঘর্ষণহীন এবং চিত্র $– ২$ এর জন্য $AC$ কে ঘর্ষণযুক্ত (ঘর্ষণ সহগ $0.25$)  ধরা  হয়েছে ।

(ক) স্প্রিং ধ্রুবক কী ?

(খ) $500\;\mathrm{J}$ কাজ বলতে কী বোঝ ?

(গ) ব্লকটিকে $C$ বিন্দুতে তোলার জন্য চিত্র $– ১$ এর ক্ষেত্রে কৃতকাজের পরিমাণ নির্ণয় কর ।

(ঘ) ব্লকের চলার পথ ঘর্ষণযুক্ত হওয়ায় চিত্র $– ২$  এর জন্য এ কাজের পরিমাণ কম না বেশি হবে – বিশ্লেষণ কর ।

(ক) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

স্প্রিং সংকোচন বা প্রসারণে প্রযুক্ত বল এবং সংকোচন বা প্রসারণের অনুপাতকে স্প্রিং ধ্রুবক বলে। প্রযুক্ত বল $F$ এবং সংকোচন বা প্রসারণ $x$ হলে

স্প্রিং ধ্রুবক, $k=\dfrac{F}{x}$

(খ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

$500\;\mathrm{J}=500\;\mathrm{N}×1\;\mathrm{m}$ বলতে বোঝায় কোন বস্তুর উপর $500\;\mathrm{N}$ বল প্রয়োগে বলের অভিমুখে বস্তুর $1\;\mathrm{m}$ সরণ ঘটে।

(গ) নং প্রশ্নের সমাধানঃ

সৃজনশীল প্রশ্ন-৪:

একটি দালানের ছাদের সাথে দুটি মই লাগানো আছে । একটি মইয়ের দৈর্ঘ্য $5\;\mathrm{m}$ এবং এটি অনুভূমিকের সাথে $30°$  কোণ উৎপন্ন করে । অপর মই – এর দৈর্ঘ্য $2.887\;\mathrm{m}$ এবং সেটি অনুভূমিকের সাথে $60°$ কোণ উৎপন্ন করে । $70\;\mathrm{kg}$ ভরের দুই জন নির্মাণ শ্রমিক মাথায় $20\;\mathrm{kg}$  বোঝা নিয়ে দুই মই দিয়ে ছাদে উঠলেন ।

(ক) বলের দ্বারা কাজ কী ?

(খ) কাজকে দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল হিসেবে সংঙ্গায়িত কর ।

(গ) প্রথম শ্রমিক ছাদে ওঠার জন্য কত কাজ করেছেন ?

(ঘ) উভয় শ্রমিকই যদি $6$ সেকেন্ডে ছাদে ওঠেন তাহলে কে বেশি ক্ষমতা প্রয়োগ করেছেন গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ণয় কর ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৫:

$5\;\mathrm{ms^{-1}}$ বেগে গতিশীল $50\;\mathrm{kg}$  ভরের কোনো বস্তুর ওপর $100\;\mathrm{N}$ বল প্রযুক্ত হওয়ায় $20\;\mathrm{s}$ পরে বস্তুটি সর্বোচ্চ বেগ অর্জন করে ।

(ক) গতিশক্তি কী ?

(খ) সংরক্ষণশীল বল ও অসংরক্ষণশীল বলের পার্থক্য বর্ণনা কর ।

(গ) উদ্দীকের বস্তুটি এই সময়ে কত সময় অতিক্রম করে ?

(ঘ) গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখাও যে, বস্তুটির উপর বল দ্বারা কৃত কাজ বস্তুটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান ।

সৃজনশীল প্রশ্ন-৬:

$5\;\mathrm{kg}$ ভরের একটি  বস্তুকে খারা উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো । সর্বোচ্চ উচ্চতায় বস্তুর মোট শক্তি হলো  $6002.5\;\mathrm{J}$     ।

(ক) বিভব শক্তি কী ?

(খ) শক্তির নিত্যতার সূত্রটি বর্ণনা কর ।

(গ) উদ্দীপকে উল্লেখিত বস্তুটিকে কত বেগে নিক্ষেপ করা হয়েছিল ।

(ঘ) গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে $32.5\;\mathrm{m}$  উচ্চতায় বস্তুটির গতি শক্তি ও বিভব শক্তি নির্ণয় করে দেখাও যে , মোট শক্তি ধ্রুব ।

৪৩. $100 \ \mathrm {kW}$ এর একটি তড়িৎ মোটর $100 \ \mathrm {kg}$ পানি $45$ সেকেন্ড $300 \ \mathrm {m}$ উঁচু ছাদে তুলতে পারে।

ক. সংরক্ষনশীল বল কাকে বলে?

খ. গতিশক্তির সাথে ভরবেগ কীভাবে সম্পর্কিত তা দেখাও।

গ. মোটরটির কর্মদক্ষতা কত?

ঘ. মোটরটির কর্মদক্ষমা $90\%$ হলে উল্লিখিত সময়ে মোটরটির ব্যয়িত শক্তির পরিমাণ গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

১৪. একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা $12 \ \mathrm {m}$ এবং ব্যাস $1.8 \ \mathrm {m}$। একটি পাম্প $24$ মিনিটে কুয়াটির পানি খালি করতে পারে।

ক. এক অশ্বক্ষমতা সমান কত ওয়াট?

খ. বলের দ্বারা কাজের একটি উদাহরণ দাও।

গ. কুয়ার ভেতর অবস্থিক পানির ভর কত হবে নির্ণয় কর।

ঘ. উদ্দীপকের পাম্পটির ক্ষমতা নির্ণয় কর।

৮০. $5 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটা বস্তুকে $50 \ \mathrm {ms^{-1}}$ বেগে উপরেরর দিকে ছুড়ে দিলে কোন উচ্চতায় এর বিভবশক্তি এবং গতিশক্তি সমান হবে?

৪১. $8 \ \mathrm {m}$ ব্যাস এবং $15 \ \mathrm {m}$ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কুপে $\dfrac {2}{3}$ অংশ পানি আছে। কূপটিকে পানিশুন্য করার জন্য $70 \%$ কর্মদক্ষতা সম্পন্ন $20 \ kW$ এর পাম্প ব্যবহৃত হচ্ছে।

ক. এক জুল কাজ কাকে বলে?

খ. গতিশক্তি ও ভরবেগের মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্ক নির্ণয় কর।

গ. কুপের সম্পূর্ণ পানি শূন্য করতে কত সময় লাগবে?

ঘ. দেখাও যে, কুপের উপরের অর্ধেক পানি শুকাতে যে সময় লাগবে নিচের অর্ধেক পানি শুকাতে তার চেয়ে বেশি সময় লাগবে।

২২. গতিকশক্তি এক প্রকার যান্ত্রিক শক্তি। রহিমের ভর $30 \ \mathrm {kg}$ এবং করিমের ভর $20 \ \mathrm {kg}$ একটি দৌড় প্রতিযোগীতায় রহিম $5 \ \mathrm {m/s}$ এবং করিম $6 \ \mathrm {m/s}$ বেগে দৌড়ায়। এ বেগ অর্জন করতে কৃত কাজই তাদের গতিশক্তি।

ক. নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি লিখ।

খ. রহিমের গতিশক্তি ঋণাত্মক হতে পারে কিনা? ব্যাখ্যা কর।

গ. দৌড়ের সময় কার গতিশক্তি কম ছিল-নির্ণয় কর।

ঘ. যদি রহিম ও করিমের ভরবেগ সমান হত তাহলে কার গতিশক্তি অপেক্ষাকৃত বেশি হত? বিশ্লেষণ কর।

৬৭.

চিত্রে একটি রোলার কোস্টার দেখানো হলো। একটি কারকে স্থির অবস্থা থেকে মুক্ত করে দেওয়া হলো।

ক. কাজ কাকে বলে?

খ. কোনো যন্ত্রের কর্মদক্ষতা $70 \ \%$ বলতে কী বোঝায়?

গ. লুপের ওপর কারের বেগ নির্ণয় কর।

ঘ. শক্তির নিত্যতার বিধি এবং বলের প্রকৃত বিবেচনায় উপেরর চিত্রটির ভৌত তাৎপর্য বিশ্লেষণ কর।

৪৭. একটি পানি তোলার পাম্প প্রতি মিনিটে $1800 \ \mathrm{kg}$ পানি উঁচু দালানের ছাঁদে তুলতে পারে, যার কর্মদক্ষতা $60\%$।

ক. $1N$ কাকে বলে?

খ. প্যাঁচযুক্ত পানির কল যা ঘুরিয়ে কুলতে হয়, বাসান যুক্ত ভেজা হাতে খোলা কষ্টকর কেন?

গ. পাম্পটির মোট ক্ষমতা নির্ণয় কর।

ঘ. যদি পাম্পটির কর্মদক্ষতা $70\%$ হতো তাহলে ঐ একই পরিমান পানি একই উচ্চতায় তুলতে সময়ের ব্যবধান কত হতো-গাণিতিক বিশ্লেষণ কর।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

উপরের পাম্পটি প্রতি 20 মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে।

ক. কাজের মাত্রা সমীকরণ লেখ।

খ. ভূপৃষ্ঠের সাপেক্ষে অভিকর্ষজ বিভব শক্তির মান ভিন্ন হয় কেন?

গ. চিত্রের কুয়াটি কী পরিমাণ পানি ধরে রাখতে পারে? বের কর।

ঘ. চিত্রের পাম্পটির ক্ষমতা নির্ণয়ের যথোপযুক্ত তথ্য দেওয়া হয়েছে কিনা যাচাই কর।

(ক) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

কাজের মাত্রা সমীকরণ হলো $[W] = [ML ^2T^{-2}].$

(খ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

কোনো বস্তুকে তার অবস্থান থেকে উপরে তোলা হলে বস্তুর মধ্যে বিভব শক্তির সঞ্চার ঘটে। $m$ ভরের কোনো বস্তুকে ভূমি হতে $h$ উচ্চতায় উঠাতে কৃতকাজ হচ্ছে বস্তুতে সঞ্চিত বিভব শক্তির পরিমাণ। এক্ষেত্রে কৃতকাজ হচ্ছে বস্তুর উপর প্রযুক্ত

অভিকর্ষজ বল তথা বস্তুর ওজন এবং উচ্চতার গুণফলের সমান।

অর্থাৎ, বিভব শক্তি = বস্তুর ওজন × উচ্চতা = mgh

যেহেতু বস্তুর ভর m এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্দিষ্ট, সেহেতু একটি নির্দিষ্ট স্থানে অভিকর্ষজ বিভব শক্তির মান শুধুমাত্র বস্তুর উচ্চতার উপর নির্ভর করে।

তাই, খনির তলদেশ ও ভূপৃষ্ঠের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর অভিকর্ষজ বিভব শক্তির মান ভিন্ন ভিন্ন হয়। কারণ, এ দুই অবস্থানের জন্য বস্তুর উচ্চতা $h$ এর তারতম্য ঘটে। খনির তলদেশের সাপেক্ষে $h$ বেশি বলে বিভব শক্তি বেশি হবে এবং একইভাবে

ভূপৃষ্ঠের সাপেক্ষে $h$ কম বলে বিভব শক্তির মান কম হবে।

(গ) নং প্রশ্নের উত্তরঃ

কূপের ব্যাসার্ধ, $r=0.75\;\mathrm{m}$

কূপের গভীরতা, $h=10\;\mathrm{m}$

কূপের আয়তন, $V=\pi r^2 h$

                            $=\pi × 0.75^2×10$

                            $=\dfrac{45}{8}\pi\;\mathrm{m^3}$

                            $=$ পানির আয়তন।

পানির ঘনত্ব, $\rho=1000\;\mathrm{kg\;m^{-3}}$

সুতরাং পানির ভর, $m=\rho V$

                                  $=1000×\dfrac{45}{8}\pi$

                                  $=5625\pi\;\mathrm{kg}$

গাণিতিক প্রশ্ন-১:

$500 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটি গাড়ি $72 \ \mathrm {km \ hr^{-1}}$ সমবেগে $\dfrac {1} {25}$ নততল বরাবর উপরে উঠে। রাস্তা ও গাড়ির চাকার মধ্যে ঘর্ষণ গুণাঙ্ক $0.1$ হলে গাড়ির উঞ্জিনের ক্ষমতা কত? $[Ans.\ 13.72 \ \mathrm {kW}]$

গাণিতিক প্রশ্ন-২:

$5000 \ \mathrm {kg}$ ওজনের একটি মাল বোঝাই লরি একটি আনত তলের ওপর থেকে বিনা আয়াসে $18 \ \mathrm {km \ hr^{-1}}$ বেগে নেমে আসে। ঐ আনত তলের নীচ থেকে একই বেগে উপরে উঠতে লরিটির কত ক্ষমতা প্রয়োজন হবে? উভয়ক্ষেত্রে ঘর্ষণজনিত বাধা সমান। $[Ans. \ 16.42 \ \mathrm {hp}]$

৮৮. $10 \ \mathrm {kg}$ ভরের একটা বস্তু $10 \ \mathrm {m/s}$ বেগে একটা স্প্রিং এর উপর পড়ল। স্প্রিং ধ্রুবক, $k=100,000 \ \mathrm {J/m^2}$ হলে-

$i.$ বস্তুটির গতিশক্তি $500 \ \mathrm {J}$

$ii.$ স্প্রিং এর সংকোচন $0.1 \ \mathrm {m}$

$iii.$ স্প্রিং এ সঞ্চিত বিভব শক্তি $500 \ \mathrm {J}$

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) $i$ ও $ii$ (খ) $ii$ ও $iii$ (গ) $i$ ও $iii$ (ঘ) $i, \ ii$ ও $iii$