mathematics,solid geometry

 প্রিজমঃ

যে সকল ঘনবস্তুর দুটি সর্বসম সমান্তরাল ভূমি তল রয়েছে এবং পার্শ্বতলগুলো আয়তাকার তল তাদেরকে প্রিজম বলে।

যেমনঃ আয়তাকার ঘনবস্তু একটি প্রিজম।

        সিলিন্ডার প্রিজম নয়। কারণ এর পার্শ্বতল আয়তাকার নয় বরং বক্রতল।

তবে সিলিন্ডার কে অসীম আয়তাকার পার্শ্বতল বিশিষ্ট প্রিজম বিবেচনা করা যায়।

কারণ প্রিজমের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যেভাবে নির্ণয় করা হয় সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল ও আয়তন একইভাবে নির্ণয় করা যায়।

প্রিজমের নামকরণ করা হয় তার ভূমির নামে।

যেমনঃ ভূমি পঞ্চভুজ হলে তাকে পঞ্চভুজাকার প্রিজম বলে।

সিলিন্ডারকে বৃত্তাকার ভূমির প্রিজম বলা যায়।

প্রিজম দুই ধরনের হয় ।যথাঃ খাড়া প্রিজম এবং তীর্যক প্রিজম।

গাণিতিক প্রশ্নঃ

একটি গোলকের আয়তন এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যিক মান সমান হলে গোলকের ব্যাস নির্ণয় কর।  $Ans:\; 6$

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

চিত্রে $\angle{A}=2\angle{B}$

(ক) চিত্রটিকে $AC$ বাহুর সাপেক্ষে একপাক ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার আয়তন ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(খ) চিত্রটিকে $AB$ বাহুর সাপেক্ষে একপাক ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার আয়তন ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

(গ) চিত্রটিকে ভূমি ধরে এর উপর $3$ সে.মি. উচ্চতার পিরামিড অঙ্কন করলে তার ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

(ঘ) চিত্রটিকে ভূমি ধরে এর উপর $4$ সে.মি. হেলানো  উচ্চতার খাড়া পিরামিড অঙ্কন করলে তার ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

(ঙ) চিত্রটিকে ভূমি ধরে এর উপর $5$ সে.মি. ধারের খাড়া পিরামিড অঙ্কন করলে তার ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

(চ) চিত্রটিকে ভূমি ধরে এর উপর $6$ সে.মি. উচ্চতার প্রিজম অঙ্কন করলে তার ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর। 

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

 সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক, একটি অর্ধ গোলক ও একটি সিলিন্ডার সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত ।

 (ক) একক ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বোঝ?

(খ) ঘনবস্তুগুলোর আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর । 

(গ) যে ত্রিভুজের কোণগুলো ঘনবস্তুগুলোর আয়তনের অনুপাতের সমান তার প্রত্যেকটি কোণের বৃত্তীয়মান এবং ত্রিভুজটির প্রকৃতি নির্ণয় কর ।    

সৃজনশীল প্রশ্নঃ 

একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা $h$ ,আয়তন $V$,সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S$,অর্ধশীর্ষ কোণ $\theta$, ভূমির ব্যাসার্ধ $r$.

  (ক)কোণকের  সঙ্গাসহ প্রদত্ত তথ্যের চিত্র আঁক।

  (খ) প্রমাণ কর যে $S=\dfrac{πh^2\tan\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\pi r^2}{\sin\theta}.$

  (গ) প্রমাণ কর যে, $V=\dfrac{1}{3} πh^3 \tan^2\theta =\dfrac{\pi r^3}{3\tan\theta}$.

(ঘ) প্রমাণ কর যে,$V:S=r\cosθ:3$

(ঙ) $V=150$ ঘনসে.মি.; $S=100$ বর্গসেন্টিমিটার এবং $r=5$ সে.মি. হলে $\theta$ এর মান ষাটমূলক পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

সৃজনশীল প্রশ্নঃ

 $6$ সে.মি.,$8$সে.মি এবং $1$ সে.মি ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক প্রস্তুত করা হলো ।গোলকটিকে পৃথকভাবে সিলিন্ডার এবং ঘনক আকৃতির পাত্রে রাখলে ঠিকভাবে এটে যায়।

  (ক)নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

  (খ) গোলকটির অনধিকৃত অংশের আয়তনের তুলনা কর

  (গ) গোলকটি থেকে $1$ সে.মি পুরু ও $2$ সে.মি.ব্যাসার্ধের কতটি পাত তৈরি করা যাবে ?

বহুনির্বাচনী প্রশ্নঃ

১.একটি ঘনকের ধার $3$ সে.মি. হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

(ক) $3\sqrt{3}$               (খ) $2\sqrt{3}$            (গ) $3\sqrt{2}$                (ঘ) $5\sqrt{3}$

২.আয়তাকার ঘনবস্তু  একটি-

  (ক) পিরামিড        (খ) প্রিজম        (গ) ক্যাপসুল         (ঘ) চতুস্তলক 

৩.$26$ সে.মি ., ব্যাসার্ধের গোলকের কেন্দ্র থেকে $24$ সে.মি. উচ্চতায় ব্যাসের সাথে লম্বভাবে তলচ্ছেদে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি ?

   (ক)$8$           (খ)$10$          (গ)$12$         (ঘ)$14$

8.একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি. ,উচ্চতা $3$ সে.মি. এবং কর্ণের  দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ সে.মি. হলে প্রস্থ কত সে.মি.?

   (ক) $2$        (খ) $3$          (গ) $4$              (ঘ) $5$

উত্তরপত্রঃ

১.(ক)   ২.(খ)  ৩.(খ)  ৪.(গ)

১. $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে $\mathrm{AB=AC}$ এবং $\mathrm{BC}$ এর উপর $\mathrm{D}$ যে কোন বিন্দু । ত্রিভুটির পরিবৃত্তকে $\mathrm{E}$ ব্যাসার্ধ বিন্দুতে ছেদ করে ।

(ক) প্রমাণ কর যে , $\mathrm{AB^2-AD^2=BD.DC}$

(খ) $\mathrm{D,BC}$ এর মধ্যবিন্দু হলে প্রমান করথে $\mathrm{AB^2=2R.AD}$

(গ) $\mathrm{D}$ মধ্যবিন্দু হতে $\mathrm{AB}$ এর উপর অঙ্কিত লম্ব পিছনের দিকে বধির্ত করলে তা $\mathrm{CE}$ কে সমদ্বিখন্ডিত করে । প্রমান কর ।

২. $\mathrm{ABCD}$ বৃত্তস্থ চতুভুজের $\mathrm{AC}$ ও $\mathrm{BD}$ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে $\mathrm{M}$ বিন্দুতে ছেদ করলে নিম্নোক্ত প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

(ক) প্রমান কর যে, $\mathrm{AM.CM=BM.DM}$

(খ) $\mathrm{M}$ হতে $\mathrm{AB}$ এর উপর অঙ্কিত লম্বের বধির্তাংশ $\mathrm{CD}$ কে সমদ্বিখন্ডিত করে । প্রমান কর ।

(গ) প্রমান কর যে , $\mathrm{AC.BD=AB.CD+BC.AD}$

৩. $\mathrm{ABCD}$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ $\mathrm{\angle ADE}$

(ক) প্রমান কর যে , $\mathrm{\angle B+\angle D=180°}$

(খ) $\mathrm{AC,\angle BAD}$ এর সম্দ্বিখন্ডক হলে প্রমান কর যে , $\mathrm{BC=CD}$

(গ) $\mathrm{\angle B \angle ADE}$ সমদ্বিখন্ডিক বৃত্তের উপর মিলিত হয় ।

৪.একটি ত্রিভুজের ভূমি $\mathrm{A=4.2}$ সে. মি. এবং শিরঃকোণ $\mathrm{X=30°}$

(ক) যদি ত্রিভুজটির অপর কোণদ্বয়ের অন্তv $\mathrm{y=60°}$ হয় তবে $\mathrm{90°-\dfrac{1}{2}{(x+y)}}$ অঙ্কন কর ।

(খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন করে বিবরণ দাও ।

(গ) যদি ত্রিভুজটির অপর বাহুদ্বয়ের অন্তর $\mathrm{2.5}$ সে. মি. হয় তবে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর । 

৫. $\mathrm{6.5}$ সে. মি. , $\mathrm{7.5}$  সে. মি. বাহু বিশিষ্টএকটি ত্রিভুজ দেওয়া আছে ।

(ক) ত্রিভুটির অঙ্কন কর । 

(খ) ত্রিভুজটির ।ন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর ।

(গ) ত্রভুজটির পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর ।

৭. 

(ক) নববৃন্দু বৃত্ত কাকে বলে ?

(খ) এমন , একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা নির্দিষ্ট বিন্দু $\mathrm{P}$ স্পর্শ করে এবং উদ্দীপকের বৃত্তটির যে কোণ $\mathrm{E}$ বিন্দুতে স্পর্শ করে । (বিবরন দাও )

(গ) প্রপ্ত বুত্ত $\mathrm{AB}$ জ্যা এর উপরস্থ কোন বিন্দু $\mathrm{P}$ দিয়ে অপর একটি জ্যা  $\mathrm{CD}$ অঙ্কন কর যাতে $\mathrm{CP^2=AP.PB}$ হয় । (প্রমান আবশ্যক )