mathematics,pythagoras theorem,geometry

 সৃজনশীল প্রশ্নঃ

(ক)প্রমাণ কর যে, $AC^2+BE^2=AB^2+CE^2$.

(খ)$AB=BC$ হলে প্রমাণ কর যে,$BD^2=\dfrac{1}{2}(AD^2+CD^2)$.

(গ) $AB=BC$ এবং $AC=6\sqrt{2}$সে.মি. হলে ত্রিভুজটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।

(ঘ)$AB=BC$ এবং $AC=5\sqrt{2}$সে.মি. হলে ত্রিভুজটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো।

(ঙ) $DE\bot AB$ হলে প্রমাণ কর যে, $BD^2=AD^2+AB^2-2AB.AE$.

(চ) $BD$ মধ্যমার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $BD^2+CD^2=\dfrac{1}{2}(AB^2+BC^2)$.

(ছ)$AB=BD=AD$হলে $DE$ মধ্যমার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, $AB^2=\dfrac{4}{3}DE^2$.

(জ)$BCDE$ চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজক্ষেত্র আঁক ।

(ঝ)$BD$ এবং $DE$ মধ্যমার ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে,$\triangle BDE=\dfrac{1}{4}\triangle ABC$

(ঞ)$BD\bot AC$ হলে প্রমাণ কর যে, $AD.CD=BD^2$

(ট)$D,AC$এর মধ্যবিন্দু হলে প্রমাণ কর যে, $BD=\dfrac{1}{2}AC$.

(ঠ)$BE=DE=3.5$সে.মি. এবং $BC=CD=4$সে.মি.হলে $BCDE$ চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট $\triangle BEF$ আঁক ।

(ড)$BE=DE=3.5$সে.মি. এবং $BC=CD=4$সে.মি.হলে $BCDE$ চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট $PBQR$ সামান্তরিকক্ষেত্র আঁক যার $\angle PBQ=60^\circ$.

সূত্রঃ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল$=\dfrac{1}{2}\times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা

উপপাদ্যঃ

প্রমাণ কর যে, একই  ভূমির উপর  ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান।

বিশেষ নির্বচনঃ

একই ভূমি $BC$ এর উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ এবং $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজক্ষেত্র যথাক্রমে $\triangle{ABC}$ ও $\triangle{BCD}$ । প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle ABC=\triangle BCD$

অঙ্কনঃ $AE\bot PQ$ এবং $DF\bot PQ$ আঁকি ।

প্রমাণঃ

$PQ\parallel RS$ হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হবে।

সুতরাং $AE=DF=h$ যা ত্রিভুজদুটির উচ্চতা।

উভয় ত্রিভুজের ভূমি $BC=b$;

$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(1)$ এবং

$\triangle DBC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(2)$

$(1)$ এবং $(2)$ হতে পাই,

$\triangle ABC=\triangle BCD$(প্রমাণিত)

উপপাদ্যঃ  প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজ এবং সামান্তরিক  একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।

বিশেষ নির্বচনঃ

একই ভূমি $BC$ এর উপর এবং একই   সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ এবং $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত $\triangle{ABC}$ ও সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$ । প্রমাণ করতে হবে যে, $\triangle ABC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$.

অঙ্কনঃ $AE\bot PQ$ এবং $CF\bot R$ আঁকি ।

প্রমাণঃ

$PQ\parallel RS$ হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হবে।

সুতরাং $AE=CF=h$ যা যথাক্রমে $\triangle ABC$ ও $\triangle ACD$ এর  উচ্চতা।

$ABCD$ সামান্তরিক হওয়ায় $BC=AD=b$;

$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(1)$ এবং

$\triangle DBC=\dfrac{1}{2}bh\dots\dots(2)$

$(1)$ এবং $(2)$ হতে পাই,

$\triangle ABC=\triangle BCD\dots \dots (3)$

এখন,$\triangle ABC+\triangle BCD=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$

বা,$\triangle ABC+\triangle ABC=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$     [$(3)$ হতে]

বা,$2\triangle ABC=$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$

$\therefore \triangle ABC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$.(প্রমাণিত)

উপপাদ্যঃ একই ভূমির উপর ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত  সকল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান ।

বিশেষ নির্বচনঃ

একই ভূমি $BC$ এর উপর এবং একই   সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ এবং $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকক্ষেত্র$ABCD$ ও সামান্তরিকক্ষেত্র $BCEF$ । প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD=$সামান্তরিকক্ষেত্র $BCEF$.

অঙ্কনঃ $RS$ এর উপর $O$ যেকোনো 

বিন্দু নিয়ে $B$,$O$ এবং $C,O$ যোগ করি।

প্রমাণঃ 

$\triangle BOC$ এবং সামান্তরিকক্ষেত্র $ABCD$ একই ভূমি $BC$ এবং সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ ও $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত ।

সুতরাং $\triangle BOC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র$ABCD\dots \dots (1)$

আবার, 

$\triangle BOC$ এবং সামান্তরিকক্ষেত্র $BCEF$ একই ভূমি $BC$ এবং সমান্তরাল রেখাযুগল $PQ$ ও $RS$ এর মধ্যে অবস্থিত ।

সুতরাং $\triangle BOC=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র$BCEF\dots \dots (2)$

$(1)$ ও $(2)$ হতে পাই, 

$\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র$ABCD=\dfrac{1}{2}$সামান্তরিকক্ষেত্র$BCEF$

$\therefore$সামান্তরিকক্ষেত্র$ABCD=$সামান্তরিকক্ষেত্র$BCEF$ (প্রমাণিত)

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ 

১.$i.$ তীর্যক রেখার লম্ব অভিক্ষেপ ঐ রেখার সমান,

   $ii.$ লম্ব রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $ 0$,

   $iii.$ সমান্তরাল রেখার লম্ব অভিক্ষেপ ঐ রেখার সমান।

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$       (খ) $i, iii $     (গ) $ii,iii$      (ঘ) $i, ii, iii $

২.$\triangle{ABC}$ এর 

$i. AB^2=AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=90^\circ $

$ii. AB^2>AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=130^\circ $

$iii. AB^2<AC^2+BC^2$ যখন $\angle C=30^\circ $

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$       (খ) $i, iii $     (গ) $ii,iii$      (ঘ) $i, ii, iii $

৩. সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা $\sqrt{3}$ সেন্টিমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

(ক) $2$     (খ) $2.5$     (গ) $3$       (ঘ) $4$

৪.$\triangle {ABC}$ এর

$i. \;\angle{A}=$ সমকোণ হলে $AB^2=BC^2+AC^2$.

$ii. \;\angle{A}=$ স্থূলকোণ হলে $BC^2>BC^2+AC^2$.

$iii. \;\angle{A}=$ সূক্ষ্মকোণ  হলে $BC^2<AC^2+AB^2$.

কোনটি সঠিক?

(ক) $i, ii$       (খ) $i, iii $     (গ) $ii,iii$      (ঘ) $i, ii, iii $

৫.কোন ত্রিভুজের নববিন্দু বৃত্তের ক্ষেত্রফল $100\pi$বর্গ সেন্টিমিটার হলে তার পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার। 

(ক) $10$     (খ) $20$     (গ) $200\pi$      (ঘ) $400\pi$

৬. কোন তীর্যক রেখার দৈর্ঘ্য$ 5$ সেন্টিমিটার এবং ভূমি হতে শীর্ষের উচ্চতা $3 $সেন্টিমিটার হলে তীর্যক রেখার লম্ব অভিক্ষেপ এর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

(ক) $0$     (খ) $3$     (গ) $4$     (ঘ) $5$.

৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের লম্ব অভিক্ষেপ সর্বোচ্চ কয়টি হতে পারে?

(ক) $1$      (খ) $2$       (গ) $3$      (ঘ) অসংখ্য 

উত্তরপত্রঃ 

১.(গ) ২.(ঘ) ৩.(ক) ৪.(গ) ৫.(ঘ)

                        উচ্চতর গণিত

সৃজনশীল প্রশ্ন-১:

 $∆ABC$ এর  $AD$ , $BE$, $CF$  মধ্যমা তিনটি পরস্পরকে  $G$ বিন্দুতে ছেদ করে। 

(ক) প্রমাণ কর যে , $AD=3GD$.                                   

(খ) প্রমাণ কর যে ,$AB^2+AC^2=2\left(AD^2+BD^2\right).$            

 (গ) প্রমাণ কর যে ,$AB^2+AC^2+BC^2=12\left(GD^2+GE^2+GF^2\right)$  

সৃজনশীল প্রশ্ন-২:

চিত্রে $G$ ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র ।

(ক) $AG$ ও $GD$ এর অনুপাত এবং $BC$ এর উপর $AD$ ও $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ লিখ।                 

(খ) প্রমাণ কর যে , $AB^2=AD^2+3BD^2$               

(গ) প্রমাণ কর যে, $2AB^2=3\left(GA^2+GB^2+GC^2\right)$  

সৃজনশীল প্রশ্ন-৩:

$3.5$ সে.মি. ব্যাসার্ধের $PQ$ ব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তের $PR$ ও $QS$ জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে পরস্পরকে $T$ ছেদ করে ।

(ক) $PT=2.5$ সে.মি. $QT=3.1$ সে.মি. $RT=1.2$ সে.মি.হলে $ST$ এর মান নির্ণয় কর।

(খ) $SM⟂PQ$ হলে প্রমাণ কর যে $PM.QM=SM^2$.

(গ)প্রমাণ কর যে,$PQ=\sqrt{PR.PT+QS.QT}$

(ঘ)প্রমাণ কর যে $PR.QS=PS.QR+SR.PQ$

গাণিতিক প্রশ্ন-১:

$\triangle{ABC}$ এর $AB=BC=6$ সে.মি. এবং $\angle{B}=90°$ হলে মধ্যমাগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।

গাণিতিক প্রশ্ন-২:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $36\pi$ বর্গ একক হলে তার নববিন্দু বৃত্তের পরিসীমা কত?

গাণিতিক প্রশ্ন-৩:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমার দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. হলে ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

উত্তরঃ

সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমার দৈর্ঘ্য, $d=5$ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে 

    $3a^2=4d^2$

বা, $3a^2=4×5^2$

বা, $a=\dfrac{10}{\sqrt{3}}$ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $R$ হলে 

     $a=\sqrt{3}R$

বা, $\dfrac{10}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}R$

বা, $\dfrac{10}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=R$

বা, $R=\dfrac{10}{3}$ সে.মি.

সুতরাং নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\dfrac{R}{2}$

                                               $=\dfrac{5}{3}$ সে.মি.

সুতরাং পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^2$

                                          $=\pi \left(\dfrac{5}{3}\right)^2$

                                          $=\dfrac{25\pi }{9}$ বর্গ সেন্টিমিটার                                      

গাণিতিক প্রশ্ন-৪:

একটি সমবাহু ত্রিভুজের নববিন্দু বৃত্তের ক্ষেত্রফল $16\pi$ বর্গ সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজটির মধ্যমাগুলোর সমষ্টি নির্ণয় কর।